立体几何专题

立体几何专题 1 如图 正三棱柱的底面边长为 侧棱长为 点在棱上 111 ABCABC a 2 2 aD 11 AC 1 若 求证 直线平面 11 ADDC 1 BC 1 AB D 2 是否存点 使平面 平面 若存在 请确定点的位置 若不存在 D 1 AB D 11 ABB AD 请说明理由 3 请指出点的位置 使二面角平面角的大小为 D 11 AABD arctan2 2 BCBDCBDAACBAABC 且延长一点是侧棱的底面边长为正三棱柱如图 2 33 3 1111 1 求证 直线BC1 平面AB1D 2 求二面角B1 AD B的大小 3 求三棱锥C1 ABB1的体积 3 四棱锥PABCD的底面是边长为a的菱形 ABC 60 PC 平面ABCD PC a E 是PA的中点 1 求证 平面EBD 平面ABCD 2 求点E到平面PBC的距离 3 求二面ABED的大小 文科只求正切值 4 如图 斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角 形 顶点A1在底面ABC上的射影O是 ABC的中心 异面 直线AB与CC1所成的角为45 1 求证 AA1 平面A1BC 2 求二面角A1BCA的大小 3 求这个斜三棱柱的体积 1 C B 1 A A C D 1 B A C1 D C B1 B A1 5 如图正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 AB 1 A1A 2 E F 分别是 A1A 和 D1B 的中点 求证 平面 EFB1 平面 D1DBB1 求四面体 B1 FBC 的体积 求平面 D1EF 与平面 ABCD 所成二面角 锐角 的大小 用反三角函数表示 6 如图 正四棱柱ABCDA1B1C1D1中 底面边长为 侧棱长为4 E F分别为棱AB BC的中点 22 EF BD G 求证 平面B1EF 平面BDD1B1 求点D1到平面B1EF的距离d 求三棱锥B1EFD1的体积V 7 正三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱长和底面边长都等于 2 D 是 BC 上一点 且 AD BC 求证 A1B 平面 ADC1 求截面 ADC1与侧面 ACC1A1所成的二面角 D AC1 C 的大小 8 如图 四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是正方形 PA 底面 ABCD E 是 PC 上一点 满足 EC 又 AB 2 PA 4 O 是正方形中心 22 1 求证 OE 是异面直线 PC 和 BD 的公垂线 2 求点 A 到平面 PBD 的距离 3 求二面角 B PC D 的余弦值 AB CD EF A1 B1 C1D1 A1 C D A B1 C1 B 9 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 ACB 90 BC CC1 a AC 2a 求证 AB1 BC1 求二面角 B AB1 C 的大小 求点 A1到平面 AB1C 的距离 10 如图 在四棱锥中 底面 ABCD 是正方形 侧棱底面 ABCD ABCDP PD E 是 PC 的中点 DCPD I 证明 平面 PAEDB II 求 EB 与底面 ABCD 所成的角的正切值 11 在棱长为 4 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 O 是正方形 A1B1C1D1的中心 点 P 在棱 CC1上 且 CC1 4CP 求直线 AP 与平面 BCC1B1所成的角的大小 结果用反三角函数值表示 设 O 点在平面 D1AP 上的射影是 H 求证 D1H AP 求点 P 到平面 ABD1的距离 A CB D P E B1 P A C D A1 C1 D1 B O H 三 解答题答案 1 1 证 连接交于点 1 AB 1 ABE 在平行四边形中 11 ABB A 有 又 1 AEBE 11 ADDC 为的中位线 从而 DE 11 ABC 1 DEBC 又平面 直线平面 DE 1 AB D 1 BC 1 AB D 2 解 假设存在点 使平面 平面 D 1 AB D 11 ABB A 过点作于 则平面 D 1 DNAB NDN 11 ABB A 又过作于 则平面 D 11 DMAB MDM 11 ABB A 而过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直 故 应重合于点 此时应有MN 1 B 故 111 DBAB 0 11 90AB D 又点在棱上 故 D 11 AC 0 11111 60AB DABC 显然矛盾 故不存在这样的点 使平面 平面 D 1 AB D 11 ABB A 3 解 连接 过作于 由 2 中的作法可知MN 1 A 11 AFAB F 为二面角平面角 MND 11 AABD 设 则 1 11 AD AC 1 11 2 AM AB 则可得 3 2 a DM 1 3 3 AFa 1 3 1 1 232 MNa MN AF 3 6 2 tan3 23 1 32 a DM MNa 64 32 25 即点在棱上且 D 11 AC 1 11 4 5 AD AC 2 1 略 2 过B作BE AD于E 连接EB1 则 B1EB是二面角B1 AD B的角 BD BC AB E是AD的中点 3tan 2 3 2 1 1 11 BE BB EBB BEBRtACBE中在故 故 B1EB 60o 1 C B 1 A A C D 1 B E N M F 8 27 3 11 ABBc V 3 1 连结AC交BD于O ABCD是菱形 O是AC的中点又E是PA的中点 OE PC 由已知PC 平面ABCD OE 平面ABCD 又OE平面EBD 平面EBD 平面ABCD 2 OE PC OE 平面PBC 点E到平面PBC的距离等于点O到平面PBC的距离 由已知PC 平面ABCD 又PC平面PBC 平面PBC 平面ABCD 在平面ABCD内作OH垂直于BC于H 则OH垂直于平面PBC 由已知可知 ABC为正三角形 OC 0 5AC 0 5BC 0 5a ACB ABC 60 aPBCE a OCOHOCHRt o 4 3 4 3 60sin 的距离为到平面即点中在 3 ABCD是菱形 AO BD 又由 1 已证得平面EBD 平面ABCD 而平面EBD 平面ABCD BD且OA平面ABCD OA 平面BDE 作OG BE于G由三垂线定理知AG BE AGO为二面角ABED的平面角 2 4 3 22 1 a OA a OGaBE a PCOEOEBRt 又求得中在 3 32 3 32 arctanDBEAAGOtanAGORt为二面角可得出中在 4 1 证明 顶点A1在底面ABC1内的射影O是 ABC的中心 三棱锥A1为正三棱锥 AA1 CC1 A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角 A1AB 45 又 A1A A1B A1AB A1BA 45 A1AB为等腰直角三角形 即AA1 A1B AA1 A1C A1C A AA1 面A1BC 2 连AO并延长交BC于D 则AD BC 连A1D 则 ADA1即为二面角A1 BC A的平面角 由已知可得 245cos 360sin 11 中在DAARtABAAABAD oo 3 6 3 6 sin 1 1 arcsin AD AA ADA所求二面角为 3 6 1 3 11 1 2 1 2 11 AD DAAA OAAAADDADAARt中在 2 3 6 60sin4 2 1 1 111 o ABCCBAABC OASV 5 连 AC 交 BD 于 O 连 FO FO D1D EA 且 FO G B CD EF A1 B1 C1D1 OA EA FOAE 为平行四边形 EF AO DD1 2 1 AO 面 D1DBB1 EF 面 D1DBB1 EF 平面 1 平面 D1DBB1 平面 1 EFB 高等于 O 到平面 B1BC 的距离 BCBFFBCB VV 11 2 1 V 6 1 2 1 21 2 1 3 1 延长 D1E DA 交于 G 连 BG 为所求二面角的棱 证 D1BD 为所求二面角的平面角 2 2 2 tan 1 1 DB DD BDD 所求二面角为 2arctan 6 连结AC 正四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是正方形 AC BD 又AC D1D 故AC 平面BDD1B1 E F分别为AB BC的中点 故 EF AC EF 平面BDD1B1 平面B1EF 平面BDD1B1 证法二 BE BF EBD FBD 45 EF BD 又 EF D1D EF 平面BDD1B1 平面B1EF 平面BDD1B1 在对角面BDD1B1中 作D1H B1G 垂足为H 平面B1EF 平面BDD1B1 且平面B1EF 平面 BDD1B1 B1G D1H 平面B1EF 且垂足为H 点D1到平面B1EF的 距离d D1H 解法一 在Rt D1HB1中 D1H D1B1 sin D1B1H 17 4 14 4 sinsin 42222 22 1 1 1111111 GB BB GBBHBDBABD 17 1716 17 4 4 1 HDd 解法二 D1HB1 B1BG 17 1716 14 4 22 2 1 2 1 1 1 11 1 1 GB BB HDd GB BD BB HD 解法三 连结D1G 则三角形D1GB1的面积等于正方形DBB1D1面积的一半 17 1716 2 1 2 1 1 2 1 1 2 111 GB BB HDdBBHDGB 3 16 172 2 1 17 16 3 1 3 1 3 11111 EFBEFBDEFDB SdVVV 7 解 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 AD BC D 是 BC 的中点 连 A1C 交 AC1于 E 则 E 是 A1C 的中点 连 ED 则 ED 为 A1BC 的中位线 ED A1B 又 ED平面 ADC1 A1B 平面 ADC 过 D 作 DM AC 于 M 正三棱柱 ABC A1B1C1中 侧面 ACC1A1 底面 ABC DM底面 ABC DM 侧面 ACC1A1 作 MN AC1于 N 连 ND 则根据三垂线定理知 AC1 ND AC1 面 NDM DNM 即为二面角 D AC1 C 的平面角 在 Rt DMC 中 DM DC 2 3 2 3 2 2 1 60sin 在 Rt ANM 中 NM AM 4 23 2 2 2 4 3 45sin 4 3 45sin AC 在 Rt DMN 中 tan DNM 3 6 4 23 2 3 MN DM 即所求二面角的大小为 3 6 arctan DNM 3 6 arctan 8 1 PA 平面 ABCD PA BD 又 AC BD BD 平面 PAC OE平面 PAC BD OE 又 AB 2 AC 4 PA 4 PAC 为等腰 Rt PCA 45 OC 2 2 2 CE OE PC 即 OE 为 PC 和 BD 的公垂线 2 由 1 BD 平面 PAC 平面 PBD 平面 PAC 交线 PO 过 A 作 AF PO 则 AF 平 面 PBD 可求得 AF 5 54 3 可证 Rt PBC Rt PDC 作 BG PC 于 G 连结 DG 则 DG PC BGD 为二面角的 平面角 BG DG 由余弦定理得 cos BGD 6 3 1 9 证明 ABC A1B1C1是直三棱柱 CC1 平面 ABC AC CC1 AC BC AC 平面 B1BCC1 B1C 是 AB1在平面 B1BCC1上的射影 BC CC1 四边形 B1BCC1是正方形 BC1 B1C 根据三垂线定理得 AB1 BC1 5 分 解 设 BC1 B1C O 作 OP AB1于点 P 连结 BP BO AC 且 BO B1C BO 平面 AB1C OP 是 BP 在平面 AB1C 上的射影 根据三垂线定理得 AB1 BP OPB 是二面角 B AB1 C 的平面角 8 分 OPB1 ACB1 1 1 AB OB AC OP a AB ACOB OP 3 3 1 1 在 Rt POB 中 tan 2 6 OP OB OPB 二面角 B AB1 C 的大小为 10 分 2 6 arctan 解 解法 1 A1C1 AC A1C1 平面 AB1C A1C1 平面 AB1C 点 A1到平面 AB1C 的距离与点 C1到平面 AB1C 的距离相等 BC1 平面 AB1C 线段 C1O 的长度为点 A1到平面 AB1C 的距离 点 A1到平面 AB1C 的距离为 12 分aOC 2 2 1 解法 2 连结 A1C 有 设点 A1到平面 AB1C 的距离为 h CAABCABA VV 1111 B1C1 平面 ACC1A1 11 11 CBShS ACAACB 又 2 1 2 2 1 1 aCBACS ACB 2 1 2 1 1 aAAACS ACA a a aa h 2 2 2 2 2 点 A1到平面 AB1C 的距离为 12 分a 2 2 10 I 证明 连结 AC AC 交 BD 于 O 连结 EO 底面 ABCD 是正方形 点 O 是 AC 的中点 在中 EO 是中位线 PAC PAEO 而平面 EDB 且平面 EDB EO PA 所以 平面 EDB 3 分PA II 解 作交 DC 于 F 连结 BF 设正方形EFDC ABCD 的边长为 底面 ABCD aPD PDDC 为 DC 的中点 EFPD F 底面 ABCD BF 为 BE 在底面 ABCD 内的射影 故为直线 EB 与底面 ABCDEF EBF 所成的角 在中 Rt BCF 2222 5 22 a BFBCCFaa 在中 1 22 a EFPD Rt E