高一数学必修一知识+典型习题整理

第一章第一章 集合集合 一 集合有关概念一 集合有关概念 1 集合的中元素的三个特性 1 元素的确定性 如 世界上最高的山 2 元素的互异性 如 由的字母组成的集合HAPPY YPAH 3 元素的无序性 如 和是表示同一个集合 cba bca 2 常用数集的表示 非负整数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 N NN 或ZQR 3 集合的分类 1 有限集 含有有限个元素的集合 2 无限集 含有无限个元素的集合 3 空集 不含任何元素的集合 记作 例 5 2 xx 二 集合间的基本关系二 集合间的基本关系 1 包含 关系 子集 注意 有两种可能 是的一部分 与是同一集合 BA ABAB 反之 集合不包含于集合 或集合不包含集合 记作 或 ABBAABBA 2 相等 关系 且 BA BA AB 实例 设 元素相同则两集合相等 01 2 xxA 1 1 B 3 集合的性质 任何一个集合是它本身的子集即 AA 真子集 如果 且那就说集合是集合的真子集 记作或 BA BA ABABBA 如果 那么 BA CB CA 如果同时 那么 BA AB BA 4 子集个数问题 规定 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 有个元素的集合 含有个子集 个真子集 n n 212 n 三 集合的运算三 集合的运算 运算 类型 交 集 并 集补 集 定 义 BA BxAxx 且 BA BxAxx 或 ACS AS xxx且 韦 恩 图 示 AB 图 1 A B 图 2 四 典型例题 四 典型例题 1 下列四组对象 能构成集合的是 A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2 集合的真子集共有 个 cba 3 若集合 则与的关系是 RxxxyyM 12 2 0 xxNMN 4 设集合 若 则的取值范围是 21 xxA axxA BA a 5 已知集合 若 082 2 xxxA 065 2 xxxB 019 22 mmxxxC CB S A 求的值 CA m 第二章第二章 函数函数 一 函数的相关概念一 函数的相关概念 1 函数的对应形式 一对一 多对一 2 定义域 能使函数式有意义的实数的集合称为函数的定义域 x 常见定义域类型 分母 偶次方根的被开方数 对数式的真数 指0 0 0 N 数 对数式的底 10 aa且0 0 xx 中 相同函数的判断方法 表达式相同 与表示自变量和函数值的字母无关 定义域一致 两点必须同时具备 3 值域 先考虑其定义域 1 观察法 2 配方法 3 代换法 4 函数图象变换规律 平移变换 左加右减 上加下减 翻折变换 去左留右 右翻左 xf xf 去下留上 下翻上 xf xf 二 函数的性质二 函数的性质 1 1 函数的单调性函数的单调性 局部性质局部性质 I 增函数 都有 2121 xxDxx 且 21 xfxf 减函数 都有 2121 xxDxx 且 21 xfxf II 图象的特点 增函数 图象从左到右是上升上升的 减函数 图象从左到右是下降下降的 III 函数单调区间与单调性的判定方法 定义法 证明步骤 取值 作差 变形 定号 下结论 A 图象法 从图象上看升降B 复合函数的单调性规律 同增异减 C 2 2 函数的奇偶性 整体性质 函数的奇偶性 整体性质 I 用定义判断函数奇偶性的步骤 首先确定函数的定义域 并判断其是否关于原点对称 1 确定的关系 2 xf xf 与 作出相应结论 若为奇函数 则有 3 0 xfxfxfxf或 若为偶函数 则有0 xfxfxfxf或 II 函数图象的特征 奇函数 图象关于原点对称 偶函数 图象关于 y 轴对称 3 3 函数解析式函数解析式 主要方法有 凑配法 待定系数法 换元法 消参法 三 典型习题 三 典型习题 1 已知函数满足 则 f x2 34f xfxx f x 2 设函数的定义域为 则函数的定义域为 f x 01 f x 2 若函数的定义域为 则函数的定义域是 1 f x 23 21 fx 3 设是 R 上的奇函数 且当时 则当时 f x 0 x 3 1 f xxx 0 x f x 在 R 上的解析式为 f x 4 函数 若 则 2 2 1 12 2 2 xx f xxx x x 3f x x 5 求下列函数的定义域 2 215 33 xx y x 2 1 1 1 x y x 6 求下列函数的值域 1 2 2 23yxx 2 45yxx 7 已知函数 求函数 的解析式 2 1 4f xxx f x 21 fx 8 求下列函数的单调区间 2 2 23yxx 2 61yxx 9 设函数判断它的奇偶性并且求证 2 2 1 1 x x xf 1 xf x f 第三章第三章 基本初等函数基本初等函数 一 指数函数一 指数函数 一 指数与指数幂的运算 一 指数与指数幂的运算 1 根式的概念 一般地 如果 那么叫做的次方根 其中 1 且axn xann nN 负数没有偶次方根 0 的任何次方根都是 0 记作 00 n aa nn 为奇数n 0 0 a a a a aa nn 为偶数n 2 分数指数幂 正数的分数指数幂的意义 规定 1 0 nNnmaaa nm n m 1 0 11 nNnma a a a nm n m n m 0 的正分数指数幂等于 0 0 的负分数指数幂没有意义 3 实数指数幂的运算性质 r a srr aa rssr aa srr aaab 二 指数函数及其性质 二 指数函数及其性质 1 指数函数 形如叫做指数函数 1 0 aaay x 且 2 指数函数的图象和性质 1 a 10 a 6 5 4 3 2 1 1 4 2246 0 1 6 5 4 3 2 1 1 4 2246 0 1 定义域 R定义域 R 值域 0值域 0 在上单调递增R在上单调递减R 非奇非偶函数非奇非偶函数 函数图象都过定 点 0 1 函数图象都过定 点 0 1 二 对数函数二 对数函数 一 对数 一 对数 1 对数的概念 一般地 如果 那么数叫做以为底的对数 Na x 1 0 aaxaN 记作 底数 真数 对数式 Nx a log aNN a log 说明 注意底数的限制 且 1 0 a1 a 2 xNNa a x log 注意对数的书写格式 3 两个重要对数 常用对数 以 10 为底的对数 1 Nlg 自然对数 以无理数为底的对数的对数 2 71828 2 eNln 指数式与对数式的互化 幂值 真数 N b b a logaN 底数 指数 对数 2 对数的运算性质 如果 且 那么 0 a1 a0 M0 N 1 M a log NM a logN a log 2 N M a logM a logN a log 3 n aM logn M a log Rn 注意 换底公式 且 且 a b b c c a log log log 0 a1 a0 c1 c0 b 利用换底公式推导下面的结论 1 2 b m n b a n am loglog a b b a log 1 log 二 对数函数 二 对数函数 1 对数函数 形如 且叫做对数函数 其中 0 log axy a 1 aRx 注意 都不是对数函数 而只能称其为对数型函数 xy 2 log2 5 log5 x y 2 对数函数的图象和性质 1 a10 a 3 2 5 2 1 5 1 0 5 0 5 1 1 5 2 2 5 112345678 0 1 1 3 2 5 2 1 5 1 0 5 0 5 1 1 5 2 2 5 112345678 0 1 1 定义域 0定义域 N a log 0 值域 R值域 R 在上递增R在上递减R 函数图象都过定点 1 0 函数图象都过 定点 1 0 三 幂函数 三 幂函数 1 幂函数 形如的函数称为幂函数 其中为常数 xy Ra 2 幂函数性质归纳 I 所有的幂函数图象都不经过第四象限 但都过点 1 1 II 时 幂函数的图象通过原点 并且在区间上是增函数 0 0 特别地 当时 幂函数的图象下凸 概括为 高高昂起 1 当时 幂函数的图象上凸 概括为 匍匐前进 10 III 时 幂函数的图象在区间上是减函数 0 0 四 典型习题四 典型习题 1 已知 函数的图象只能 10 aa且 logxyay a x 与 2 计算 64log 2log 27 3 3log4 2 2 2log227log 55 3 1 25 2 1 3 4 3 1 01 016 2 8 7 064 0 75 0 30 3 函数过定点 10 2 65 2 aaaxf xx 且 函数恒过定点 2 1 2 函数过定点 10 5 22 log 2 aaxxxf a 且 4 函数的递减区间为 132 log 2