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文档简介

1 1 设 A 为面上一点 过 A 的直线 AO 在面上的射影为 AB AC 为面上的一条 直线 那么 OAC BAC OAB 三角的余弦关系为 cos OAC cos BAC cos OAB cos BAC 和 cos OAB 只能是锐角 通俗点说就是 斜线与平面内一条直线夹角的余弦 值 斜线与平面所成角的余弦值 射影与平面内直线夹角 1 的余弦值 三余弦定理 又叫最小角定理或爪子定理 三余弦定理 又叫最小角定理或爪子定理 定理证明 如上图 自点 O 作 OB AB 于点 B 过 B 作 BC AC 于 C 连 OC 则易知 ABC AOC ABO 均为直角三角形 OA AC AB AC OA AB cos cos cos 21 21 coscoscos 辅助记忆 这三个角中 角辅助记忆 这三个角中 角是最大的 其余弦值最小 等于另外两个角的余弦值之是最大的 其余弦值最小 等于另外两个角的余弦值之 积 斜线与平面所成角积 斜线与平面所成角是斜线与平面内所有直线所成的角中最小的角 是斜线与平面内所有直线所成的角中最小的角 1 2 2 设二面角 M AB N 的度数为 在平面 M 上有一条射线 AC 它和棱 AB 所成角为 和平面 N 所成的角为 则 sin sin sin 如图 三正弦定理三正弦定理 定理证明 如上图 过 C 作 CO 平面 N 于点 O 过 O 作直线 OB 二面角的 棱于点 B 连 OA CB 则易知 CAO CBO ABC 均为直角三角形 于是 sin sin sin AC CO BC CO AC BC sin sin sin 如果将三余弦定理和如果将三余弦定理和三正弦定理三正弦定理联合起来使用 用于解答立体几何综合题 联合起来使用 用于解答立体几何综合题 你会发现出乎意料地简单 甚至不用作任何辅助线 你会发现出乎意料地简单 甚至不用作任何辅助线 例 1如图 已知 A1B1C1 ABC 是正三棱柱 D 是 AC 中点 若 AB1 BC1 求以 BC1 为棱 DBC1 与 CBC1 为面的二面角 的度 数 1994 年全国高考理科数学 23 题 例 2 已知 Rt ABC 的两直角边 AC 2 BC 3 P 为斜边 AB 上一点 现沿 CP 将此直角 三角形折成直二面角 A CP B 如下图 当 AB 7 时 求二面角 P AC B 大小 上 海市 1986 年高考试题 难度系数 0 28 例 3 已知菱形 ABCD 的边长为 1 BAD 60 现沿对角线 BD 将此菱形折
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