陈尧明解决不良结构数学问题的几种常见策略

例析补偿原理在解决不良结构数学问题中的运用例析补偿原理在解决不良结构数学问题中的运用 浙江省上虞市教研室 陈尧明 312300 摘要 数学问题可分为结构良好问题和结构不良问题 所谓数学问题的编制或创新 本质 上说视角的转换 命题者通过条件的衰减 有时故意破坏良好结构 常规的解题套 路得以规避 以此来考量学生的数学综合能力 本文例举四类不良结构 试图从结 构出发来给我们学生解题以启发 关键词 数学问题 良好结构 迁移 缺陷 著名数学教育家波利亚曾说过 问题是数学的心脏 问题可分为结构良好问题和结构 不良问题 在中学数学解题中大量出现的是结构良好的数学问题 所谓结构良好 是指提 供的信息完整 数学结构 研究对象 输血过程 理想 问题目标明确 解决过程和答案 稳定 也就是我们常说的理想模型 结构良好和结构不良是一个相对的概念 结构不良一 般分为结构缺陷和结构复杂两类 在解决不良数学问题过程中往往能体现一个人的各种能 力 如学习的迁移能力 即完成从非理想模型向理想模型的迁移 思维的变通能力 即能 够完成把不良结构变通为良好结构等等 也正因为如此 当今高考的能力立意就是要完成 从结构良好数学问题的考查向结构不良数学问题的考查 也正基于此 不良结构问题往往 被命题者作为测量被试的 成功智力 或者问题解决能力的工具 以达到试题具有良好 区分度 的目的 中学数学教学中 我们应该努力寻求解决不良结构数学问题的方法 其中补偿法是一种常用的方法 应用补偿法一般可解决下面 4 类缺陷问题 1 1 物理性缺陷问题 物理性缺陷问题 物理割补物理割补 等效运算等效运算 所谓物理性缺陷是指数学解题对象在空间上与理想的数学模型存在一定的缺陷 补偿法 就是经物理性割补使之成为一个完整的理想结构 找出缺陷结构与理想结构之间的差异 再用有关的性质 原理求解 从而得到正确的结论 此类结构不良问题在立体几何中比较 常见 例 1 2009 年的浙江高考理科第 17 题 如图 5 在长方形中 为的中点 为线段ABCD2AB 1BC EDCF 端点除外 上一动点 现将沿折起 使平面平面 在平ECAFD AFABD ABC 面内过点作 为垂足 设 则 的取值范围是 ABDDDKAB KAKt t 分析 此题当年是评价较高的一道题 它是以折叠为大背景 但高考试题命题者一 方面将固定的折叠模式改成了动态 即折痕的变化 的折叠 另一方面 将立几中的AF 三角关系中的三个角处在 反置 的背景下 使人的直观视角成思 coscos cos 维障碍 与平时 中规中矩 的立几理想模型形成反差 事实上我们只要将图形作的 0 180 转换 这个问题就成为一个很显然的问题了 当然 立几中有许多题目都可通过割补来完 成不良结构向良好结构的转换 所谓补形实际上就是基于这样的机理 例 2 2010 年浙江省理科 16 题 已知平面向量 0 满足1 且 与 的夹角为 120 则 的取值范围是 分析 本题考查向量的 数量积的意义及向量减法的 几何意义 向量 及 都是动态的 三者的 题干架构所显现的数学模型 并非一目了然 倘若我们作一个 弓形 的结构补偿 考虑到向量 与 的夹角为 120 那么设想向量稳定于一个半径为圆的一条弦 如图 于是 的长就是一条 3 3 动弦 不难求得 3 3 2 0 2 2 情境性缺陷问题 情境性缺陷问题 返璞归真返璞归真 技术补偿技术补偿 所谓情景性缺陷是指实际问题条件与使用条件之间的差异形成的缺陷 良好结构的数 学问题他的条件是有序的 正定的 但实际问题条件往往是无序的 离散的 为此碰到这 种原理性缺陷问题时 可以通过画图像 画表格等数学技术手段进行补偿 使问题呈现良 好的有序结构 返璞归真 例 3 2010 年高考浙江卷 17 有 4 位同学在同一天的上 下午参加 身高与体重 立定跳远 肺活量 握力 台阶 五个项目的测试 每位同学上 下午各测试一 个项目 且不重复 若上午不测 握力 项目 下午不测 台阶 项目 其余项目上下午 都各测试一人 则不同的安排方式共有 种 分析 此题是个排列组合实际应用题 但它的呈现与我们平时训练的排列组合题不同 也就是说实际问题条件与原来使用条件之间的差异形成了情景性的缺陷 即不可直接套用 排列组合公式 它涉及到的参数多 人数 时间 项目 参数之间 纠缠 多 上午不能 测什么 下午不能测什么 参数限制条件多 上下午都个测试一人 条件显得无序 离 散 如果我们将条件通过列表格的技术手段作一梳理 让条件有序 规范 那我们要的数学 模型 错排 会自动呈现出来 项目身高与体重立定跳远肺活量握力台阶 不妨记 4 个同学为 首先由于上午不测 握力 共有种可能 比ABCD 4 4 A 如 身高与体重 立定跳远 肺活量 台阶 分别是 下午分两种BCDA 情形 若上午测 台阶 的同学 下午刚好测 握力 那么另外三同学就是一个 3A 阶错排即 2 种情况 若上午测 台阶 的同学下午不测 握力 那从 身高与体重 A 立定跳远 肺活量 三项中任选一项 有中选法 比如选同学选 握力 那么 1 3 CB 同学 的选择又是一个 2 阶错排 如上表 于是总的不同安排方式共有 CD 种 264 1 1 3 1 3 1 2 4 4 CCCA 例 4 2008 年浙江卷理科第 10 题 如图 是平面的斜线段 为斜足 若点在平AB AP 面内运动 使得的面积为定值 则动点的轨迹是 ABP P 圆 椭圆 一条直线 两条平行直线 A B C D 分析 本题求点的轨迹 与我们平时训练的P 求点的轨迹 的背景完全不同 形成了情境性的结构 缺陷 为此 我们来补全这个情景 正因为的面ABP 积为定值 且是定长的斜线段 为此点到线段ABP 的距离是定值 于是点在空间中的轨迹应是以ABP 为旋转轴的圆柱面 又点在平面内 所以点ABP 的轨迹是该圆柱面被平面所截出的椭圆 P 3 过程性缺陷问题 结构假设 等效转换 不少数学问题 在连结题设和结论的关节点上 会遇到一些客观上根本不可能知道的 或可以知道但不需要知道从而不想知道的 或需要知道但当前尚未知道的数学对象 这些 我们泛指过程性缺陷问题 对于此类问题可以将结构假设为有利问题解决的理想状态 抹 去过程的碎碎末末 抓住理想状态下的一些特殊环节进行分析剖解 例 5 把自然数排成下表 今从表中任 2 3 2 1k 意取出一个数 并划去该数所在行与列的全部数 剩下一个有个数的表 这样继续进行 1 2 1 kk 次 记所有这样取出的个数的和为 则k kf kf 分析 本题如果真的按题给出的方式进行操作 我们觉得整体的解体结构会显得很 模糊 很茫然 不知道划去若干个数之后剩下的是何状态 划去的个数相互之间关系如n 何 如何运算等等 事实上 由于是从表中任意取出一个数再划去其中的所在行与 kf 列的全部数 为此我们取对角线上的数 正好取到表上的个数 恰其 n kf 2 1 2 kk 至于另外的划法具体咋样 只好笼统地 蒙 过去了 上午BCD A 下午AB 例 6 设函数 是无理数小数点后第位上的数knf Nn k 1415926535 3 n 字 并约定 记 求当时 的值 3 0 f 8 nfffnF Nn nF 分析 由已知得的对应关系 列表 nf n 0123456789 nf 3141592653 对于任意的 另一方面 函数至多重复 7 次就能 Nn 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 nff 使 从而 1 1 8 nfffnF nF 此题我们也并不知道 当充分大时 具体的的值如何 或者说究竟为多大 n nf 但这对我们解决此题已无关紧要了 4 假设性缺陷问题 合理假设 检验校正 例 7 已知数列和都是等差数列 和分别是它们的前项的和 若 n a n b n S n Tn 则 43 25 n n Sn Tn 8 8 a b 分析 大多学生会如下解答 于是可假设则 43 25 n n Sn Tn 43 25 0 nn SknTknk 887 aSS 故 4 83 4 73 4 kkk 887 2 85 2 75 bTTkk 2k 2 显然这个结果是不对的 因为非常数列的等差数列 它的前项的和是形如 8 8 a b n 的二次式 因此当假设时 等式右边是关于 2 anbn 43 25 0 nn SknTknk 的一次式 而左边是关于的二次式 等式左右两边关于的次数不一样 因此这样的nnn 假设是有缺陷的 而且是错误的 要使等式右边也为的二次式 应该设 于是n 43 25 0 nn SknnTknnk 887 aSS 8 4 83 7 4 73 63 kkk 887 8 2 85 bTTk 故得 至于具体的 的解析式 我们可以不予深究 7 2 75 k 35k 8 8 a b 9 5 n S n T 例 8 已知双曲线 试确定实数的范围 使得对于直线 双曲线 22 1 169 xy myxm 左支 右支各存在一点关于该直线对称 分析 假设双曲线左 右支上各存在一点 关于直 22 1 169 xy 11 A x y 22 B xy 线对称 且弦的中点为 则有点差法得 yxm AB 00 M xy 22 11 9169 16xy 两式相减得 即 22 22 9169 16xy 12121212 9 16 0 xxxxyyyy 联合得 又点在双 00 9160 xy 00 yxm 0 16 25 xm 0 9 25 ym 00 M xy 曲线外 那么 则实数的取值范围是 22 00 1 169 xy m 2525 77 77 m 到此似乎命题得到圆满解决 但事实上 题解过程是以 双曲线左 右支假设各存在 一点 关于直线对称 出发点演绎的 但最终结果是否满足是要经过检验的 也就是AB 说 这种带有探索性的问题的解题过程是存在着假设性的缺陷 在过程上需要通过检验来 得到校正的 乃