重积分的计算方法

重积分的计算方法 重积分包括二重积分和三重积分 它是定积分的推广 被积函数由一元函数 f x 推 广为二元函数 f x y 三元函数 fx y z 积分范围由数轴上的区域推广为平面域 二重积 分 和空间域 三重积分 我个人在学习与复习多重积分这一块时 感到多重积分的计算 比较繁琐 而在日常生活中多重积分有着很多的应用 通过在图书馆查阅资料 以及老师 的指点 重积分的计算方法还是有规律可循的 为了更好的应用重积分 本人结合前人的 经验 在这里介绍几种常用的重积分计算方法 以及一些小技巧 着重介绍累次积分的计 算与变量代换 一 二重积分的计算 1 常用方法 1 化累次积分计算法化累次积分计算法 对于常用方法我们先看两个例子 对于重积分的计算主要采用累次积分法 即把一个二重积分表达为一个二次积分 通 过两次定积分的计算求得二重积分值 分析上面的例子累次积分法其主要步骤如下 第一步 画出积分区域 D 的草图 第二步 按区域 D 和被积函数的情况选择适当的积分次序 并确定积分的上 下限 第三步 计算累次积分 需要强调一点的是 累次积分要选择适当的积分次序 积分次序的不同将影响计算的繁简 有些题这两种次序的难易程度可以相差很大 甚至对一种次序可以 积出来 而对另一种 次序却 积不出来 所以 适当选择积分次序是个很重要的工作 选择积分次序的原则是 尽可能将区域少分块 以简化计算过程 第一次积分的上 下限表达式要简单 并且容易根据第一次积分的结果作第二次积分 2 变量替换法变量替换法 着重看下面的例子 着重看下面的例子 在计算定积分时 求积的困难在于被积函数的原函数不易求得 从而适当地在计算重 积分时 求积的困难来自两个方面 除了被积函数的原因以外还在而且 有时候其积分区 域往往成为困难的主要方面 利用换元法的好处是可以把被积函数的形状进行转化 以便于用基本求积公式 于积分区域的多样性 为此 针对不同的区域要讨论重积分的各种不同算法 3 极坐标变换公式 主要是 极坐标变换公式 主要是 f x y dxdy f pcos psin pdpd 下面看一个例子 计算二重积分时 要从被积函数和积分域两个方面来考虑如何适当地选择坐标系 如 能采用适当的坐标系 往往可以收到事半功倍的效果 从积分域来考虑 一般情况下 圆 形 扇形或者环形可以选用极坐标 4 对称法 对称法 第四种对称法为轮换对称 它在应用中十分重要 下面详细介绍 首先所谓轮换对称性就是 如果把 f x y 中的 x 换成 y y 换成 x 后 f x y 的形式没有变化 就说 f x y 具有轮换对称性 例如 x 2 y 2 有轮换对称性 而 2x 3y 没有轮换对称性 因 为换完后是 2y 3x 和原来的不一样 下面说明轮换对称性在二重积分中的应用 我们知 道二重积分的积分区域的边界可以用方程 f x y 0 表示 如果这里的 f x y 具有轮换对称 性 那么被积函数中的 x 和 y 互换后积分结果不变 例如 x 2dxdy 积分区域为圆周 x 2 y 2 1 由于轮换对称性可知 x 2dxdy y 2dxdy 这就是把被积函数中的 x 换 成了 y 因此积分 1 2 2x 2dxdy 1 2 x 2 y 2 dxdy 再用极坐标计算就简 单多了 下面举几个例子 对称法就是利用区域和被积函数的对称性简化积分 在做题时 先考虑区域和被积函数有无对称性 有时一看就知道积分为零 有时可使积分 化简 否则的话 就会把时间花在无谓的计算上 有时不仅仅 得不偿失 而且往往是 有失无得 利用区域和被积函数对称性简化积分的方法可以总结为 设域 D 关于 x 轴对称 x 轴上方部分为 D1 下方为 D2 设域 D 关于 y 轴对称 y 轴右边的部分为 D1 左边的部分为 D2 4 特例特例 当积分区域是一矩形 被积函数可以分离成只含 x 的函数和只含 y 的函数相乘时二重积分 可作两个定积分相乘 二 二 三重积分三重积分 三重积分概念可以看作是二重积分概念的直接推广 它的计算也是化为累次积分 适 当地选择变量代换可使三重积分容易计算 与前面二重积分情况相同 三重积分也可以应 用对称法计算 即一般地 若区域 D 关于 yoz 平面对称 被积函数关于 x 是奇函数 则三 重积分必为零 类似地还可推出其它各种对称情况的三重积分 计算三重积分的一般步骤为 1 画出空间域 D 的草图 2 根据被积函数和积分域 D 选择适当的坐标和累次积分的次序 并将域 D 用相应的双边 不等式组表示 3 完成累次积分 的计算 这里 画好图形是计算的关键 因为积分变量变化的范围就是从图形上看出来的 于 是也就顺利地写出了积分限 其中柱坐标系中的定限化为平面直角坐标系的定限 球坐标 中定限化为平面极坐标系的定限 可以说 三重积分的计算方法可由二重积分推