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习题课 一 重积分计算的基本方法 二 重积分计算的基本技巧 三 重积分的应用 第十章 重积分的计算及应用 1 定义 几何意义 性质 计算法 应用 二重积分 定义 几何意义 性质 计算法 应用 三重积分 一 主要内容 2 1 二重积分的定义 3 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时 二重积分是柱体的体积 当被积函数小于零时 二重积分是柱体的体积的负值 4 性质 当为常数时 性质 二重积分的性质 5 性质 对区域具有可加性 性质 若为D的面积 性质 若在D上 特殊地 6 性质 性质 二重积分中值定理 7 二重积分的计算 X 型 X 型区域的特点 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 直角坐标系下 8 Y型区域的特点 穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 Y 型 9 极坐标系下 10 11 5 二重积分的应用 1 体积 设S曲面的方程为 曲面S的面积为 2 曲面积 12 当薄片是均匀的 重心称为形心 3 重心 13 薄片对于x轴的转动惯量 薄片对于y轴的转动惯量 4 转动惯量 14 薄片对轴上单位质点的引力 为引力常数 5 引力 15 6 三重积分的定义 16 7 三重积分的几何意义 8 三重积分的性质 类似于二重积分的性质 17 9 三重积分的计算 直角坐标 18 柱面坐标 19 球面坐标 20 10 三重积分的应用 重心 21 转动惯量 22 二 典型例题 例1 解 X 型 23 例2 计算积分 其中D由 所围成 提示 如图所示 连续 所以 24 例3 解 先去掉绝对值符号 如图 25 例4 解 26 27 例5 解 28 例6 解 29 30 例7 证 31 例8 解 32 33 例9 解 利用球面坐标 34 例10 解 35 例11 证 思路 从改变积分次序入手 36 测验题 37 38 39 40 41 42 43 44 测验题答案 45 46 一 重积分计算的基本方法 1 选择合适的坐标系 使积分域多为坐标面 线 围成 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离 2 选择易计算的积分序 积分域分块要少 累次积分易算为妙 图示法 列不等式法 从内到外 面 线 点 3 掌握确定积分限的方法 累次积分法 47 二 重积分计算的基本技巧 分块积分法 利用对称性 1 交换积分顺序的方法 2 利用对称性或重心公式简化计算 3 消去被积函数绝对值符号 4 利用重积分换元公式 48 例1 计算二重积分 其中 1 D为圆域 2 D由直线 解 1 利用对称性 围成 49 2 积分域如图 将D分为 添加辅助线 利用对称性 得 50 例2 计算二重积分 其中D是由曲 所围成的平面域 解 其形心坐标为 面积为 积分区域 线 形心坐标 51 例3 计算二重积分 在第一象限部分 解 1 两部分 则 其中D为圆域 把与D分成 作辅助线 52 2 提示 两部分 说明 若不用对称性 需分块积分以去掉绝对值符号 作辅助线 将D分成 53 例4 如图所示 交换下列二次积分的顺序 解 54 例5 解 在球坐标系下 利用洛必达法则与导数定义 得 其中 55 三 重积分的应用 1 几何方面 面积 平面域或曲面域 体积 形心 质量 转动惯量 质心 引力 证明某些结论等 2 物理方面 3 其它方面 56 例6 证明 证 左端 右端 57 例7 设函数f x 连续且恒大于零 其中 1 讨论F t 在区间 0 内的单调性 2 证明t 0时 03考研 58 解 1 因为 两边对t求导 得 59 2 问