最近三年数学选做题(理科)

选修 4 4 坐标系与参数方程 1 2016 年全国 I 在直角坐标系 xOy 中 曲线 C1的参数方程为 t 为参数 a 0 在以坐标原点为极点 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 曲线 C2 4cos I 说明 C1是哪种曲线 并将 C1的方程化为极坐标方程 II 直线 C3的极坐标方程为 0 其中 0满足 tan 0 2 若曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上 求 a 2 2016 年全国 II 在直角坐标系xOy中 圆C的方程为 22 6 25xy 以坐标原点为极点 x轴正半轴为极轴建立极坐标系 求C的极坐标方程 直线l的参数方程是 cos sin xt yt t为参数 l与C交于 A B两点 10AB 求 l的斜率 3 2014 辽宁理 23 分 10 分 将圆上每一点的横坐标保持不变 纵坐标变为 22 1xy 原来的 倍 得曲线 2C 1 写出的参数方程 2 设直线与的交点为 以坐标原点为极C 220lxy C 12 PP 点 轴正半轴为极轴建立极坐标系 求过线段 12 PP的中点且与l垂直的直线的极坐标方程 x 4 2016 江苏 在平面直角坐标系 xOy 中 已知直线 l 的参数方程为 t 为参数 椭 ty tx 2 3 2 1 1 圆 C 的参数方程为 为参数 设直线 l 与椭圆 C 相交于 A B 两点 求线段 AB 的 sin2 cos y x 长 选修 4 4 坐标系与参数方程答案 1 解 均为参数 cos 1sin xat yat t 2 22 1xya 为以为圆心 为半径的圆 方程为 1 C 01 a 222 210 xyya 即为的极坐标方程 222 sinxyy 22 2 sin10a 1 C 两边同乘得 2 4cosC 2222 4 coscosxyx 即 22 4xyx 2 2 24xy 化为普通方程为由题意 和的公共方程所在直线即为 3 C2yx 1 C 2 C 3 C 得 即为 2 4210 xya 3 C 2 10a 1a 2 解 整理圆的方程得 22 12110 xy 由可知圆的极坐标方程为 222 cos sin xy x y C 2 12 cos110 记直线的斜率为 则直线的方程为 k0kxy 由垂径定理及点到直线距离公式知 2 2 6 10 25 2 1 k k 即 整理得 则 2 2 3690 14 k k 2 5 3 k 15 3 k 3 4 解 椭圆的普通方程为 将直线 的参数方程 代入 得C 2 2 1 4 y x l 1 1 2 3 2 xt yt 2 2 1 4 y x 即 解得 2 2 3 1 2 1 1 24 t t 2 7160tt 1 0t 2 16 7 t 所以 12 16 7 ABtt 5 10 分 在直角坐标系 xOy 中 曲线 1 C 的参数方程为 以坐标原 点为极点 以 x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系 曲线 2 C 的极坐标方程为 sin 2 2 4 I 写出 1 C 的普通方程和 2 C 的直角坐标方程 II 设点 P 在 1 C 上 点 Q 在 2 C 上 求 PQ 的最小值及此时 P 的直角坐标 6 7 分 已知直线 的参数方程为 为参数 圆的参数方程为 l 2 4 xat yt tC sin4 cos4 y x 为常数 1 求直线 和圆的普通方程 2 若直线 与圆有公共点 求实数的取值范围 lClCa 7 10 分 在平面直角坐标系中 已知直线 的参数方程为 为参数 xOyl 2 1 2 2 2 2 xt yt t 直线 与抛物线相交于 两点 求线段的长 l 2 4yx ABAB 8 9 2014 新课标 1 理 23 10 分 已知曲线 直线 为参数 C 22 1 49 xy l 2 22 xt yt t 1 写出曲线的参数方程 直线 的普通方程 Cl 2 过曲线上任意一点作与 夹角为的直线 交 于点 求的最大值与最小CPl30 lAPA 值 10 2014 新课标 2 理 23 本小题满分 10 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系中 以坐标原点为极点 轴正半轴为极轴建立极坐标系 半圆的极坐xOyxC 标方程为 2cos 0 2 1 求的参数方程 2 设点在上 在处的切线与直线垂直 CDCCD 32l yx 根据 1 中你得到的参数方程 确定的坐标 D 选修4 5 不等式选讲 1 15 年福建理科 已知0 0 0abc 函数 f xxaxbc 的最小值为 4 求abc 的值 求 222 11 49 abc 的最小值 2 15 年新课标 2 理科 设 a b c d 均为正数 且 a b c d 证明 1 若 ab cd 则abcd 2 abcd 是 abcd 的充要条件 3 2014 辽宁理 10 分 设函数 记 211f xxx 2 1681g xxx 的解集为 的解集为 1 xfM4 xgN 1 求 2 当时 证明 MxMN 4 1 2 2 xfxxfx 4 15 年陕西理科 已知关于x的不等式xab 的解集为 24xx I 求实数a b的值 II 求12atbt 的最大值 5 10 分 已知函数 2 f xxaa I 当 a 2 时 求不等式 6f x 的解集 II 设函数 21 g xx 当 x R 时 f x g x 3 求 a 的取值范围 6 7 分 已知定义在上的函数的最小值为 R 12f xxx a 1 求的值 2 若为正实数 且 求证 arqp arqp 3 222 rqp 7 9 2014 新课标 1 10 分 若 且 0a 0b ab ba 11 1 求的最小值 2 是否存在 使得 并说明理由 33 ab a b632 ba 10 分 已知 证明 0 x 0y 22 119xyxyxy 8 1 答案 4 8 7 解析 试题分析 由绝对值三角不等式得 f xxaxbc 的最小值为 a bc 故 a 4bc 即a b c4 利用柯西不等式 2222222 123123112233 xxxyyyx yx yx y 求解 试题解析 因为 x x x x x a fabcabcbc 当且仅当axb 时 等号成立 又0 0ab 所以 a b a b 所以 x f的最小值为a b c 所以a b c4 由 1 知a b c4 由柯西不等式得 2 2 222 11 4 9 12 3 116 4923 ab abccabc 即 222 118 497 abc 所以 222 11 49 abc 的最小值为 8 7 当且仅当 11 32 231 ba c 即 8182 777 abc 时 等号成立 2 3 答案 解析 试题分析 I 由abcd 及abcd 可证明 22 abcd 开方即得 abcd II 本小题可借助第一问的结论来证明 但要分必要性与充分性来证明 试题解析 解 I 因为 22 2 2 abababcdcdcd 考点 不等式证明 4 答案 I 3a 1b II 4 解析 试题分析 I 先由xab 可得baxba 再利用关于x的不等式xab 的解 集为 24xx 可得a b的值 II 先将312tt 变形为34tt 再利 用柯西不等式可得312tt 的最大值 试题解析 I 由 xab 得baxba 则 2 4 ba ba 解得3a 1b II 222 2 3 12 3 4314tttttt 2 44tt 当且仅当 4 13 tt 即1t 时等号成立 故 max 3 12 4tt 2 2014 江苏理 21 A 选修4 1 几何证明选讲 本小题满分10 分 如图 是圆的直径 是圆上位于异侧的两点 证明 ABOCDOABOCBD 3 2014 辽宁理 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图所示 交圆于 两点 切圆于 为上一点且 连接EPECPDDGCEPGPD 并延长交圆于点 作弦垂直 垂足为 DGAABEPF 1 求证 为圆的直径 AB 2 若 求证 ACBD ABED 6 2014 新课标 1 理 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 四边形是的内接四边形 的延长线与的延长线交于点 且ABCDOAABDCE CBCE 1 证明 DE 2 设不是的直径 的中点为 且 证明 为等边三角ADOAADMMBMC ADE 形 9 2014 新课标 2 理 22 本小题满分 10 选修 4 1 几何证明选讲 如图是外一点 是切线 为切点 割线与相交于点 POAPAAPBCOAB 为的中点 的延长线交于点 C2PCPA DPCADOAE 证明 1 BEEC 2 2 2AD DEPB 11 2014 新课标 2 理 24 本小题满分 10 选修 4 5 不等式选讲 设函数 1 f xxxa a 0a 1 证明 2f x 2 若 求的取值范围 35f a 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 OAB 是等腰三角形 AOB 120 以 O 为圆心 OA 为半径作圆 I 证明 直线 AB 与 O 相切 II 点 C D 在 O 上 且 A B C D 四点共圆 证明 AB CD 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直线坐标系 xoy 中 曲线 C1的参数方程为 t 为参数 a 0 在以坐