高中数学学案：不等式苏教版.doc

数学必修5知识点第3章 不等式1不等式的基本性质：填空题采用“特殊值法”处理(1) (2)(3) (4)(5) (6) 注:1.求不等式的解集、定义域及值域时，结果一定要用集合或区间表示，不能用不等式表示2.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘；同时要注意“同号可倒”即，2一元二次不等式与相应的二次函数、相应的一元二次方程之间的关系：判别式二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根R3均值不等式：若，则（当且仅当时取等号） 若，则（当且仅当时取等号）基本变形：； (当且仅当ab时取“=”号) 若，则；.求最值时注意且“等号成立”时的条件，积或和其中之一为定值.应用条件：“一正二定三相等；积定和小，和定积大”.注：两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是： 当且仅当时等号成立. 当且仅当时取等号.4作差法证明不等式步骤：作差；变形（对差进行因式分解或配方变成几个数(式)的完全平方和）；判断差的符号.5不等式的解法： 注意“系数化正”(1)一元一次不等式：； (2)一元二次不等式：（“系数化正”，根据的三种情况（）写出解集）解一元二次不等式的步骤： （1）二次项系数化为正数； （2）解对应的一元二次方程；（3）根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；（4）写出不等式的解集一元二次不等式恒成立小结：（）恒成立 （）恒成立(3)绝对值不等式：若，则；注：()去绝对值符号的方法： 平方法：通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边须为非负值. 讨论法：讨论绝对值中式子还是，然后去绝对值符号，转化为一般不等式.等价转化法：如或；.()含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解.转化时利用 “零点分段法”（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集.）如:解不等式，由两个零点及将R分为三段去掉绝对值再求解，每一段的解都是不等式的解，最后取并集.()绝对值不等式：(4) 连不等式的转化：(5) 分式不等式的解法：分式不等式变形为整式不等式；注：分式不等式解法：(移项通分,分子分母因式分解,的系数化为1，用穿轴法求结果)等价于且.对于“等号”要慎重处理. (6)高次不等式：方法 “序轴标根法” (变形标根穿线定解)不等式转化为(系数为1,根由小到大排列)，将分解为若干一次因式或二次不可分因式的乘积（使各括号内的系数为正），再将各根有序的标在数轴上，利用“奇穿偶回”(奇偶指幂指数的次数)的原则求解不等式.用“穿轴法”解高次不等式技巧:“奇穿，偶切”（穿轴时从最大根的右上方开始）如: 1. 解不等式，解：原不等式等价于，将方程的根标在轴上，从右到左画出的示意图，原不等式的解集是或02-1-3x2.解不等式，由图知不等式的解集为或或，(注意“等号”须单独考虑) 3.解不等式(7)无理不等式：转化时把握二点：一是两边非负才能平方，二是根式必须有意义.等价于或；型，应按和进行分类.(8)指数、对数不等式：转化时把握“同底数原则”“单调性原则”，同时还要注意真数大于零，底数要使不等式有意义.当时； 当时； 下半平面上半平面(9)含参数的不等式：合理分类是关键，根据零根、根式有意义、影响不等号方向等因素确定分类标准，分类时要做到不重、不漏，然后求解并分类作答.6不等式表示的平面区域：一般地，直线把平面分成两个区域：表示直线及直线上方的平面区域；表示直线及直线下方的平面区域注：对于不含边界的区域，要将边界画成虚线7（1）基本不等式：两个数的几何平均数小于等于它们的算术平均数.若，则 （当且仅当时取“=”）（2）基本变形：；.若，则，.（当且仅当时取“=”）两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数之间的关系是： （当且仅当时取“=”）8利用不等式： ； 求最值时应注意,“积”或“和”其中之一为定值，且“等号成立”.（一正、二定、三相等）9常用不等式：（1） （当且仅当时取“=”）（2） （当且仅当时取“=”）10极值定理:已知都是正数，则有（1）若积是定值，则当时和有最小值；（积定和最小）（2）若和是定值，则当时积有最大值 （