南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学试题

高三数学试题第 1 页 共 6 页 南京市 盐城市 2016 届高三年级第一次模拟考试 数数 学学 试试 题题 总分总分 160 分 考试时间分 考试时间 120 分钟分钟 参考公式 锥体的体积公式 锥体的体积公式 其中 其中为底面积为底面积 为高为高 1 3 VSh Sh 一一 填填空空题题 本大题共14 小题 每小题 5 分 计 70 分 不需写出解答过程 请把答案写在答 题纸的指定位置上 1 已知集合 则 2 10Ax x 1 2 5B AB 2 已知复数 是虚数单位 则 2 1 i z i i z 3 书架上有本数学书 本物理书 从中任意取出本 322 则取出的两本书都是数学书的概率为 4 运行如图所示的伪代码 其结果为 5 某校高一年级有学生人 高二年级有学生人 400360 现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出人 其中55 从高一年级学生中抽出人 则从高三年级学生中抽20 取的人数为 6 在平面直角坐标系中 已知抛物线的顶点在坐标原点 焦点在轴上 若曲线xOyCx 经过点 则其焦点到准线的距离为 C 1 3 P 7 已知实数满足则目标函数的最小值为 x y 50 220 0 xy xy y zxy 8 设一个正方体与底面边长为 侧棱长为的正四棱锥的体积相等 则该正方体的2 310 棱长为 9 在中 设分别为角的对边 若ABC a b c A B C 则边 5a 4 A 3 cos 5 B c 10 设是等比数列的前项和 若 n S n an0 n a 则的最小值为 63 25SS 96 SS 11 如图 在中 ABC 3ABAC 1 cos 3 BAC 则的值为 2DCBD AD BC 12 过点的直线 与圆相交于两点 若点恰好是线段 4 0 P l 22 1 5Cxy A BA S 1 For I From 1 To 7 step 2 S S I End For Print S 第 4 题图 A BCD 第 11 题图 高三数学试题第 2 页 共 6 页 的中点 则直线 的方程为 PBl 13 设是定义在上的奇函数 且 设 若函 f xR 2 2 x x m f x 1 1 f xx g x fxx 数有且只有一个零点 则实数 的取值范围是 yg xt t 14 设函数的图象上存在两点 使得是以为直角顶 32 ln xxxe y axxe P QPOQ O 点的直角三角形 其中为坐标原点 且斜边的中点恰好在轴上 则实数的取值Oya 范围是 二 解答题二 解答题 本大题共 6 小题 计 90 分 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 请把答案写在答题纸的指定区域内 15 本小题满分 14 分 设函数的部分图象如图所示 sin 0 0 22 f xAxAxR 1 求函数的解析式 yf x 2 当时 求的取值范围 2 2 x f x 16 本小题满分 14 分 如图 已知直三棱柱的侧面是正方形 点是侧面的 111 ABCABC 11 ACC AO 11 ACC A 中心 是棱的中点 2 ACB MBC 1 求证 平面 OM 11 ABB A 2 求证 平面平面 1 ABC 1 ABC Ox y 5 6 第 15 题图 2 3 A C B M O A1C1 B1 第 16 题图 高三数学试题第 3 页 共 6 页 17 本小题满分 14 分 如图所示 是两个垃圾中转站 在的正东方向千米处 的南面为居民 A BBA16AB 生活区 为了妥善处理生活垃圾 政府决定在的北面建一个垃圾发电厂 垃圾发ABP 电厂的选址拟满足以下两个要求 可看成三个点 垃圾发电厂到两个垃P A B P 圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比 比例系数相同 垃圾发电厂应 尽量远离居民区 这里参考的指标是点到直线的距离要尽可能大 现估测得PAB 两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为吨和吨 问垃圾发电厂该如何选 A B3050 址才能同时满足上述要求 18 本小题满分 16 分 如图 在平面直角坐标系中 设点是椭圆上一点 从原xOy 00 M xy 2 2 1 4 x Cy 点向圆作两条切线分别与椭圆交于点 直线O 222 00 Mxxyyr C P Q 的斜率分别记为 OP OQ 12 k k 1 若圆与轴相切于椭圆的右焦点 求圆的方程 MxCM 2 若 2 5 5 r 求证 12 1 4 k k 求的最大值 OP OQ BA 居民生活区 第 17 题图 北 x O 第 18 题图 y M P Q 高三数学试题第 4 页 共 6 页 19 本小题满分 16 分 已知函数在处的切线方程为 x ax f x e 0 x yx 1 求的值 a 2 若对任意的 都有成立 求的取值范围 0 2 x 2 1 2 f x kxx k 3 若函数的两个零点为 试判断的正负 并说 ln g xf xb 12 x x 12 2 xx g 明理由 20 本小题满分 16 分 设数列共有项 记该数列前 项中的最大项为 该数列后 n a 3 m m i 12 i a aa i A 项中的最小项为 mi 12 iim aaa i B 1 2 3 1 iii rAB im 1 若数列的通项公式为 求数列的通项公式 n a2n n a i r 2 若数列满足 求数列的通项公式 n a 1 1a 2 i r n a 3 试构造一个数列 满足 其中是公差不为零的等差数列 n a nnn abc n b 是等比数列 使得对于任意给定的正整数 数列都是单调递增的 并 n cm i r 说明理由 高三数学试题第 5 页 共 6 页 南京市 盐城市 2016 届高三年级第一次模拟考试 数学附加题部分 本部分满分 40 分 考试时间 30 分钟 21 选做题选做题 在 A B C D 四小题中只能选做 2 题 每小题 10 分 计 20 分 请把答案写在 答题纸的指定区域内 A 选修 4 1 几何证明选讲 如图 为 的直径 直线与 相切于点 ABOCDODAC CDDE AB 为垂足 连接 若 求的长 CE AD BD4AC 3DE BD B 选修 4 2 矩阵与变换 设矩阵的一个特征值为 若曲线在矩阵变换下的方程为 0 2 1 a M2CM 求曲线的方程 22 1xy C C 选修 4 4 坐标系与参数方程 在极坐标系中 已知点的极坐标为 圆的极坐标方程为A 2 2 4 E 4cos4sin 试判断点和圆的位置关系 AE D 选修 4 5 不等式选讲 已知正实数满足 a b c d1abcd 求证 121212122 6abcd AB D EO 第 21 A 题图 C 高三数学试题第 6 页 共 6 页 必做题必做题 第 22 23 题 每小题 10 分 计 20 分 请把答案写在答题纸的指定区域内 22 本小题满分 10 分 直三棱柱中 111 ABCABC ABAC 2AB 4AC 1 2AA BDDC 1 若 求直线与平面所成角的正弦值 1 1 DB 11 AC D 2 若二面角的大小为 求实数的值 111 BACD 60 23 本小题满分 10 分 设集合 记的含有三个元素的子集个数为 同时将每 1 2 3 3 Mnn M n S 一个子集中的三个元素由小到大排列 取出中间的数 所有这些中间的数的和记为 n T 1 求 的值 3 3 T S 4 4 T S 5 5 T S 6 6 T S 2 猜想的表达式 并证明之 n n T S B A C D B1 A1 C1 第 22 题图 高三数学试题第 7 页 共 6 页 南京市 盐城市南京市 盐城市 20162016 届高三年级第一次模拟考试届高三年级第一次模拟考试 数学参考答案数学参考答案 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 计分 计 70 分分 1 2 3 4 5 6 7 8 1 10 2 3 10 1717 9 2 3 2 9 10 11 12 13 14 7202 340 xy 3 3 2 2 1 0 1e 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 小题 计小题 计 90 分分 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 请把答案写在答题纸的指定区域内请把答案写在答题纸的指定区域内 15 解 1 由图象知 2 分2A 又 所以 得 4 分 5 4632 T 0 2 2T 1 所以 将点代入 得 2sin f xx 2 3 2 32 kkZ 即 又 所以 6 分2 6 kkZ 22 6 所以 8 分 2sin 6 f xx 2 当时 10 分 2 2 x 2 633 x 所以 即 14 分 3 sin 1 62 x 3 2 f x 16 证明 1 在中 因为是的中点 是的中点 1 ABC O 1 ACMBC 所以 4 分 1 OMAB 又平面 平面 所以平面 OM 11 ABB A 1 AB 11 ABB A OM 11 ABB A 6 分 2 因为是直三棱柱 所以底面 所以 111 ABCABC 1 CC ABC 1 CCBC 又 即 而面 且 2 ACB BCAC 1 CC AC 11 ACC A 1 CCACC 所以面 8 分BC 11 ACC A 而面 所以 1 AC 11 ACC ABC 1 AC 又是正方形 所以 而面 且 11 ACC A 11 ACAC BC 1 AC 1 ABC 1 BCACC 所以面 12 分 1 AC 1 ABC 又面 所以面面 14 分 1 AC 1 ABC 1 ABC 1 ABC 17 解法一 由条件 得 2 分 505 303 PA PB 高三数学试题第 8 页 共 6 页 设 则 6 分5 3PAx PBx 222 5 16 3 8 cos 2 16 5105 xxx PAB xx 所以点到直线的距离PAB 2 8 sin51 105 x hPAPABx x 42 1 1764 4 xx 10 分 22 1 34 225 4 x 所以当 即时 取得最大值 15 千米 2 34x 34x h 即选址应满足千米 千米 14 分5 34PA 3 34PB 解法二 以所在直线为轴 线段的中垂线为轴 建立平面直角坐标系 ABxABy 2 分 则 8 0 8 0 AB 由条件 得 4 分 505 303 PA PB 设 则 0 P x yy 2222 3 8 5 8 xyxy 化简得 10 分 222 17 15 0 xyy 即点的轨迹是以点 为圆心 为半径的圆位于轴上方的半圆 P17 015x 则当时 点到直线的距离最大 最大值为千米 17x PAB15 所以点的选址应满足在上述坐标系中其坐标为即可 14 分P 17 15 18 解 1 因为椭圆右焦点的坐标为 所以圆心的坐标为 C 3 0 M 1 3 2 2 分 从而圆的方程为 4 分M 22 11 3 24 xy 2 因为圆与直线相切 所以 M 1 OP yk x 100 2 1 2 5 5 1 k xy k BA y xO P 高三数学试题第 9 页 共 6 页 即 6 分 222 0100 10 45 10450 xkx y ky 同理 有 222 020020 45 10450 xkx y ky 所以是方程的两根 8 分 12 k k 222 0000 45 10450 xkx y ky 从而 10 分 22 2 00 0 12 222 000 15 45 1 1 451 44 4545454 xx y k k xxx 设点 联立 解得 111222 P x yP xy 1 2 2 1 4 yk x x y 2 22 1 11 22 11 44 1414 k xy kk 12 分 同理 所以 2 22 2 22 22 22 44 1414 k xy kk 22 22 12 2222 1122 4444 14141414 kk OPOQ kkkk 14 分 2222 1211 2222 1211 4 1 4 1 441 16 14141414 kkkk kkkk 当且仅当时取等号 所以的最大值为 2 2 1 22 1 520 25 2 14 4 k k 1 1 2 k OP OQ 5 2 16 分 19 解 1 由题意得 因函数在处的切线方程为 1 x ax fx e 0 x yx 所以 得 4 分 0 1 1 a f 1a 2 由 1 知对任意都成立 2 1 2 x x f x ekxx 0 2 x 所以 即对任意都成立 从而 2 20kxx 2 2kxx 0 2 x 0k 6 分 又不等式整理可得 令 2 2 x e kxx x 2 2 x e g xxx x 所以 得 8 分 22 1 2 1 1 2 0 xx exe g xxx xx 1x 当时 函数在上单调递增 1 2 x 0g x g x 1 2 同理 函数在上单调递减 所以 g x 0 1 min 1 1kg xge 综上所述 实数的取值范围是 10 分k 0 1 e 3 结论是 11 分 12 0 2 xx g 高三数学试题第 10 页 共 6 页 证明 由题意知函数 所以 lng xxxb 11 1 x g x xx 易得函数在单调递增 在上单调递减 所以只需证明即 g x 0 1 1 12 1 2 xx 可 12 分 因为是函数的两个零点 所以 相减得 12 x x g x 11 22 ln ln xbx xbx 2 21 1 ln x xx x 不妨令 则 则 所以 2 1 1 x t x 21 xtx 11 lntxxt 1 1 ln 1 xt t 2 ln 1 t xt t 即证 即证 14 分 1ln 2 1 t t t 1 ln20 1 t tt t 因为 所以在上单调递增 所以 2 22 14 1 0 1 1 t t ttt t t 1 1 0t 综上所述 函数总满足成立 16 分 g x 12 0 2 xx g 20 解 1 因为单调递增 所以 2n n a 2i i A 1 2i i B 所以 4 分 1 222 iii i r 11im 2 根据题意可知 因为 所以 ii aA 1ii Ba 20 iii rAB ii AB 可得即 又因为 所以单调递增 1iiii aABa 1ii aa 1 2 3 1im n a 7 分 则 所以 即 ii Aa 1ii Ba 1 2 iii raa 1 2 ii aa 11im 所以是公差为 2 的等差数列 n a12 1 21 n ann 11im 10 分 3 构造 其中 12 分 1 2 n n an n bn 1 2 n n c 下证数列满足题意 n a 证明 因为 所以数列单调递增 1 2 n n an n a 所以 14 分 1 2 i ii Aai 1 1 1 1 2 i ii Bai 所以 1 1 1 1 2 i iii raa 11im 因为 212 1 111 1 1 0 222 iii ii rr 高三数学试题第 11 页 共 6 页 所以数列单调递增 满足题意 16 分 i r 说明 等差数列 说明 等差数列的首项的首项任意 公差任意 公差为正数 同时等比数列为正数 同时等比数列的首项的首项为负 为负 n b 1 bd n c 1 c 公比公比 这样构造的数列 这样构造的数列都满足题意都满足题意 0 1 q n a 附加题答案 21 A 解 因为与相切于 所以 2 分CDO DCDADBA 又因为为的直径 所以 ABO 90ADB 又 所以 所以 所以 DEAB EDADBA EDADBA EDACDA 4 分 又 所以 90ACDAED ADAD ACDAED 所以 所以 6 分4AEAC 22 5ADAEDE 又 所以 10 分 DEAE BDAD 15 4 DE BDAD AE B 由题意 矩阵的特征多项式 M 1 fa 因矩阵有一个特征值为 2 所以 4 分M 2 0f 2a 所以 即 2 0 M 2 1 xxx yyy 2 2 xx yxy 代入方程 得 即曲线的方程为 22 1xy 22 2 2 1xxy C 22 841xxyy 10 分 C 解 点的直角坐标为 2 分A 2 2 圆的直角坐标方程为 6 分E 22 2 2 8xy 则点到圆心的距离 AE 22 22 22 42 2dr 所以点在圆外 10 分AE D 解 因 6 分 2 12121212 4 12121212 abcdabcd 又 所以 1abcd 2 12121212 24abcd 即 10 分121212122 6abcd 22 解 分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系 1 AB AC AA x y z 则 2 0 0 0 A 2 0 0 B 0 4 0 C 1 0 0 2 A 1 2 0 2 B 1 0 4 2 C 分 1 当时 为的中点 所以 1 DBC 1 2 0 D 1 1 2 2 DB 11 0 4 0 AC 设平面的法向量为 1 1 2 2 AD 11 AC D 1 nx y z 则 所以取 又 40 20 y xz 1 2 0 1 n 11 11 11 44 cos 5 15 3 5 DB n