高一数学必修一综合

老梁试卷高一数学必修一综合老梁试卷高一数学必修一综合 一 选择题 共一 选择题 共 10 小题 满分小题 满分 50 分 每小题分 每小题 5 分 分 1 5 00 分 已知集合 A x x2 16 B x 4 2x 0 则 A B A 4 2 B 4 4 C 2 2 D 2 4 2 5 00 分 函数 f x ln 的大致图象是 A B C D 3 5 00 分 已知函数是奇函数 则 f a 的值等于 A B 3 C 或 3 D 或 3 4 5 00 分 已知奇函数 f x 当 x 0 时单调递增 且 f 1 0 若 f x 1 0 则 x 的取 值范围为 A x 0 x 1 或 x 2 B x x 0 或 x 2 C x x 0 或 x 3 D x x 1 或 x 1 5 5 00 分 已知函数 f x logax 0 a 1 的导函数为 f x 记 A f a B f a 1 f a C f a 1 则 A A B CB A C BC B A CD C B A 6 5 00 分 已知函数 若 x y 满足 则的取值范围 是 A B C 1 1 D 1 1 7 5 00 分 已知点 m 8 在幂函数 f x m 1 xn的图象上 设 则 a b c 的大小关系为 A a c bB a b cC b c aD b a c 8 5 00 分 已知函数 f x g x ex e 是自然对数的底数 若关于 x 的 方程 g f x m 0 恰有两个不等实根 x1 x2 且 x1 x2 则 x2 x1的最小值为 A 1 ln2 B ln2C 1 ln2 D 1 ln2 9 5 00 分 某公司拟投资开发新产品 估计能获得 10 万元至 100 万元的投资收益 为激发 开发者的潜能 公司制定产品研制的奖励方案 奖金 y 万元 随投资收益 x 万元 的增加而 增加 同时奖金不超过投资收益的 20 奖金封顶 9 万元 若采用以下函数模型拟合公司奖励 方案 则较适合的函数是 A y 2B y C y D y 4lgx 3 10 5 00 分 在下列图象中 二次函数 y ax2 bx c 与函数 y x的图象可能是 A B C D 二 填空题 共二 填空题 共 4 小题 小题 11 已知 log2x log3y log5z 0 则 由小到大排序为 12 已知函数 a 0 且 a 1 若 f 3 f 4 则不等式 f x2 3x f 4 的解集为 13 函数 f x 关于 x 的方程 f x kx k 至少有两个不相等的实数根 则实数 k 的取值范围为 14 已知 R 函数 f x 当 2 时 不等式 f x 0 的解集是 若函数 f x 恰有 2 个零点 则 的取值范围是 三 解答题 共三 解答题 共 6 小题 小题 15 已知定义域为 R 的函数 f x 是奇函数 1 求 a 的值 2 判断函数 f x 的单调性并证明 3 若对于任意的 t 1 2 不等式 f 2t2 t 1 f t2 2mt 0 有解 求 m 的取值范围 16 1 计算 2 已知 x x 2 求的值 17 已知函数 f x lg x 1 lg 1 x 求函数 f x 的定义域 判断函数 f x 的奇偶性 18 已知幂函数 f x 在 0 上单调递增 函数 g x 2x k 求实数 m 的值 当 x 1 2 时 记 f x g x 的值域分别为集合 A B 若 A B A 求实数 k 的取 值范围 19 已知函数 1 求函数 f x 的反函数 f 1 x 2 试问 函数 f x 的图象上是否存在关于坐标原点对称的点 若存在 求出这些点的坐标 若不存在 说明理由 3 若方程的三个实数根 x1 x2 x3满足 x1 x2 x3 且 x3 x2 2 x2 x1 求实数 a 的值 20 如图所示 在一半径等于 1 千米的圆弧及直线段道路 AB 围成的区域内计划建一条商业街 其起点和终点均在道路 AB 上 街道由两条平行于对称轴 l 且关于 l 对称的两线段 EF CD 及夹 在两线段 EF CD 间的弧组成 若商业街在两线段 EF CD 上收益为每千米 2a 元 在两线段 EF CD 间的弧上收益为每千米 a 元 已知 设 EOD 2 1 将商业街的总收益 f 表示为 的函数 2 求商业街的总收益的最大值 老梁试卷高一数学必修一综合老梁试卷高一数学必修一综合 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 10 小题 满分小题 满分 50 分 每小题分 每小题 5 分 分 1 5 00 分 已知集合 A x x2 16 B x 4 2x 0 则 A B A 4 2 B 4 4 C 2 2 D 2 4 分析 可解出集合 A B 然后进行交集的运算即可 解答 解 A x 4 x 4 B x x 2 A B 4 2 故选 A 点评 考查描述法 区间表示集合的概念 以及交集的运算 2 5 00 分 函数 f x ln 的大致图象是 A B C D 分析 根据函数的奇偶性和函数值的特点即可判断 解答 解 f x ln ln f x f x 为奇函数 排除 A C 当 0 x e 1 则 f e 1 ln ln e 2 lne 0 故排除 B 故选 D 点评 本题考查了函数图象的识别和判断 关键是掌握函数的奇偶性 以函数值的特点 属 于基础题 3 5 00 分 已知函数是奇函数 则 f a 的值等于 A B 3C 或 3D 或 3 分析 根据 f x 为奇函数即可得出 从而可解出 a 1 从而可求出 f a 的值 解答 解 f x 是奇函数 整理得 2a2 2 2x 0 2a2 2 0 a 1 a 1 时 a 1 时 故选 C 点评 考查奇函数的定义 指数式的运算 以及已知函数求值的方法 4 5 00 分 已知奇函数 f x 当 x 0 时单调递增 且 f 1 0 若 f x 1 0 则 x 的取 值范围为 A x 0 x 1 或 x 2 B x x 0 或 x 2 C x x 0 或 x 3 D x x 1 或 x 1 分析 先确定函数 f x 在 0 上单调递增 且 f 1 0 再将不等式等价变形 即 可得到结论 解答 解 定义在 R 上的奇函数 f x 在 0 上单调递增 且 f 1 0 函数 f x 在 0 上单调递增 且 f 1 0 且 1 x 0 或 x 1 f x 0 x 1 或 0 x 1 f x 0 不等式 f x 1 0 1 x 1 0 或 x 1 1 解得 0 x 1 或 x 2 故选 A 点评 本题考查函数单调性与奇偶性的结合 关键利用函数上奇函数得到对称区间得单调性 属于基础题 5 5 00 分 已知函数 f x logax 0 a 1 的导函数为 f x 记 A f a B f a 1 f a C f a 1 则 A A B CB A C BC B A CD C B A 分析 设 M 坐标为 a f a N 坐标为 a 1 f a 1 利用导数及直线斜率的求法得 到 A B C 分别为对数函数在 M 处的斜率 直线 MN 的斜率及对数函数在 N 处的斜率 根据 对数函数的图象可知大小 得到正确答案 解答 解 记 M a f a N a 1 f a 1 则由于 B f a 1 f a 表示直线 MN 的斜率 A f a 表示函数 f x logax 在点 M 处的切线斜率 C f a 1 表示函数 f x logax 在点 N 处的切线斜率 所以 C B A 故选 D 点评 本题考查三个数的大小的比较 考查会利用导数求过曲线上某点切线的斜率 掌握直 线斜率的求法 是一道中档题 6 5 00 分 已知函数 若 x y 满足 则的取值范围 是 A B C 1 1 D 1 1 分析 先求出函数 y f x 的定义域 1 1 并利用定义判断出函数 y f x 为奇函数 利用复合函数的单调性判断出函数 y f x 为减函数 由 得 可得到关于 x y 的二元一次方程组 然后利用线性规划的知识可求出 的取值范围 解答 解 由 得 解得 1 x 1 所以 函数的定义域为 1 1 关于原点对称 任取 x 1 1 则 x 1 1 所以 函数为奇函数 令 则内层函数在 x 1 1 上单调递减 而外层函数 y lnu 单调递增 由复合函数的单调性可知 函数为减函数 由 得 则有 化简得 做出不等式组所表示的可行域如下图阴影部分区域所示 而代数式表示连接可行域上的点 x y 与定点 P 3 0 两点连线的斜率 由斜率公式可得直线 PC 的斜率为 直线 PB 的斜率为 结合图形可知 的取值范围是 1 1 故选 C 点评 本题考察函数的奇偶性与单调性 以及线性规划 关键在于利用函数的单调性与奇偶 性得到二元一次不等式组 然后利用线性规划求代数式的取值范围 属于中等题 7 5 00 分 已知点 m 8 在幂函数 f x m 1 xn的图象上 设 则 a b c 的大小关系为 A a c bB a b cC b c aD b a c 分析 由幂函数的定义可得 m 2 n 3 f x x3 且 f x 在 R 上递增 结合对数函数和 幂函数的性质 即可得到 a b c 的大小关系 解答 解 点 m 8 在幂函数 f x m 1 xn的图象上 可得 m 1 1 即 m 2 2n 8 可得 n 3 则 f x x3 且 f x 在 R 上递增 由 a f b f ln c f 0 1 ln 1 可得 a c b 故选 A 点评 本题考查幂函数的解析式和性质以及运用 比较大小 考查运算能力 属于中档题 8 5 00 分 已知函数 f x g x ex e 是自然对数的底数 若关于 x 的 方程 g f x m 0 恰有两个不等实根 x1 x2 且 x1 x2 则 x2 x1的最小值为 A 1 ln2 B ln2C 1 ln2 D 1 ln2 分析 化简方程为 f x lnm 作函数 f x y lnm 的图象 结合图象可知 存在实数 m 0 m 1 使 x2 e m 可得 x1 x2 m lnm 令 g m m lnm 利用导数可得 g m g 解答 解 f x f x 0 恒成立 g f x e f x m f x lnm 作函数 f x y lnm 的图象如下 结合图象可知 存在实数 m 0 m 1 使 x2 e m 故 x1 x2 m lnm 令 g m m lnm 则 g m 1 故 g m 在 0 递减 在 1 递增 g m g 故选 D 点评 本题考查了复合函数与分段函数的应用 同时考查了导数的综合应用及最值问题 应 用了数形结合的思想及转化构造的方法 9 5 00 分 某公司拟投资开发新产品 估计能获得 10 万元至 100 万元的投资收益 为激发 开发者的潜能 公司制定产品研制的奖励方案 奖金 y 万元 随投资收益 x 万元 的增加而 增加 同时奖金不超过投资收益的 20 奖金封顶 9 万元 若采用以下函数模型拟合公司奖励 方案 则较适合的函数是 A y 2B y C y D y 4lgx 3 分析 由设奖励函数模型为 y f x 则公司对函数模型的基本要求是 当 x 10 100 时 f x 是增函数 f x 9 恒成立 恒成立 然后对两个函数模型逐一分析 对三个条件全部满足的选取 三个条件有一个不满足则舍弃 解答 解 设奖励函数模型为 y f x 则公司对函数模型的基本要求是 当 x 10 100 时 f x 是增函数 f x 9 恒成立 恒成立 对于函数模型 y 2 当 x 10 100 时 f x 是增函数 则 f x max f 100 2 5 2 7 所以 f x 9 恒成立 因为函数 在 10 100 上是减函数 所以 max 即不恒成立 故该函数模型不符合公司要求 对于函数模型 y 当 x 10 100 时 f x 是增函数 则 f x max f 100 10 9 所以 f x 9 不成立 故该函数模型不符合公司要求 于函数模型 y x 当 x 10 100 时 f x 是增函数 则 f x max f 100 4 所以 f x 9 恒成立 因为函数 在 10 100 上是减函数 所以 max 即恒成立 故该函数模型符合公司要求 对于函数模型 f x 4lgx 3 当 x 10 100 时 f x 是增函数 则 f x max f 100 4lg100 3 8 3 5 所以 f x 9 恒成立 设 g x 4lgx 3 则 当 x 10 时 所以 g x 在 10 100 上是减函数 从而 g x g 10 1 0 所以 4lgx 3 0 即 4lgx 3 所以恒成立 故该函数模型符合公司要求 在 和 中 的 f x max 4 的最大值为 x max 5 则为了达到激励的目的 应该是收益越高 奖励的比例越高 故 比 更合适 故选 D 点评 本题考查了函数模型的选择及应用 训练了函数最值的求法 综合性较强 有一定的 难度 10 5 00 分 在下列图象中 二次函数 y ax2 bx c 与函数 y x的图象可能是 A B C D 分析 二次函数 y ax2 bx c 与函数 y x的图象 分别判断 a b c 的符号及关系 由 此寻找正确答案 解答 解 A 中 由二次函数 y ax2 bx c 的图象知 a 0 b 0 c 0 此时 y x即 y x为减函数 故 A 成立 B 中 由二次函数 y ax2 bx c 的图象知 a 0 b 0 c 0 此时 0 函数 y x 无意义 故 B 不成立 C 中 由二次函数 y ax2 bx c 的图象知 a 0 b 0 c 0 此时 y x即 y x为增函数 故 C 不成立 D 中 由二次函数 y ax2 bx c 的图象知 a 0 b 0 c 0 此时 0 函数 y x 无意义 故 D 不成立 故选 A 点评 本题考查指数函数和二次函数的图象和性质 解题时结合图象要能准确地判断系数的 取值 二 填空题 共二 填空题 共 4 小题 小题 11 已知 log2x log3y log5z 0 则 由小到大排序为 分析 设 k log2x log3y log5z 0 可得 x 2k y 3k z 5k 可得 21 k 31 k 51 k 利用指数函数的即可得出 解答 解 设 k log2x log3y log5z 0 x 2k y 3k z 5k 则 21 k 31 k 51 k 21 k 31 k 51 k 故答案为 点评 本题考查了指数函数与对数函数的单调性 考查了推理能力与计算能力 属于中档 题 12 已知函数 a 0 且 a 1 若 f 3 f 4 则不等式 f x2 3x f 4 的解集为 1 0 0 3 3 4 分析 直接利用函数的性质和定义域求出结果 解答 解 函数 a 0 且 a 1 若 f 3 f 4 则 函数单调递增 故 不等式 f x2 3x f 4 满足 x2 3x 4 解得 1 x 4 由于 x2 3x 0 解得 x 0 且 x 3 故 不等式 f x2 3x f 4 的解集为 1 0 0 3 3 4 故答案为 1 0 0 3 3 4 点评 本题考查的知识要点 函数的性质的应用 单调性的应用 13 函数 f x 关于 x 的方程 f x kx k 至少有两个不相等的实数根 则实数 k 的取值范围为 k 且 k 1 分析 根据函数与方程的关系 转化为函数 f x 与 g x k x 1 至少有两个不同的交 点 作出对应的图象 利用数形结合进行求解即可 解答 解 由 f x kx k 至少有两个不相等的实数根 得 f x k x 1 至少有两个不相等 的实数根 设 g x k x 1 则等价为 f x 与 g x 至少有两个不同的交点 作出函数 f x 的图象如图 g x k x 1 过定点 C 1 0 当 x 0 时 f x x2 x 的导数 f x 2x 1 在 x 1 处 f 1 2 1 1 当 k 1 时 g x x 1 与 f x x x 1 平行 此时两个图象只有一个交点 不满足条件 当 k 1 时 两个函数有两个不相等的实数根 当 0 k 1 时 两个函数有 3 个不相等的实数根 当 k 0 时 当直线经过点 A 时 两个图象有两个交点 此时 k 1 即 k 当 k 0 时 两个图象有 3 个交点 综上要使方程 f x kx k 至少有两个不相等的实数根 则 k 且 k 1 故答案为 k 且 k 1 点评 本题主要考查函数与方程的应用 利用条件转化为两个函数图象的交点个数问题 结 合数形结合是解决本题的关键 综合性较强 有一定的难度 14 已知 R 函数 f x 当 2 时 不等式 f x 0 的解集是 x 1 x 4 若函数 f x 恰有 2 个零点 则 的取值范围是 1 3 4 分析 利用分段函数转化求解不等式的解集即可 利用函数的图象 通过函数的零点得到不 等式求解即可 解答 解 当 2 时函数 f x 显然 x 2 时 不等式 x 4 0 的解集 x 2 x 4 x 2 时 不等式 f x 0 化为 x2 4x 3 0 解得 1 x 2 综上 不等式的解 集为 x 1 x 4 函数 f x 恰有 2 个零点 函数 f x 的草图如图 函数 f x 恰有 2 个零点 则 1 3 或 4 故答案为 x 1 x 4 1 3 4 点评 本题考查函数与方程的应用 考查数形结合以及函数的零点个数的判断 考查发现问 题解决问题的能力 三 解答题 共三 解答题 共 6 小题 小题 15 已知定义域为 R 的函数 f x 是奇函数 1 求 a 的值 2 判断函数 f x 的单调性并证明 3 若对于任意的 t 1 2 不等式 f 2t2 t 1 f t2 2mt 0 有解 求 m 的取值范围 分析 1 根据 f 0 0 求出 a 的值 2 根据函数单调性的定义证明 3 根据奇偶性和单调性列出不等式 从而得出 m 的范围 解答 解 1 f x 是 R 上的奇函数 f 0 0 a 1 2 f x 故 f x 是 R 上的减函数 证明 设 x1 x2是 R 上的任意两个数 且 x1 x2 则 f x1 f x2 x1 x2 0 3 3 0 即 f x1 f x2 0 f x1 f x2 f x 在 R 上是减函数 3 f x 是奇函数 f 2t2 t 1 f t2 2mt 0 有解 f t2 2mt f 2t2 t 1 f 2t2 t 1 又 f x 是减函数 t2 2mt 2t2 t 1 在 1 2 上有解 m 设 g t 则 g t 0 g t 在 1 2 上单调递减 g t g 1 m 的取值范围是 点评 本题考查了函数奇偶性 单调性的应用 函数最值的计算 属于中档题 16 1 计算 2 已知 x x 2 求的值 分析 1 利用根式的运算性质即可得出 2 由 两边平方 可得 x x 1 2 两边平方得 x2 x 2 2 两边平方得 x4 x 4 2 代入即可得出 解答 解 1 原式 2 两边平方 x x 1 2 两边平方得 x2 x 2 2 两边平方得 x4 x 4 2 原式 点评 本题考查了乘法公式 根式的运算性质 考查了推理能力与计算能力 属于中档题 17 已知函数 f x lg x 1 lg 1 x 求函数 f x 的定义域 判断函数 f x 的奇偶性 分析 1 欲使 f x 有意义 须有 解出即可 2 利用函数奇偶性的定义即可作出判断 解答 解 1 依题意有 解得 1 x 1 故函数的定义域为 1 1 2 f x lg 1 x lg 1 x f x f x 为奇函数 点评 本题考查函数定义域的求解及函数奇偶性的判断 属基础题 定义是解决函数奇偶性 的基本方法 18 已知幂函数 f x 在 0 上单调递增 函数 g x 2x k 求实数 m 的值 当 x 1 2 时 记 f x g x 的值域分别为集合 A B 若 A B A 求实数 k 的取 值范围 分析 根据幂函数的定义和性质即可求出 m 的值 先求出 f x g x 的值域 再根据若 A B A 得到关于 k 的不等式组 解的即可 解答 解 依题意幂函数 f x 得 m 1 2 1 解得 m 0 或 m 2 当 m 2 时 f x x 2在 0 上单调递减 与题设矛盾 舍去 m 0 由 知 f x x2 当 x 1 2 时 f x g x 单调递增 A 1 4 B 2 k 4 k A B A 解得 0 k 1 故实数 K 的取值范围为 0 1 点评 本题主要考查了幂函数的性质定义 以及集合的运算 属于基础题 19 已知函数 1 求函数 f x 的反函数 f 1 x 2 试问 函数 f x 的图象上是否存在关于坐标原点对称的点 若存在 求出这些点的坐标 若不存在 说明理由 3 若方程的三个实数根 x1 x2 x3满足 x1 x2 x3 且 x3 x2 2 x2 x1 求实数 a 的值 分析 1 用 y 表示出 x 即可得出反函数 2 设出对称的两点横坐标坐标 令函数值的和为 0 求出点的横坐标 从而得出两点坐标 3 判断 f x 与 2的大小 求出 x1 x2 x3的值 根据得 x3 x2 2 x2 x1