考研数学一试题及答案解析

1 11 2007 年数学一年数学一 一 选择题 一 选择题 本题共本题共 10 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 40 分分 每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目要求 每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内 1 当时 与等价的无穷小量是0 x x A B C D B 1 x e 1 ln 1 x x 11x 1 cosx 分析 利用已知无穷小量的等价代换公式 尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量 再进行比较分 析找出正确答案 详解 当时 有 0 x 1 1 xx eex 1 11 2 xx 利用排除法知应选 B 2 11 1 cos 22 xxx 2 曲线 渐近线的条数为 1 ln 1 x ye x A 0 B 1 C 2 D 3 D 分析 先找出无定义点 确定其是否为对应垂直渐近线 再考虑水平或斜渐近线 详解 因为 所以为垂直渐近线 0 1 lim ln 1 x x e x 0 x 又又 所以 y 0 为水平渐近线 1 lim ln 1 0 x x e x 进一步 2 1ln 1 ln 1 limlim lim xx xxx yee xxxx lim1 1 x x x e e 1 lim 1 lim ln 1 x xx yxex x lim ln 1 x x ex lim ln 1 lim ln 1 0 xxx xx eexe 于是有斜渐近线 y x 故应选 D 3 如图 连续函数 y f x 在区间 3 2 2 3 上的图形分别是直径为 1 的上 下半圆周 在区间 2 0 0 2 的图形分别是直径为 2 的上 下半圆周 设则下列结论正确的是 0 x F xf t dt A B 3 3 2 4 FF 5 3 2 4 FF C D C 2 4 3 3 FF 2 4 5 3 FF 分析 本题考查定积分的几何意义 应注意 f x 在不同区间段上的符号 从而搞清楚相应积分与面积 的关系 详解 根据定积分的几何意义 知 F 2 为半径是 1 的半圆面积 1 2 2 F F 3 是两个半圆面积之差 22 113 3 1 228 F 3 2 4 F 0 3 3 0 3 dxxfdxxfF 3 3 0 Fdxxf 因此应选 C 2 11 4 设函数 f x 在 x 0 处连续 下列命题错误的是 A 若存在 则 f 0 0 B 若存在 则 f 0 0 0 lim x f x x 0 lim x f xfx x C 若存在 则存在 D 若存在 则存在 0 lim x f x x 0 f 0 lim x f xfx x 0 f D 分析 本题为极限的逆问题 已知某极限存在的情况下 需要利用极限的四则运算等进行分析讨论 详解 A B 两项中分母的极限为 0 因此分子的极限也必须为 0 均可推导出 f 0 0 若存在 则 可见 C 也正确 故应选 D 事实上 0 lim x f x x 00 0 0 0 0 limlim0 0 xx f xff x ff xx 可举反例 在 x 0 处连续 且 f xx 存在 但在 x 0 处不可导 0 lim x f xfx x 0 lim0 x xx x f xx 5 设函数 f x 在上具有二阶导数 且 令 0 0 fx 2 1 nnfun 则下列结论正确的是 A 若 则必收敛 B 若 则必发散 12 uu n u 12 uu n u C 若 则必收敛 D 若 则必发散 D 12 uu n u 12 uu n u 分析 可直接证明或利用反例通过排除法进行讨论 详解 设 f x 则 f x 在上具有二阶导数 且 但发散 排 2 x 0 12 0 fxuu 2 n un 除 C 设 f x 则 f x 在上具有二阶导数 且 但收敛 排除 B 1 x 0 12 0 fxuu 1 n u n 又若设 则 f x 在上具有二阶导数 且 但发散 排除 lnf xx 0 12 0 fxuu ln n un A 故应选 D 6 设曲线具有一阶连续偏导数 过第 II 象限内的点 M 和第 IV 象限内的点 N T 1 L f x yf x y 为 L 上从点 M 到点 N 的一段弧 则下列小于零的是 A B T f x y dx T f x y dy C D B T f x y ds xy T fx y dxfx y dy 分析 直接计算出四个积分的值 从而可确定正确选项 详解 设 M N 点的坐标分别为 先将曲线方程代入积分表达式 11221212 M x yN xyxxyy 再计算有 21 0 TT f x y dxdxxx 21 0 TT f x y dydyyy 0 TT f x y dsdss 0 xy TT fx y dxfx y dydf x y 故正确选项为 B 7 设向量组线性无关 则下列向量组线性相关的是 321 3 11 A B 133221 133221 C D A 133221 2 2 2 133221 2 2 2 详解 用定义进行判定 令 0 133322211 xxx 得 0 332221131 xxxxxx 因线性无关 所以又 321 13 12 23 0 0 0 xx xx xx 0 110 011 101 故上述齐次线性方程组有非零解 即线性相关 类似可得 B C D 中的向量组都是线 133221 性无关的 8 设矩阵 则 A 与 B 211 121 112 A 000 010 001 B A 合同 且相似 B 合同 但不相似 C 不合同 但相似 D 既不合同 又不相似 B 详解 由 得 A 的特征值为 0 3 3 而 B 的特征值为 0 1 1 从而 A 与 B 不相似 0 AE 又 r A r B 2 且 A B 有相同的正惯性指数 因此 A 与 B 合同 故选 B 9 某人向同一目标独立重复射击 每次射击命中目标的概率为 p 0 p 1 则此人第 4 次射击恰好第 2 次命 中目标的概率为 A B 2 1 3pp 2 1 6pp C D C 22 1 3pp 22 1 6pp 详解 第 4 次射击恰好第 2 次命中 表示 4 次射击中第 4 次命中目标 前 3 次射击中有 1 次命中目标 由 独立重复性知所求概率为 故选 C 221 3 1 ppC 10 设随机变量 服从二维正态分布 且 与 不相关 分别表示 的概率密度 则在 yfxf YX y 的条件下 的条件概率密度为 yxf YX A B C D A xfX yfY yfxf YX yf xf Y X 详解 因 服从二维正态分布 且 与 不相关 故 与 相互独立 于是 yxf YX xfX 因此选 A 二 填空题二 填空题 11 16 小题 每小题 4 分 共 24 分 把答案填在题中横线上 11 1 2 3 1 1 x e dx x 1 2 1 2 e 4 11 分析 先作变量代换 再分部积分 详解 1 11 21 3 2 1 32 11 2 11 t x tt x e dxt edtte dt xt 1 11 1 2 11 1 22 2 1 2 ttt tdetee dte 12 设 f u v 为二元可微函数 则 yx zf xy z x 1 12 ln yx fyxfyy 详解 利用复合函数求偏导公式 有 z x 1 12 ln yx fyxfyy 13 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为 其中 2 432 x yyye 32 12 2 xxx yC eC ee 为任意常数 21 C C 详解 特征方程为 解得 可见对应齐次线性微分方程 2 430 12 1 3 的通解为 430yyy 3 12 xx yC eC e 设非齐次线性微分方程的特解为 代入非齐次方程可得 k 2 故通解为 2 432 x yyye 2x yke 32 12 2 xxx yC eC ee 14 设曲面 则 1xyz dSyx 4 3 3 详解 由于曲面关于平面 x 0 对称 因此 0 又曲面具有轮换对称性 于 dSx 1xyz 是 dSyx dSy dSx dSz dSzyx 3 1 dS 3 1 2 3 8 3 1 4 3 3 15 设矩阵 则的秩为 1 0000 1000 0100 0010 A 3 A 详解 依矩阵乘法直接计算得 故 r 1 0000 0000 0000 1000 3 A 3 A 16 在区间 0 1 中随机地取两个数 则两数之差的绝对值小于的概率为 2 1 4 3 详解 这是一个几何概型 设 x y 为所取的两个数 则样本空间 记 1 0 yxyx 2 1 yxyxyxA 5 11 故 其中分别表示 A 与 的面积 S S AP A 4 3 1 4 3 SS A 三 解答题三 解答题 17 24 小题 共 86 分 17 本题满分 11 分 求函数在区域上的最大值和最小值 2222 2f x yxyx y 22 4 0 Dx y xyy 分析 由于 D 为闭区域 在开区域内按无条件极值分析 而在边界上按条件极值讨论即可 详解 因为 解方程 2 22 x fx yxxy 2 42 y fx yyx y 得开区域内的可能极值点为 2 2 220 420 x y fxxy fyx y 2 1 其对应函数值为 2 1 2 f 又当 y 0 时 在上的最大值为 4 最小值为 0 2 f x yx 22x 当 构造拉格朗日函数 22 4 0 22xyyx 222222 2 4 F x yxyx yxy 解方程组 得可能极值点 其对应函数值为 2 2 22 2220 4220 40 x y Fxxyx Fyx yy Fxy 53 0 2 22 537 0 2 8 224 ff 比较函数值 知 f x y 在区域 D 上的最大值为 8 最小值为 0 7 2 0 4 8 4 18 本题满分 10 分 计算曲面积分 23 Ixzdydzzydzdxxydxdy 其中为曲面的上侧 2 2 1 01 4 y zxz 分析 本题曲面不封闭 可考虑先添加一平面域使其封闭 在封闭曲面所围成的区域内用高斯公式 而在添加的平面域上直接投影即可 详解 补充曲面 取下侧 则 2 2 1 1 0 4 y xz 1 23Ixzdydzzydzdxxydxdy 1 23xzdydzzydzdxxydxdy 2 3 D zz dxdydzxydxdy 6 11 其中为与所围成的空间区域 D 为平面区域 1 2 2 1 4 y x 由于区域 D 关于 x 轴对称 因此 又30 D xydxdy 2 3zz dxdydzzdxdy 11 00 332 1 z D zdzdxdyzz dz 其中 z D 2 2 1 4 y xz 19 本题满分本题满分 11 分分 设函数 f x g x 在 a b 上连续 在 a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值 f a g a f b g b 证明 存在 使得 a b fg 分析 需要证明的结论与导数有关 自然联想到用微分中值定理 事实上 若令 F xf xg x 则问题转化为证明 只需对用罗尔定理 关键是找到的端点函数值相等的区间 特别是 0F F x F x 两个一阶导数同时为零的点 而利用 F a F b 0 若能再找一点 使得 则在区间 ca b 0F c 上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点 再对用罗尔定理即可 a cc b F x 证明 构造辅助函数 由题设有 F a F b 0 又 f x g x 在 a b 内具有相等的最大 F xf xg x 值 不妨设存在 使得 21 xx 21 baxx 12 max max a ba b f xMf x g xMg x 若 令 则 21 xx 1 xc 0 F c 若 因 从而存在 21 xx 111222 0 0F xf xg xF xf xg x 使 12 cx xa b 0 F c 在区间上分别利用罗尔定理知 存在 使得 a cc b 12 a cc b 12 0FF 再对在区间上应用罗尔定理 知存在 有 F x 12 12 a b 即 0F fg 20 本题满分本题满分 10 分分 设幂级数在内收敛 其和函数 y x 满足 0 n n n a x 7 11 240 0 0 0 1 yxyyyy I 证明 2 2 1 2 1 nn aa n n II 求 y x 的表达式 分析 先将和函数求一阶 二阶导 再代入微分方程 引出系数之间的递推关系 详解 I 记 y x 则代入微分方程 0 n n n a x 12 12 1 nn nn nn yna xyn na x 有240 yxyy 2 210 1 240 nnn nnn nnn n na xna xa x 即 2 000 2 1 240 nnn nnn nnn nnaxna xa x 故有 2 2 1 240 nnn nnanaa 即 2 2 1 2 1 nn aa n n II 由初始条件知 于是根据递推关系式 有 0 0 0 1y y 01 0 1 aa 2 2 1 nn aa n 故 221 1 0 nn aa n y x 0 n n n a x 2121 2 00 1 nn n nn axx n 2 2 0 1 nx n xxxe n 21 本题满分 11 分 设线性方程组 04 02 0 3 2 21 321 321 xaxx axxx xxx 与方程 12 321 axxx 有公共解 求 a 的值及所有公共解 分析 两个方程有公共解就是 与 联立起来的非齐次线性方程组有解 详解 将 与 联立得非齐次线性方程组 1 2 04 02 0 321 3 2 21 321 321 axxx xaxx axxx xxx 若此非齐次线性方程组有解 则 与 有公共解 且 的解即为所求全部公共解 对 的增广矩阵作初等A 8 11 行变换得 1121 041 021 0111 2 a a a A 1100 0 1 2 00 0110 0111 aa aa a 于是 1 当 a 1 时 有 2 3 方程组 有解 即 与 有公共解 其全部公共解即为 的通解 ArAr 此时 此时方程组 为齐次线性方程组 其基础解系为 0000 0000 0010 0101 A 1 0 1 所以 与 的全部公共解为 k 为任意常数 1 0 1 k 2 当 a 2 时 有 3 方程组 有唯一解 此时 ArAr 故方程组 的解为 即 与 有唯一公共解 为 0000 1100 1010 0001 A 0 1 1 1 2 3 0 1 1 x xx x 22 本题满分 11 分 设 3 阶对称矩阵 的特征值是 的属于的一个特征向量 记 2 2 1 321 T 1 1 1 1 1 其中为 3 阶单位矩阵 EAAB 35 4E I 验证是矩阵 的特征向量 并求 B 的全部特征值与特征向量 1 II 求矩阵 分析 根据特征值的性质可立即得 B 的特征值 然后由 B 也是对称矩阵可求出其另外两个线性无关的 特征向量 详解 I 由 得 11 A 111 2 AA 进一步 11 3 A 11 5 A 故 1 35 1 4 EAAB 11 3 1 5 4 AA 111 4 1 2 从而是矩阵 的属于特征值 2 的特征向量 1 因 及 的 3 个特征值 得EAAB 35 4 2 2 1 321 B 的 3 个特征值为 1 1 2 321 9 11 设为 B 的属于的两个线性无关的特征向量 又 32 1 32 为对称矩阵 得 B 也是对称矩阵 因此与正交 即 1 32 0 0 3121 TT 所以可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解 32 其基础解系为 故可取 0 1 1 1 3 2 1 x x x 0 1 1 1 0 1 2 0 1 1 3 1 0 1 即 B 的全部特征值的特征向量为 其中 是不为零的任意常数 是不 1 1 1 1 k 1 0 1 0 1 1 32 kk0 1 k 32 k k 同时为零的任意常数 II 令 则 321 P 101 011 111 1 1 2 1BP P 得 1 1 1 2 PPB 101 011 111 1 1 2 211 121 111 3 1 102 012 112 211 121 111 3 1 011 101 110 23 本题满分 11 分 设二维随机变量 X Y 的概率