江西 程峰 漫谈三角形数

漫谈漫谈 三角形数三角形数 江西省彭泽县杨梓中学 江西省彭泽县杨梓中学 332713 程峰程峰 cfpk0808 古希腊数学家把数 1 3 6 10 15 21 叫做 三角形数 它有一定的规律性 下面从几个角度讨论这个三角形数列 一 一 找三角形数的规律即如何用含找三角形数的规律即如何用含 n 的式子表示第的式子表示第 n 个数 个数 分析 1 因为 所以这一列数不满 12 13 23 36 34 610 足一次函数关系式 2 显然这一列数不满足反比例函数关系式 3 假设这列数满足二次函数关系式 设第 n 个数为 S an bn c 由于第 1 个数是 1 即 1 1 第 2 个数是 3 即 2 2 3 第 3 个数是 6 即 3 6 把 1 1 2 3 3 6 分别代入 S an bn c 得 a b c 1 解得 2 a 2 1 4a 2b c 3 b 2 1 9a 3b c 6 c 0 s n n 1 经检验s n n 1 符合要求 因此三角形数 2 1 2 1 列的第 n 个数是n n 1 2 1 二 为什么把这列数称为三角形数呢 二 为什么把这列数称为三角形数呢 1 从 s n n 1 形式上看 第 n 个数 s 可以看作是底边和高 2 1 分别是 n 1 n 的三角形的面积 2 把数 1 3 6 10 15 21 换一种方式排列 即 1 1 1 2 3 1 2 3 6 1 2 3 4 10 1 2 3 4 5 15 1 2 3 4 5 6 n 1 n n n 1 2 1 从上面的排列方式看 把 1 3 6 10 15 21 叫做 三角形数 名副其实 三 三角形数列的变形三 三角形数列的变形 在原数列的 1 前面添上一个 0 仍然是三角形数列 此时第 n 个数是n n 1 2 1 1 把三角形数列 0 1 3 6 10 15 21 依次相邻 两数相加得 0 1 1 1 1 3 4 2 3 6 9 3 6 10 16 4 10 15 25 5 22222 得平方数列 1 4 9 16 25 n 2 2 把三角形数列 0 1 3 6 10 15 21 依次相邻两 数相减 后减前 得 1 0 1 3 1 2 6 3 3 10 6 4 得自然 数列 1 2 3 4 5 n 四 三角形数列与杨辉三角形四 三角形数列与杨辉三角形 课标北师大版七年级下第 42 页读一读中介绍了杨辉三角形 如 图 1 观察杨辉三角形 不难发现三角形数列正好是杨辉三角形的一 部分 这是一种巧合还是一种必然呢 同学们在高中学习二项式定 理后就知道了 1 11 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 图 1 五 三角形数列的应用 1 数列 0 1 3 6 10 15 21 n n 1 的应用 现举 2 1 几例 1 一条线段上共有 n 个点 以这些点为端点的所有线段条 数是n n 1 n 2 2 1 平面上有 n 条直线两两相交 则交点个数最多是n n 1 2 1 n 2 3 平面上有 n 个点 没有任何三点在同一直线上 过其中 任意两点画直线 则 最多有n n 1 n 2 条直线 2 1 4 n 个人见面相互握手 每两人都要握手一次 则这 n 个 人一共要握手n n 1 n 2 次 2 1 2 数列 1 3 6 10 15 21 n n 1 的应用 现举几 2 1 例 1 如图 2 所示 则第 63 行 倒数第 9 个位置上的那个数 是 2008 2 如图 2 所示 若用有序实数对 n m 表示第 n 行 从 左到右第 m 个数 例如 4 3 表示实数 9 则 7 2 表示的实 数是 23 3 自然数按图 2 方式排列 那么第 2