3．1-变化率与导数-教学设计-教案

教学准备 1 教学目标教学目标 知识与技能 1 理解平均变化率的概念 2 了解瞬时速度 瞬时变化率 的概念 3 理解导数的概念 4 会求函数在某点的导数或瞬时变化率 过程与方法 理解平均变化率的概念 了解平均变化率的几何意义 会计算函数在某个区间上的平 均变化率 情感 态度与价值观 感受数学模型刻画客观世界的作用 进一步领会变量数学的思想 提高分析问题 解 决问题的能力 2 教学重点教学重点 难点难点 教学重点 平均变化率的概念 教学难点 平均变化率概念的形成过程 3 教学用具教学用具 多媒体 板书 4 标签标签 教学过程 教学过程设计教学过程设计 创设情景 引入课题 师 十七世纪 在欧洲资本主义发展初期 由于工场的手工业向机器生产过 渡 提高了生产力 促进了科学技术的快速发展 其中突出的成就就是数学研 究中取得了丰硕的成果 微积分的产生 师 人们发现在高台跳水运动中 运动员相对于水面的高度 h 单位 米 与起 跳后的时间 t 单位 秒 存在函数关系 h t 4 9t2 6 5t 10 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态 让学生自由发言 教师不急于下结论 而是继续引导学生 欲知结论怎样 让 我们一起来观察 研探 新知探究 1 变化率问题 探究 1 气球膨胀率 师 很多人都吹过气球 回忆一下吹气球的过程 可以发现 随着气球内空气 容量的增加 气球的半径增加越来越慢 从数学角度 如何描述这种现象呢 气球的体积 V 单位 L 与半径 r 单位 dm 之间的函数关系是 如果将半径 r 表示为体积 V 的函数 那么 分析 1 当 V 从 0 增加到 1 时 气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 2 当 V 从 1 增加到 2 时 气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 0 62 0 16 可以看出 随着气球体积逐渐增大 它的平均膨胀率逐渐变小了 思考 当空气容量从 V1 增加到 V2 时 气球的平均膨胀率是多少 解析 探究 2 高台跳水 师 在高台跳水运动中 运动员相对于水面的高度 h 单位 米 与起跳后的时 间 t 单位 秒 存在函数关系 h t 4 9t2 6 5t 10 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态 活动 学生觉得问题有价值 具有挑战性 迫切想知道解决问题的方法 师 解析 h t 4 9t2 6 5t 10 探究 3 计算运动员在这段时间里的平均速度 并思考下面的问题 1 运动员在这段时间里是静止的吗 2 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗 师 在高台跳水运动中 平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态 活动 师生共同归纳出结论 平均变化率 上述两个问题中的函数关系用 y f x 表示 那么问题中的变化率可用式子 表示 我们把这个式子称为函数 y f x 从 x1 到 x2 的平均变化率 习惯上用 x x2 x1 y f x2 f x1 这里 x 看作是对于 x1 的一个 增量 可用 x1 x 代替 x2 同样 y f x2 f x1 于是 平均变化率可以表示为 几何意义 观察函数 f x 的图象 平均变化率 的几何意义是什么 提示 直线 AB 的斜率 设计意图 问题的目的是 让学生加深对平均变化率的理解 为下节课学习导数的几何意义作辅垫 培养学生数形结合的能力 2 导数的概念 探究 1 何为瞬时速度 2 板演 PPT 在高台跳水运动中 平均速度不能反映他在这段时间里运动状态 需要用瞬时速 度描述运动状态 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势 师 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢 求 从 2s 到 2 t s 这段时间内平均速度 解 探究 2 当 t 趋近于 0 时 平均速度有什么变化趋势 从 2s 到 2 t s 这段时间内平均速度 当 t 趋近于 0 时 即无论 t 从小于 2 的一边 还是从大于 2 的一边趋近于 2 时 平均速度都趋近与一个确定的值 13 1 从物理的角度看 时间间隔 t 无限变小时 平均速度就无限趋近于 t 2 时的瞬时速度 因此 运动员在 t 2 时的瞬时速度是 13 1 m s 为了表述方便 我们用 表示 当 t 2 t 趋近于 0 时 平均速度趋近于确定值 13 1 瞬时速度 我们用 表示 当 t 2 t 趋近于 0 时 平均速度趋于确定值 13 1 局部以匀速代替变速 以平均速度代替瞬时速度 然后通过取极限 从瞬时速 度的近似值过渡到瞬时速度的精确值 那么 运动员在某一时刻 的瞬时速度 设计意图 让学生体会由平均速度到瞬时速度的逼近思想 t 越小 V 越接 近于 t 2 秒时的瞬时速度 探究 3 1 运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示 2 函数 f x 在 x x0 处的瞬时变化率怎样表示 导数的概念 一般地 函数 y f x 在 x x0 处的瞬时变化率是 称为函数 y f x 在 x x0 处的导数 记作 由导数的定义可知 求函数 y f x 的导数的一般方法 1 求函数的改变量 2 求平均变化率 3 求值 典例精讲 例 1 将原油精炼为汽油 柴油 塑胶等各种不同产品 需要对原油进行冷却 和加热 如果第 x h 时 原油的温度 单位 为 y f x x2 7x 15 0 x 8 计算第 2h 与第 6h 时 原油温度的瞬时变化率 并说明它们的意 义 解 在第 2h 和第 6h 时 原油温度的瞬时变化率就是 根据导数的定义 在第 2h 和第 6h 时 原油温度的瞬时变化率分别为 3 和 5 它说明在第 2h 附 近 原油温度大约以 3 h 的速率下降 在第 6h 附近 原油温度大约以 5 h 的速 率上升 例 2 求函数处的导数 小结 1 求导方法简记为 一差 二化 三趋近 2 求函数在某一点导数的方法有两种 一种是直接求出函数在该点的导数 另 一种是求出导函数 再求导数在该点的函数值 此方法是常用方法 变式训练 用定义求函数 f x x2 在 x 1 处的导数 当堂训练 1 函数 y f x 的自变量 x 由 x0 改变到 x0 x 时 函数值的改变量 y 为 A f x0 x B f x0 x C f x0 x D f x0 x f x0 2 若一质点按规律 s 8 t2 运动 则在时间段 2 2 1 中 平均速度是 A 4 B 4 1 C 0 41 D 1 1 3 求 y x2 在 x x0 附近的平均速度 4 过曲线 y f x x3 上两点 P 1 1 和 Q 1 x 1 y 作曲线的割线 求出 当 x 0 1 时割线的斜率 参考答案 1 D 解析 分别写出 x x0 和 x x0 x 对应的函数值 f x0 和 f x0 x 两式 相减 就得到了函数值的改变量 y f x0 x f x0 故应选 D 2 B 作业布置 1 复习本节课所讲内容 2 预习下一节课内容 3 课本 P 10 习题 1 1 A 组 1 2 3 4 课堂小结 1 函数的平均变化率 2 求函数的平均变化率的步骤 1 求函数的增量 y f x