椭圆讲义(学生版)

0 椭圆讲义椭圆讲义 1 平面内与两个定点 的距离之和等于常数 大于 的点的轨迹称为椭圆 这两个定点 1 F 2 F 12 F F 称为椭圆的焦点 两焦点的距离称为椭圆的焦距 2 椭圆的几何性质 焦点的位置焦点在轴上x焦点在轴上y 图形 标准方程 22 22 10 xy ab ab 22 22 10 yx ab ab 范围且axa byb 且bxb aya 顶点 1 0aA 2 0aA 1 0 b 2 0 b 1 0 aA 2 0 aA 1 0b 2 0b 轴长短轴的长 长轴的长2b 2a 焦点 1 0Fc 2 0Fc 1 0 Fc 2 0 Fc 焦距 222 12 2FFc cab 对称性关于轴 轴 原点对称xy 离心率 2 2 101 cb ee aa 准线方程 2 a x c 2 a y c 3 设是椭圆上任一点 点到对应准线的距离为 点到对应准线的距离为 则 1 F 1 d 2 F 2 d 12 12 FF e dd 四 常考类型四 常考类型 类型一 椭圆的基本量类型一 椭圆的基本量 1 指出椭圆的焦点坐标 准线方程和离心率 3649 22 yx 1 举一反三 举一反三 变式 1 椭圆上一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3 则 P 到另一个焦点的距离1 1625 22 yx 变式 2 椭圆的两个焦点分别为 过的直线交椭圆于 A B 两点 则1 2516 22 yx 21 FF 2 F 的周长 1 ABF 1 ABF C 变式 3 已知椭圆的方程为 焦点在 x 轴上 则 m 的取值范围是 1 16 2 22 m yx A 4 m 4 且 m 0 B 4 m 4 且 m 0 C m 4 或 m 4 D 0 m 4 变式 4 已知椭圆 mx2 3y2 6m 0 的一个焦点为 0 2 求 m 的值 类型二 椭圆的标准方程类型二 椭圆的标准方程 2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 1 两个焦点的坐标分别是 4 0 4 0 椭圆上一点 P 到两焦点距离的和是 10 2 两 个焦点的坐标是 0 2 0 2 并且椭圆经过点 2 5 2 3 举一反三 举一反三 变式 1 两焦点的坐标分别为 且椭圆经过点 4 04 0 0 5 变式 2 已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆有相同的焦点 并且经过点1 49 22 yx 3 2 求此椭圆的方程 2 3 求经过点 P 3 0 Q 0 2 的椭圆的标准方程 举一反三 举一反三 变式 已知椭圆经过点 P 2 0 和点 求椭圆的标准方程 2 33 1 Q 4 求与椭圆 4x2 9y2 36 有相同的焦距 且离心率为的椭圆的标准方程 5 5 变式 1 在椭圆的标准方程中 则椭圆的标准方程是 A B C D 以上都不对1 3536 22 yx 1 3536 22 xy 1 36 2 2 y x 变式 2 椭圆过 3 0 点 离心率 求椭圆的标准方程 3 6 e 变式 3 长轴长等于 20 离心率等于 求椭圆的标准方程 5 3 变式 4 已知椭圆的中心在原点 经过点 P 3 0 且 a 3b 求椭圆的标准方程 类型三 求椭圆的离心率或离心率的取值范围类型三 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 5 已知椭圆一条准线为 相应焦点为 长轴的一个顶点为原点 求其离心率4 xy 1 1O 的取值 举一反三 举一反三 变式 1 椭圆的两个焦点把两条准线间距离三等分 则椭圆离心率为 A B C D 不确定 6 3 3 3 2 3 变式 2 椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形 则此椭圆的离心率是 3 变式 3 椭圆上一点到两焦点的距离分别为 焦距为 若成等差数列 1 2 2 2 2 b y a x 则椭圆的离心率为 变式 4 以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点 顺次连结这四个点和两个焦点 恰好围成一个 正六边形 则这个椭圆的离心率等于 6 已知椭圆 F1 F2是两个焦点 若椭圆上存在一点 P 使 1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 3 2 21 PFF 求其离心率的取值范围 举一反三 举一反三 变式 1 已知椭圆 与 x 轴的正半轴交于 A 0 是原点 若1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 椭圆上存在一点 M 使 MA MO 求椭圆离心率的取值范围 变式 2 已知椭圆 以 为系数的关于的方程1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 无实根 求其离心率的取值范围 类型四 椭圆定义的应用类型四 椭圆定义的应用 7 若一个动点 P x y 到两个定点 A 1 0 A 1 0 的距离的和 为定值 m m 0 试求 P 点的轨迹方程 举一反三 举一反三 变式 1 下列说法中正确的是 A 平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹叫做椭圆 B 平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一条线段 C 平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一个椭圆或者是一条直线 D 平面内与两个 定点的距离和等于常数的点的轨迹存在 则轨迹是一个椭圆或者是一条线段 变式 2 已知 A 0 1 B 0 1 两点 ABC 的周长为 6 则 ABC 的顶点 C 的轨迹方程是 4 A B C D 变式 3 已知圆 圆 A 内一定点 B 2 0 圆 P 过 B 点且与圆 A 内切 求圆 心 P 的轨迹方程 类型五 坐标法的应用类型五 坐标法的应用 9 ABC 的两个顶点坐标分别是 B 0 6 和 C 0 6 另两边 AB AC 的斜 率的乘积是 求顶点 A 的轨迹方程 9 4 举一反三 举一反三 变式 1 已知 A B 两点的坐标分别为 0 5 和 0 5 直线 MA 与 MB 的斜率之积为 则 M 的轨迹方程是 9 4 A B 1 9 100 25 22 yx 51 9 100 25 22 x yx C D 1 25 4 225 22 yx 1 25 4 225 22 yx 0 x 变式 2 ABC 两顶点的坐标分别是 B 6 0 和 C 6 0 另两边 AB AC 的斜率的积是 9 4 则顶点的轨迹方程是 A B C D 变式 3 已知 A B 两点的坐标分别是 1 0 1 0 直线 AM BM 相交于点 M 且它们的斜 率之积为 m m 0 求点 M 的轨迹方程并判断轨迹形状 五 典型例题五 典型例题 例例 1 已知椭圆的一个焦点为 0 2 求的值 063 22 mymxm 5 例例 2 已知椭圆的中心在原点 且经过点 求椭圆的标准方程 03 Pba3 例例 3 的底边 和两边上中线长之和为 30 求此三角形重心的轨迹和顶点的ABC 16 BCACABGA 轨迹 例例 4 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上 点到两焦点的距离分别为和 过点作焦点PP 3 54 3 52 P 所在轴的垂线 它恰好过椭圆的一个焦点 求椭圆方程 例例 5 已知椭圆方程 长轴端点为 焦点为 是椭圆上一点 01 2 2 2 2 ba b y a x 1 A 2 A 1 F 2 FP 求 的面积 用 表示 21PA A 21PF F 21PF F ab 例例 6 已知动圆过定点 且在定圆的内部与其相内切 求动圆圆心的轨P 03 A 643 2 2 yxB P 迹方程 例例 7 以椭圆的焦点为焦点 过直线上一点作椭圆 要使所作椭圆的长轴1 312 22 yx 09 yxl M 最短 点应在何处 并求出此时的椭圆方程 M 例例 8已知方程表示椭圆 求的取值范围 1 35 22 k y k x k 6 例例 9 已知表示焦点在轴上的椭圆 求的取值范围 1cossin 22 yx 0 y 例例 10 求中心在原点 对称轴为坐标轴 且经过和两点的椭圆方程 2 3 A 1 32 B 例例 11 知圆 从这个圆上任意一点向轴作垂线段 求线段中点的轨迹 1 22 yxPyM 例例 12 椭圆上的点到焦点的距离为 2 为的中点 则 为坐标原点 1 925 22 yx M 1 FN 1 MFONO 的值为 A 4 B 2 C 8 D 2 3 例例 13 在面积为 1 的中 建立适当的坐标系 求出以 为焦点PMN 2 1 tan M2tan NMN 且过点的椭圆方程 P 7 六 课后练习六 课后练习 1 椭圆的焦点坐标为 22 1 1625 xy A 0 3 B 3 0 C 0 5 D 4 0 2 在方程 22 1 10064 xy 中 下列 a b c 全部正确的一项是 A a 100 b 64 c 36 B a 10 b 6 c 8 C a 10 b 8 c 6 D a 100 c 64 b 36 3 已知 a 4 b 1 焦点在 x 轴上的椭圆方程是 A B C 2 2 1 16 x y D 2 2 1 4 x y 2 2 1 4 y x 2 2 1 16 y x 4 已知焦点坐标为 0 4 0 4 且 a 6 的椭圆方程是 A B 22 1 2036 xy C D 22 1 3620 xy 22 1 3616 xy 22 1 1636 xy 5 若椭圆上一点 P 到焦点 F1的距离等于 6 则点 P 到另一个焦点 F2的距离是 22 1 10036 xy A 4 B 194 C 94 D 14 6 已知 F1 F2是定点 F1 F2 8 动点 M 满足 M F1 M F2 8 则点 M 的轨迹是 A 椭圆 B 直线 C 圆 D 线段 7 若 y2 lga x2 3 1 a 表示焦点在