高中数学难点突破-难点28--求空间距离

难点难点 28 关于求空间距离关于求空间距离 空间中距离的求法是历年高考考查的重点 其中以点与点 点到线 点到面的距离为 基础 求其他几种距离一般化归为这三种距离 难点磁场 如图 已知 ABCD 是矩形 AB a AD b PA 平面 ABCD PA 2c Q 是 PA 的中点 求 1 Q 到 BD 的距离 2 P 到平面 BQD 的距离 案例探究 例 1 把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起成直二面角 点 E F 分别是 AD BC 的中 点 点 O 是原正方形的中心 求 1 EF 的长 2 折起后 EOF 的大小 命题意图 考查利用空间向量的坐标运算来解决立体 几何问题 属 级题目 知识依托 空间向量的坐标运算及数量积公式 错解分析 建立正确的空间直角坐标系 其中必须保证 x 轴 y 轴 z 轴两两互相垂直 技巧与方法 建系方式有多种 其中以 O 点为原点 以 的方向分别为 x 轴 y 轴 z 轴的正方向OBOCOD 最为简单 解 如图 以 O 点为原点建立空间直角坐标系 O xyz 设正方形 ABCD 边长为 a 则 A 0 a 0 B a 0 0 C 0 a 0 D 0 0 a E 0 a a F a a 0 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 4 2 2 1 cos 2 2 8 0 4 2 4 2 4 2 4 2 0 0 4 2 4 2 4 2 4 2 0 2 2 3 4 3 4 2 0 4 2 4 2 0 4 2 1 2 2222 OFOE OFOE OFOE a OF a OE a aaaaOFOE aaOFaaOE aEFaaaaaEF EOF 120 例 2 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 求异面直线 A1C1与 AB1间的距离 命题意图 本题主要考查异面直线间距离的求法 属 级题目 知识依托 求异面直线的距离 可求两异面直线的公垂线 或转化为求线面距离 或 面面距离 亦可由最值法求得 错解分析 本题容易错误认为 O1B 是 A1C 与 AB1的距离 这主要是对异面直线定义不 熟悉 异面直线的距离是与两条异面直线垂直相交的直线上垂足间的距离 技巧与方法 求异面直线的距离 有时较难作出它们的公垂线 故通常采用化归思想 转化为求线面距 面面距 或由最值法求得 解法一 如图 连结 AC1 在正方体 AC1中 A1C1 AC A1C1 平面 AB1C A1C1与平面 AB1C 间的距离等于异面直线 A1C1与 AB1间的距离 连结 B1D1 BD 设 B1D1 A1C1 O1 BD AC O AC BD AC DD1 AC 平面 BB1D1D 平面 AB1C 平面 BB1D1D 连结 B1O 则平面 AB1C 平面 BB1D1D B1O 作 O1G B1O 于 G 则 O1G 平面 AB1C O1G 为直线 A1C1与平面 AB1C 间的距离 即为异面直线 A1C1与 AB1间的距离 在 Rt OO1B1中 O1B1 OO1 1 OB1 2 2 2 11 2 1 BOOO 2 6 O1G 即异面直线 A1C1与 AB1间距离为 3 3 1 111 OB BOOO 3 3 解法二 如图 在 A1C 上任取一点 M 作 MN AB1于 N 作 MR A1B1于 R 连结 RN 平面 A1B1C1D1 平面 A1ABB1 MR 平面 A1ABB1 MR AB1 AB1 RN 设 A1R x 则 RB1 1 x C1A1B1 AB1A1 45 MR x RN NB1 1 2 2 x 0 x 1 3 1 3 1 2 3 1 2 1 22222 xxxRNMRMN 当 x 时 MN 有最小值即异面直线 A1C1与 AB1距离为 3 1 3 3 3 3 锦囊妙记 空间中的距离主要指以下七种 1 两点之间的距离 2 点到直线的距离 3 点到平面的距离 4 两条平行线间的距离 5 两条异面直线间的距离 6 平面的平行直线与平面之间的距离 7 两个平行平面之间的距离 七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离 七种距离之间 有密切联系 有些可以相互转化 如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离 平行 线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离 在七种距离中 求点到平面的距离是重点 求两条异面直线间的距离是难点 求点到平面的距离 1 直接法 即直接由点作垂线 求垂线段的长 2 转移法 转化 成求另一点到该平面的距离 3 体积法 求异面直线的距离 1 定义法 即求公垂线段的长 2 转化成求直线与平面的距离 3 函数极值法 依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的 歼灭难点训练 一 选择题 1 正方形 ABCD 边长为 2 E F 分别是 AB 和 CD 的中点 将正方形沿 EF 折成直二面角 如图 M 为矩形 AEFD 内一点 如果 MBE MBC MB 和平面 BCF 所成角的正切值为 那么点 M 到直线 EF 的距离为 2 1 2 1 D 2 3 C B 1 2 2 A 2 三棱柱 ABC A1B1C1中 AA1 1 AB 4 BC 3 ABC 90 设平面 A1BC1与平面 ABC 的交线为 l 则 A1C1与 l 的距离为 A B C 2 6D 2 41011 二 填空题 3 如左下图 空间四点 A B C D 中 每两点所连线段的长都等于 a 动 点 P 在线段 AB 上 动点 Q 在线段 CD 上 则 P 与 Q 的最短距离为 4 如右上图 ABCD 与 ABEF 均是正方形 如果二面角 E AB C 的度数为 30 那么 EF 与平面 ABCD 的距离为 三 解答题 5 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB 4 BC 3 CC1 2 如图 1 求证 平面 A1BC1 平面 ACD1 2 求 1 中两个平行平面间的距离 3 求点 B1到平面 A1BC1的距离 6 已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 点 E 在棱 D1D 上 截面 EAC D1B 且面 EAC 与底面 ABCD 所成的角为 45 AB a 求 1 截面 EAC 的面积 2 异面直线 A1B1与 AC 之间的距离 3 三棱锥 B1 EAC 的体积 7 如图 已知三棱柱 A1B1C1 ABC 的底面是边长为 2 的 正三角形 侧棱 A1A 与 AB AC 均成 45 角 且 A1E B1B 于 E A1F CC1于 F 1 求点 A 到平面 B1BCC1的距离 2 当 AA1多长时 点 A1到平面 ABC 与平面 B1BCC1的距离相等 8 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC ABC AB AD a 2 3 1 ADC arccos PA 面 ABCD 且 PA a 5 5 2 1 求异面直线 AD 与 PC 间的距离 2 在线段 AD 上是否存在一点 F 使点 A 到平面 PCF 的距离为 3 6 参考答案 难点磁场 解 1 在矩形 ABCD 中 作 AE BD E 为垂足 连结 QE QA 平面 ABCD 由三垂线定理得 QE BE QE 的长为 Q 到 BD 的距离 在矩形 ABCD 中 AB a AD b AE 22 ba ab 在 Rt QAE 中 QA PA c 2 1 QE 22 22 2 ba ba c Q 到 BD 距离为 22 22 2 ba ba c 2 解法一 平面 BQD 经过线段 PA 的中点 P 到平面 BQD 的距离等于 A 到平面 BQD 的距离 在 AQE 中 作 AH QE H 为垂足 BD AE BD QE BD 平面 AQE BD AH AH 平面 BQE 即 AH 为 A 到平面 BQD 的距离 在 Rt AQE 中 AQ c AE 22 ba ab AH 22222 bacba abc P 到平面 BD 的距离为 22222 bacba abc 解法二 设点 A 到平面 QBD 的距离为 h 由 VA BQD VQ ABD 得S BQD h S ABD AQ 3 1 3 1 h 22222 bacba abc S AQS BQD ABD 歼灭难点训练 一 1 解析 过点 M 作 MM EF 则 MM 平面 BCF MBE MBC BM 为 EBC 为角平分线 EBM 45 BM 从而 MN 2 2 2 答案 A 2 解析 交线 l 过 B 与 AC 平行 作 CD l 于 D 连 C1D 则 C1D 为 A1C1与 l 的距离 而 CD 等于 AC 上的高 即 CD Rt C1CD 中易求得 C1D 2 6 5 12 5 13 答案 C 二 3 解析 以 A B C D 为顶点的四边形为空间四边形 且为正四面体 取 P Q 分别为 AB CD 的中点 因为 AQ BQ a PQ AB 同理可得 PQ CD 故线段 2 2 PQ 的 长为 P Q 两点间的最短距离 在 Rt APQ 中 PQ a 2 2 2 2 3 2222 a aAPAQ 答案 a 2 2 4 解析 显然 FAD 是二面角 E AB C 的平面角 FAD 30 过 F 作 FG 平面 ABCD 于 G 则 G 必在 AD 上 由 EF 平面 ABCD FG 为 EF 与平面 ABCD 的距离 即 FG 2 a 答案 2 a 三 5 1 证明 由于 BC1 AD1 则 BC1 平面 ACD1 同理 A1B 平面 ACD1 则平面 A1BC1 平面 ACD1 2 解 设两平行平面 A1BC1与 ACD1间的距离为 d 则 d 等于 D1到平面 A1BC1的距离 易求 A1C1 5 A1B 2 BC1 则 cosA1BC1 则 sinA1BC1 则 S 513 65 2 65 61 111 CBA 由于 则S d BB1 代入求得 d 61 111111 DCABBCAD VV 3 1 11BC A 2 1 3 1 111 DCAD 61 6112 即两平行平面间的距离为 61 6112 3 解 由于线段 B1D1被平面 A1BC1所平分 则 B1 D1到平面 A1BC1的距离相等 则 由 2 知点 B1到平面 A1BC1的距离等于 61 6112 6 解 1 连结 DB 交 AC 于 O 连结 EO 底面 ABCD 是正方形 DO AC 又 ED 面 ABCD EO AC 即 EOD 45 又 DO a AC a EO a S EAC a 2 2 2 45cos DO 2 2 2 A1A 底面 ABCD A1A AC 又 A1A A1B1 A1A 是异面直线 A1B1与 AC 间的公垂线 又 EO BD1 O 为 BD 中点 D1B 2EO 2a D1D a A1B1与 AC 距离为a22 3 连结 B1D 交 D1B 于 P 交 EO 于 Q 推证出 B1D 面 EAC B1Q 是三棱锥 B1 EAC 的高 得 B1Q a 2 3 32 4 2 2 3 2 2 3 1 1 aaaV EACB 7 解 1 BB1 A1E CC1 A1F BB1 CC1 BB1 平面 A1EF 即面 A1EF 面 BB1C1C 在 Rt A1EB1中 A1B1E 45 A1B1 a A1E a 同理 A1F a 又 EF a A1E a 2 2 2 2 2 2 同理 A1F a 又 EF a 2 2 EA1F 为等腰直角三角形 EA1F 90 过 A1作 A1N EF 则 N 为 EF 中点 且 A1N 平面 BCC1B1 即 A1N 为点 A1到平面 BCC1B1的距离 A1N 22 1a 又 AA1 面 BCC1B A 到平面 BCC1B1的距离为 2 a a 2 所求距离为 2 2 设 BC B1C1的中点分别为 D D1 连结 AD DD1和 A1D1 则 DD1必过点 N 易 证 ADD1A1为平行四边形 B1C1 D1D B1C1 A1N B1C1 平面 ADD1A1 BC 平面 ADD1A1 得平面 ABC 平面 ADD1A1 过 A1作 A1M 平面 ABC 交 AD 于 M 若 A1M A1N 又 A1AM A1D1N AMA1 A1ND1 90 AMA1 A1ND1 AA1 A1D1 即当 AA1 时满足条件 33 8 解 1 BC AD BC面 PBC AD 面 PBC 从而 AD 与 PC 间的距离就是直线 AD 与平面 PBC 间的距离 过 A 作 AE PB 又 AE BC AE 平面 PBC AE 为所求 在等腰直角三角形 PAB 中 PA AB a AE a 2 2 2 作 CM AB 由已知 cosADC 5 5 2 tanADC 即 CM DM 2 1 2 1 ABCM 为正方形 AC a PC a23 过 A 作 AH PC 在 Rt PAC 中 得 AH 3 6 下面在 AD 上找一点 F 使 PC CF 取 MD 中点 F ACM FCM 均为等腰直角三角形 ACM FCM 45 45 90 FC AC 即 FC PC 在 AD 上存在满足条件的点 F 学法指导 立体几何中的策略思想及方法 立体几何中的策略思想及方法 近年来 高考对立体几何的考查仍然注重于空间观点的建立和空间想象