22一元二次方程

1 授课班级授课时间第 周 第 课时 课 题一元二次方程课 型新 课 教学目标 1 知识目标 使学生充分了解一元二次方程的概念 正确掌握一元二次方程的一般形式 2 能力目标 经历抽象一元二次方程的过程 使学生体会出方程是刻画现实世界中数量关系的一 个有效数学模型 经历探索满足方程解的过程 发展估算的意识和能力 3 情感目标 培养学生主动探索 敢于实践 勇于发现 合作交流的精神 教学重难点 重点 一元二次方程的概念及一般形式 难点 经历用试验的方法探索方程的解 并会解释解的合理性 教具学具 教 学 过 程 问题问题 1 绿苑小区规划设计时 准备在每两幢楼房之间 安排面积为 900 平方 米的一块长方形绿地 并且长比宽多 10 米 那么绿地的长和宽各为多少 分析分析 我们已经知道可以运用方程解决实际问题 设长方形绿地的宽为 x 米 不难列出方程 x x 10 900 整理可得 090010 2 xx 问题问题 2 学校图书馆去年年底有图书 5 万册 预计到明年年底增加到 7 2 万 册 求这两年的年平均增长率 分析分析 设这两年的年平均增长率为 x 已知去年年底的图书数是 5 万册 则 今年年底的图书数是 5 1 x 万册 同样 明年年底的图书数又是今年 年底的 1 x 倍 即万册 可列得方程 2 1 5 1 1 5xxx 2 7 1 5 2 x 整理可得 02 2105 2 xx 思考 1 上述两个方程 10 x 900 0 和 5 10 x 2 2 0 2 x 2 x 是一元一次方程吗 2 试比较下面两个方程的异同 备 注 备 注 2 相同点不同点 方程 整式方程与 分式方程 未知数 未和数的 最高次数 概念 5x 20 090010 2 xx 概括 只含有一个未知数 并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元 二次方程 一元二次方程通常可写成如下的一般形式 a b c 是已知数 a 0 0 2 cbxax 其中 a b c 分别叫做二次项系数 一次项系数和常数项 想一想 1 关于 x 的方程 a bx c 0 是一元二次方程吗 2 x 2 关于 x 的方程 3 6 是一元二次方程的条件是什么 2 x 2 mx 练习 将下列一元二次方程化为一般形式 并分别指出它们的二次项系数 一次 项系数和常数项 1 23 2 xx 2 2 237xx 3 0 2 3 12 xxxx 4 4 5 3 1 2 xxx 例 当 m 时 方程 m 1 2m 1 m 0 是关于 的一元一次方程 2 xx 当 m 时 上述方程才是关于 的一元二次方程 小结 一元二次方程及其一般形式 作业 教材 P20 习题 1 2 3 3 教学反思 授课班级授课时间第 周 第 课时 课 题直接开平方法课 型新课 教学目标 1 会用直接开平方法解形如及 2 0 xb b 2 0 xab b 的方程 2 了解转化 降次思想在解方程中的运用 教学重难点 重点 直接开平方法 难点 将一元二次方程转化为的形式后求解 2 0 xab b 教具学具 教 学 过 程 一 回顾 1 如果 则 就叫做 的 2 如果 则 3 如果 二 试一试 解下列方程 并说明你所用的方法 与同伴交流 1 2 4 2 x01 2 x 概括对于方程 1 有这样的解法 方程 4 2 x 意味着 x 是 4 的平方根 所以 4 x 即x 2 这种方法叫做直接开平方法 学生尝试用直接开平方法解方程 2 备 注 2 0 xa a xa 2 0 xa a x 2 64 xx 则 4 三 例 例 1 利用直接开平方法解下列方程 1 2 25x 2 2 9000 x 练习 P23 1 2 3 例 2 利用直接开平方法解下列方程 1 2 1 40 x 2 2 12 2 90 x 三 小结 1 直接开平方法的理论依据是什么 2 直接开平方法可解形如及的 2 0 xb b 2 0 xab b 一元二次方程 3 方程的解为 2 0 xb b xa 的解为 2 0 xab b xab 四 作业 P34 习题 22 2 第 1 题 备 注 5 教学反思 授课班级授课时间第 周 第 课时 课 题因式分解法课 型新课 教学目标 1 灵活运用因式分解法解一元二次方程 2 了解转化 降次思想在解方程中的运用 教学重难点 重点 用因式分解法解一元二次方程 难点 二次三项式的因式分解 教具学具 教 学 过 程 一 回顾 1 用直接开平方法解下列方程 2 1 10 x 2 2 1 40 x 2 直接开平方法的理论依据是什 直接开平方法可解哪些类型的一元二次方程 其解分别是什么 二 新知探索 1 因式分解法 对于方程 1 有这样的解法 将方程左边用平方差公式分解因式 得 x 1 x 1 0 必有x 1 0 或 x 1 0 分别解这两个一元一次方程 得 1 1 21 xx 这种利用因式分解的方法解方程的方法叫做因式分解法 2 回顾 将下列各式进行因式分解 1 备 注 2 3xx 2 44 39 xx 6 2 3 注意 此处可回顾或学习 十字相乘法 3 例 利用因式分解法解下列方程 2 1 30 xx 2 2 1625x 2 3 23 250 x 概括 采用因式分解法解方程的一般步骤 1 将方程右边的各项移到方程的左边 使方程右边为 0 2 将方程左边分解为两个一次因式的乘积形式 3 令每个因式分别为零 得到两个一元一次方程 4 解这两个一元一次方程 它们的解就是原方程的解 三 练习 P23 练习 概括 口诀 右化零 左分解 两因式 各求解 四 拓展 用你喜欢的方法解下列方程 2 1 2 160 x 2 2 2149xx 2 3 2 20 xx 22 4 21 0 xx 五 P24 你知道吗 六 小结 1 我们已学过一元二次方程的哪两种解法 2 因式分解法解一元二次方程的步骤及注意事项 七 作业 P36 习题 22 2 第 2 题 第 3 题 备 注 2 23xx 7 教学反思 授课班级授课时间第 周 第 课时 课 题配方法课 型新 课 教学目标 1 掌握用配方法解一元二次方程 2 使学生掌握配方法的推导过程 能较熟练地解一元二次方程 3 在配方法的应用过程中体会转化的思想 掌握一些转化的技能 教学重难点 重点 用配方法解一元二次方程 难点 把一元二次方程转化为的形式 2 xpq 教具学具 教 学 一 回顾 1 我们已学过一元二次方程的哪两种解法 2 可用直接开平方法求解的一元二次方程有何特征 3 回顾完全平方公式 4 根据完全平方公式填空 格式如题 1 1 222 84 4 xxx 2 22 10 xxx 3 22 25 xx 二 新知探索 备 注 2 mx 8 过 程 1 参照第一题 推想一下第二题及第三题的解法 2 1 1 6x 2 2 216xx 2 3 25xx 对于方程 可以变形为方程 2 3 25xx 2 1 1 6x 它的左边是一个含有未知数的完全平方式 右边是一个非负常数 这样 就能应用直接开平方的方法求解 2 配方法 把形如的方程变形为 它的左边是 2 0 0 axbxca 2 xmn 一个含有未知数的完全平方式 右边是一个非负常数 这样 就能应用直 接开平方的方法求解 这种解一元二次方程的方法叫做配方法 3 例 例 1 解下列方程 1 2 43xx 2 2 310 xx 例 2 解下列方程 2 1 670 xx 2 2 310 xx 概括 请归纳配方法解一元二次方程的步骤 1 把常数项移到方程右边 2 若二次项系数不是 1 把二次项系数化为 1 方程两边都除以二次项 系数 3 在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方 使左边成为完全平 方 4 如果方程的右边整理后是非负数 用直接开平方法解之 如果右边 是个负数 则指出原方程无实根 练习 P27 练习 1 2 题 例 3 拓展 用配方法证明 代数式的值是正数 2 8200 xx 小结 用配方法解一元二次方程的步骤 作业 1 P27 练习第 2 题 备 注 9 2 P36 第 2 题 3 4 3 P27 试一试 教学反思 授课班级授课时间第 周 第 课时 课 题公式法课 型新 课 教学目标 1 使学生能较熟练地应用求根公式解一元二次方程 2 使学生经历求根公式的探索过程 培养学生抽象思维的能力 3 在探索和应用求根公式中 使学生进一步认识特殊与一般的关系 教学重难点 重点 掌握一元二次方程的求根公式 并应用求根公式解简单的一元二次方程 难点 用配方法导出一元二次方程的求根公式 教具学具 教 学 一 回顾 1 用配方法解方程 2 2410 xx 2 用配方法解一元二次方程的步骤 1 化 1 2 移项 3 配方 4 求解 配方的关键是在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半的平方 将方程 转化为 x m 2 n 的形式 二 新知探索 1 能否用配方法把一般形式的一元二次方程 bx c 0 a 0 转化为 2 ax n 呢 2 xm 因为 a 0 方程两边都除以 a 得 备 注 10 过 程 0 2 a c x a b x 移项 得 a c x a b x 2 配方 得 a c a b a b a b xx 222 2 2 2 2 即 2 2 2 4 4 2 a acb a b x 因为 a 0 所以 4 0 当 4ac 0 时 直接开平方 得 2 a 2 b a acb a b x 2 4 2 2 所以 a acb a b x 2 4 2 2 即 a acbb x a acbb x 2 4 2 4 2 2 2 1 由以上研究的结果 得到了一元二次方程 a bx c 0 的求根公式 2 x 04 2 4 2 2 acb a acbb x 利用这个公式 我们可以由一元二次方程中系数 a b c 的值 直接 求得方程的根 这种解方程的方法叫做公式法 例 1 用公式法解方程 2 3520 xx 例 2 用公式法解方程 2 253xx 概括 用公式法解一元二次方程的步骤 例 2 用公式法解方程 2 32 3xx 例 4 解方程 2 1 3 6xx 三 练习 P30 1 2 3 4 四 小结 备 注 11 一元二次方程的求根公式及公式法解一元二次方程的一般步骤 五 作业 P36 第 4 题 4 5 6 7 要求 用公式法解 教学反思 授课班级授课时间第 周 第 课时 课 题根的判别式课 型新 课 教学目标 1 能应用根的判别式判别方程根的情况和进行有关的推理论证 2 会应用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围 3 向学生渗透分类的数学思想 教学重难 点 重点 根的判别式定理及其逆定理的理解和运用 难点 根的判别式定理及其逆定理的理运用 教具学具 教 学 一 回顾 1 用公式法求下列方程的根 2 1 220 xx 2 2 10 xx 2 一元二次方程的求根公式及公式法解一元二次方程的一般步骤 二 新知探索 1 解方程 a bx c 0 a 0 2 x 因为 a 0 方程两边都除以 a 得 0 2 a c x a b x 备 注 12 过 程 移项 得 a c x a b x 2 配方 得 a c a b a b a b xx 222 2 2 2 2 即 2 2 2 4 4 2 a acb a b x 因为 a 0 所以 4 0 当 4ac 0 时 方程右边是一个正数 方程 2 a 2 b 有两个不相等的实数根 即 a acbb x a acbb x 2 4 2 4 2 2 2 1 当 4ac 0 时 方程右边是 0 方程有两个相等的实数根 即 2 b 12 2 b xx a 当 4ac 0 时 方程右边是一个负数 方程没有实数根 2 b 我们把叫做一元二次方程a bx c 0 a 0 2 4bac 2 x 的根的判别式 用符号 来表示 当 0 时 方程有两个不相等的实数根 当 0 时 方程有两个相等的实数根 当 0 时 方程没有实数根 反之 同样成立 2 练习 按要求完成下列表格 的值 根的情况 3 例 不解方程 判别下列方程根的情况 4 练习 P33 练习 1 2 题 例 不解方程 判别下列关于 x 的方程的根的情况 1 2 22 10 0 a xaxa 三 拓展 已知关于 x 的方程 备 注 yy422 2 0 1 2 2 xx0132 2 xx 22 2 2 1 2420 2 410 1 3 420 4 xkxkk yy xx 3 22 2 20 xkxk 22 2420 xkxkk 3 13 1 当 k 取何值时 方程有两个不相等的实数根 2 当 k 取何值时 方程有两个相等的实数根 3 当 k 取何值时 方程没有实数根 四 小结 根的判别式及一元二次方程根的情况 五 作业 P36 习题第 7 8 9 题 教学反思 授课班级授课时间第 周 第 课时 课 题根与系数的关系课 型新 课 教学目标 1 引导学生在已有的一元二次方程解法的基础上 探索出一元二次方程根与系数的关系 及 其此关系的运用 2 在积极参与数学活动的过程中 初步体验发现问题 总结规律的态度以及养成质疑和独立 思考的习惯 教学重难点 重点 启发学生 观察数字系数的一元二次方程的两根之和及两根之积与原方程 系数之间的关系 猜想一般性质 指导学生用求根公式加以验证 难点 对根与系数的关系这一性质的运用 教具学具 教 学 一 引入 解下列方程 将得到的解填入下面的表格中 你发现表格中两个解的和与积和原 来的方程有什么联系 1 2 3 2 20 xx 2 340 xx 2 560 xx 二 新知探索 1 猜想 备 注 14 过 程 两个根的和等于一元二次方程的一次项系数的相反数 两个根的积等于一元二次 方程的常数项 2 验证 一般地 对于关于 x 方程 p q 为已知常数 2 0 xpxq 试用求根公式求出它的两个解 算一算 2 40pq 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 的值 你能得出什么结果 与上面发现的现象是否一致 2 x 3 证明 22 2 22 12 2222 12 44 4 2 44 22 4444 222 bacpq ppq x ppqppq xx ppqppqppqppq xxp 4 例 求值 则 2 12 410 x xxx 设为方程的两个根 注意 另外几种常见的求值 5 例 P34 例 8 不解方程 求出方程的两根之和与两根之积 1 2 6 P35 例 9 试探索一元二次方程 的根与系数的 关系 四 练习 P35 练习 1 2 3 题 五 拓展 例 以方程 3 5 0 的两个根的相反数为根的方程是 2 xx A y2 3y 5 0 B y2 3y 5 0 C y2 3y 5 0 D y2 3y 5 0 六 小结 一元二次方程跟与系数的关系 备 注 12 xx 12 xx 22 12 xx 2 12 xx 12 11 1 xx 12 21 2 xx xx 12 3 1 1 xx 2 350 xx 2 2350 xx 2 0axbxc 2 0 40 abac 15 七 作业 P36 习题第 10 11 题 教学反思 授课班级授课时间第 周 第 课时 课 题实践与探索 1 课 型新课 教学目标 1 学生在已有的一元二次方程的学习基础上 能够对生活中的实际工资问题进行 数学建模解决问题 从而进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型 2 让学生积极主动参与课堂自主探究和合作交流 并在其中体验发现问题 提出 问题及解决问题的全过程 培养学生的数学应用能力 3 学生感受数学的严谨性 形成实事求是的态度及进行质疑和激发思考的习惯 获得成功的体验和克服困难的经历 增进应用数学的自信心 教学重难点 重点 利用一元二次方程对实际问题进行数学建模 从而解决实际问题 难点 学生分析方程的解 自主探索得到解决实际问题的最佳方案 教具学具 教 学 一 复习 列方程解应用题的一般步骤 二 新课 1 用一元二次方程解决较简单的几何问题 面积 周长 体积 问题 1 学校生物小组有一块长 32m 宽 20m 的矩形实验田 为了管理方便 准备沿平 行于两边的方向纵 横各开辟一条等宽的小道要使种植面积为 540m2 问道路的 宽为多少 m 1 题目中的已知量和未知量分别是什么 2 题目中相等关系式什么 3 设道路宽为 x 米 则横向小道的面积为 纵向小道的面积为 重叠部分面积为 由此可列方程 备 注 16 过 程 x x米米 32m32m 20m20m 试一试 如果设想把小道平移到两边 如图 小道所占的面积是否保持不变 32m 20 m 归纳 列方程解应用题的一般步骤 练习 P40 练习 1 2 用一元二次方程解决较简单的增降率问题 知识装备 1 某商店一月份的利润是 500 元 如果平均每月利润的增长率为 10 则二月份的利润是 元 三月份的利润是 元 2 某商店一月份的利润是 a 元 如果平均每月利润的增长率为 x 则二月份的利润是 元 三月份的利润是 元 问题 2 某药品经过两次降价 每瓶零售价由 56 元降为 31 5 元 已知两次降价的百 分率相同 求每次降价的百分率 分析 若每次降价的百分率为 x 第一次降价后 每瓶零售价为 元 第二次降价后 每瓶零售价为 元 练习 P40 练习 3 4 概括 1 两次增长后的量 原来的量 1 增长率 2 若原来为 a 平均增长率是 x 增长后的量为 b 则 第 1 次增长后的量是 a 1 x b 第 2 次增长后的量是 2 1 axb 第 n 次增长后的量是 1 naxb 这就是重要的增长率公式 2 反之 若为两次降低 则 平均降低率公式为 2 1 axb 三 小结 备 注 17 列方程解应用题的一般步骤 第一步 分析题意 弄清题意和题目中的已知数 未知数 用字母表示题目中 的一个未知数 第二步 抓住等量关系 第三步 列出方程 第四步 解这个方程 求出未知数的值 第五步 检验 检查求得的答数是否符合应用题的实际意义 第六步 答 四 作业 P42 习题 22 3 第 1 2 3 题 教学反思 授课班级授课时间第 周 第 课时 课 题实践与探索 2 课 型新课 教学目标 1 使学生利用一元二次方程的知识解决实际问题 学会将实际问题转化为数学模型 2 让学生经历由实际问题转化为数学模型的过程 领悟数学建模思想 体会如何寻找实际问题中等 量关系来建立一元二次方程 3 通过合作交流进一步感知方程的应用价值 培养学生的创新意识和实践能力 通过交流互动 逐 步培养合作的意识及严谨的治学精神 教学重难 点 重点 列一元二次方程解决实际问题 难点 寻找实际问题中的相等关系 教具学具 教 学 一 回顾 列方程解应用题的一般步骤 二 新课 面积问题 问题 1 小明把一张长为 10 厘米的正方形纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形 再折合 成一个无盖的长方体盒子 如图 1 如果要求长方体的底面积为 81cm2 那么剪去的正方形的边长为多少 备 注 18 过 程 问题 1 长方体的底面正方形的边长 剪去的小正方形的边长与正方形硬纸板的边长存在什 么关系 长方体的底面正方形的边长等于正方形硬纸板的边长减去剪去的小正方形边长的 2 倍 分析 如果设剪去的正方形的边长为 xcm 则长方体盒子的底面边长为 cm 问题 如果要求长方体的底面积为 81cm2 那么剪去的正方形边长为多少 解 设剪去的正方形的边长为 xcm 根据题意 得 10 2x 2 81 解得 x1 9 5 x2 0 5 因为 x1 9 5 不合题意应舍去 所以 x 0 5 答 剪去的正方形的边长为 0 5cm 问题 请问长方体的高与正方形硬纸板中的什么量有关系 求出此时长方体的体积 长方体的高与正方形硬纸板中剪去的小正方形的边长一样 体积为 问题 如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求 那么剪去的正方形边长会发生什么样 的变化 折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化 折合成的长方体底面积 cm2 81644936251694 剪去的正方形边长 cm 折合成的长方体体积 cm3 探索 1 在你观察到的变化中 你感到折合而成的长方体的体积会不会有最大的情况 探索 2 如果以剪去的正方形的边长为自变量 折合而成的长方体的体积为函数 并在直角坐标 系中画出相应的点 看看与你的感觉是否一至 增长率问题 问题 2 阳江市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番 那么这两年中财政净收入的 平均年增长率应为多少 1 翻一番 你是如何理解的 翻一番 即为原净收入的 2 倍 若设原值为 1 那么两年后的值就是 2 2 平均年增长率 你是如何理解的 平均年增长率 指的是每一年净收入增长的百分数是一个相同的值 即每年按同样的百分 数增加 3 探索 P41 若调整计划 两年后的财政净收入值为原值的 1 5 倍 1 2 倍 那么两年中的平均年增长 率相应地调整为多少 3 又若第二年的增长率为第一年的 2 倍 那么第一年的增长率为多少时可以实现市财政净 收入翻一番 三 练习 P42 练习 1 2 3 题 四 小结 谈谈你对本节所探讨的知识有何体会 你能否结合你的体会编制一道应用题 在小组内交流 备 注 3 81 0 540 5cm 19 五 作业 P42 习题 22 3 第 4 5 6 题 教学反思 授课班级授课时间第 周 第 课时 课 题一元二次方程课 型复习 教学目标 1 使学生熟练掌握一元二次方程的四种解法 会选择适当的方法解方程 进一步 体会相互之间的关系及其 转化 的思想 2 使学生熟练分析数量之间的关系 列出一元二次方程来