大一上学期高数期末考试题

大一上学期高数期末考试卷大一上学期高数期末考试卷 一 一 单项选择题单项选择题 本大题有本大题有 4 小题小题 每小题每小题 4 分分 共共 16 分分 1 0 sin cos xxxxxf A 0 2 f B 0 1 f C 0 0 f D f x 不可导不可导 2 133 1 1 3 xxx x x x A xx 与 是同阶无穷小 但不是等价无穷小 是同阶无穷小 但不是等价无穷小 B xx 与 是等价无穷小 是等价无穷小 C x 是比是比 x 高阶的无穷小 高阶的无穷小 D x 是比是比 x 高阶的高阶的 无穷小无穷小 3 若若 0 2 x F xtx f t dt 其中 其中 f x 在区间上在区间上 1 1 二阶可导且二阶可导且 0fx 则 则 A 函数 函数 F x 必在必在 0 x 处取得极大值 处取得极大值 B 函数 函数 F x 必在必在 0 x 处取得极小值 处取得极小值 C 函数 函数 F x 在在 0 x 处没有极值 但点处没有极值 但点 0 0 F 为曲线为曲线 yF x 的拐点 的拐点 D 函数 函数 F x 在在 0 x 处没有极值 点处没有极值 点 0 0 F 也不是曲线也不是曲线 yF x 的拐的拐 点 点 4 2 1 0 xfdttfxxfxf A 2 2 x B 2 2 2 x C 1x D 2x 二 填空题 本大题有二 填空题 本大题有 4 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 16 分 分 5 x x x sin 2 0 31 lim 6 cos xf x x x x x xfd cos 7 lim coscoscos 222 21 n n nnnn 8 2 1 2 1 2 2 1 1arcsin dx x xx 三 解答题 本大题有三 解答题 本大题有 5 小题 每小题小题 每小题 8 分 共分 共 40 分 分 9 设函数设函数 yy x 由方程由方程 sin 1 xy exy 确定 求确定 求 y x 以及以及 0 y 10 d 1 1 7 7 x xx x 11 1 32 102 0 dxxf xxx xxe xf x 12 设函数设函数 xf 连续 连续 1 0 g xf xt dt 且 且 0 lim x f x A x A为常数为常数 求求 g x 并讨论并讨论 g x 在在 0 x 处的连续性处的连续性 13 求微分方程求微分方程 2lnxyyxx 满足满足 1 1 9 y 的解的解 四 四 解答题 本大题解答题 本大题 1010 分 分 14 已知上半平面内一曲线已知上半平面内一曲线 0 xxyy 过点 过点 01 且曲线上任一点 且曲线上任一点 M xy 00处切线斜率数值上等于此曲线与处切线斜率数值上等于此曲线与x轴 轴 y轴 直线轴 直线x x 0所围成所围成 面积的面积的 2 倍与该点纵坐标之和 求此曲线方程倍与该点纵坐标之和 求此曲线方程 五 解答题 本大题五 解答题 本大题 1010 分 分 15 过坐标原点作曲线过坐标原点作曲线 xyln 的切线 该切线与曲线的切线 该切线与曲线 xyln 及及 x 轴围轴围 成平面图形成平面图形 D 1 求求 D 的面积的面积 A 2 求求 D 绕直线绕直线 x e 旋转一周所得旋转体的体积旋转一周所得旋转体的体积 V 六 证明题 本大题有六 证明题 本大题有 2 2 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 8 8 分 分 16 设函数设函数 xf 在在 0 1 上连续且单调递减 证明对任意的上连续且单调递减 证明对任意的 0 1q 1 00 q f x d xqf x dx 17 设函数设函数 xf 在在 0 上连续 且上连续 且 0 0 xdxf 0cos 0 dxxxf 证明 在证明 在 0 内至少存在两个不同的点内至少存在两个不同的点21 使使 0 21 ff 提示 设 提示 设 x dxxfxF 0 解答解答 一 一 单项选择题单项选择题 本大题有本大题有 4 小题小题 每小题每小题 4 分分 共共 16 分分 1 D 2 A 3 C 4 C 二 填空题 本大题有二 填空题 本大题有 4 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 16 分 分 5 6 e 6 c x x 2 cos 2 1 7 2 8 3 三 解答题 本大题有三 解答题 本大题有 5 小题 每小题小题 每小题 8 分 共分 共 40 分 分 9 解 方程两边求导解 方程两边求导 1 cos 0 xy eyxyxyy cos cos xy xy eyxy y x exxy 0 0 xy 0 1 y 10 解 解 76 7uxx dxdu 1 1 112 7 1 71 u dudu uuuu 1 ln 2ln 1 7 uuc 77 12 ln ln 1 77 xxC 11 解 解 101 2 330 2 x f x dxxedxxx dx 01 2 30 1 1 x xdexdx 00 2 3 2 cos 1sin xx xeedx 3 21 4 e 12 解 由解 由 0 0f 知 知 0 0g 1 0 0 x xt u f u du g xf xt dt x 0 x 0 2 0 x xf xf u du g xx x 0 2 00 A 0 limlim 22 x xx f u du f x g xx 0 2 00 lim lim 22 x xx xf xf u du AA g xA x g x 在在 0 x 处连续 处连续 13 解 解 2 ln dy yx dxx 22 ln dxdx xx yeexdxC 2 11 ln 39 xxxCx 1 1 0 9 yC 11 ln 39 yxxx 四 四 解答题 本大题解答题 本大题 1010 分 分 14 解 由已知且解 由已知且 0 2d x yyxy 将此方程关于将此方程关于x求导得求导得 yyy 2 特征方程 特征方程 02 2 rr解出特征根 解出特征根 2 1 21 rr 其通解为其通解为 xx eCeCy 2 21 代入初始条件代入初始条件y y 001 得 得3 1 3 2 21 CC 故所求曲线方程为 故所求曲线方程为 xx eey 2 3 1 3 2 五 解答题 本大题五 解答题 本大题 10 分 分 15 解 解 1 根据题意 先设切点为 根据题意 先设切点为 ln 00 xx 切线方程 切线方程 1 ln 0 0 0 xx x xy 由于切线过原点 解出由于切线过原点 解出 ex 0 从而切线方程为 从而切线方程为 x e y 1 则平面图形面积则平面图形面积 1 0 1 2 1 edyeyeA y 2 三角形绕直线 三角形绕直线 x e 一周所得圆锥体体积记为一周所得圆锥体体积记为 V1 则 则 2 1 3 1 eV 曲线曲线 xyln 与与 x 轴及直线轴及直线 x e 所围成的图形绕直线所围成的图形绕直线 x e 一周所得旋转体体积一周所得旋转体体积 为为 V2 1 0 2 2 dyeeV y D 绕直线绕直线 x e 旋转一周所得旋转体的体积旋转一周所得旋转体的体积 3125 6 2 21 eeVVV 六 证明题 本大题有六 证明题 本大题有 2 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 12 分 分 16 证明 证明 1 00 q f x d xqf x dx 1 00 qq q f x d xqf x d xf x dx 1 0 1 q q qf x d xqf x dx 1212 0 1 12 1 1 0 qqff qq fqq f 故有 故有 1 00 q f x d xqf x dx 证毕 证毕 17 证 构造辅助函数 证 构造辅助函数 xdttfxF x 0 0 其满足在 其满足在 0 上连续 在上连续 在 0 上可导 上可导 xfxF 且 且 0 0 FF 由题设 有由题设 有 00 0 0 sincos coscos