影院座位设计

影院座位设计影院座位设计 摘要摘要 本文研究了电影院座位设计问题 由于座位的满意程度主要取 决于视角 和仰角 我们建立了满意程度的数学模型 并进行最 优求解 问题一 首先利用了加权平均数建立满意度随座位与屏幕距离 的变化而变化的模型 并利用 matlab 软件对该函数进行分析 结果 当座位在最后一排时 观众的满意度最大 问题二 在问题一的模型的基础上 将 角也定为变量 建立 满意程度随座位与屏幕距离和 角的变化而变化的模型 再对变量 x 求相应区间的定积分 从而可以得到平均满意度随 角变化的模 型 再用 matlab 软件分析模型 求得当 20 时 平均满意度最 大 关键词 加权平均数 满意度函数 定积分 1 一 一 问题重述问题重述 影院座位的满意程度主要取决于视角 和仰角 视角 是观 众眼睛到屏幕上 下边缘视线的夹角 越大越好 仰角 是观众 眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角 太大是人的头部过分上 仰 引起不舒适感 一般要求 不超过 30 记影院屏幕高 h 上边缘距地面高 H 地板线倾角 第一排和 最后一排座位与屏幕水平距离分别为 d 和 D 观众平均坐高为 c 指眼睛到地面的距离 已知参数 h 1 8m H 5m D 19m c 1 1m 1 地板线倾角 10 问最佳作为在什么地方 2 求地板线倾角 一般不超过 20 使所有观众平均满 意度最大 二 二 问题的分析问题的分析 根据观众对座位的满意程度主要取决于观看时的视角 和仰角 越大越好 越小越好 最佳位置 就是在这两者之间找一 个平衡点 使观众的综合满意度最大 既然 30 不可避免 那么 在建立模型时 必须将 与 同时考虑 于是本文通过对 与 分 别设立权重 建立适当的坐标系 从而形成一个线性的满意度函数 对于问题一 已知地板线倾角 求最佳座位所在 即将问题转 化为求综合满意度函数的最大值 用 matlab 软件做出综合满意度图 像 在进行求解 2 对于第二问 将所有的座位想像为一个个连续的点 此时 综 合满意度为关于 x 与 的二元函数 先对 x 求所在区间的积分 从 而求出其在所有位置上的平均满意度 再利用 matlab 做出平均满意 度关于 的函数的图形 从而可进行直观求解 三 三 模型假设模型假设 1 忽略因视力或其他方面因素影响观众的满意度 2 观众对座位的仰角的正切值的满意程度呈线性 3 观众对座位的水平视角的正切值呈线性 4 所有的观众的座位等高 且为平均坐高 四 四 符号说明符号说明 视角 仰角 地板线与水平线的倾角 D 最后一排离屏幕的水平距离 d 第一排离屏幕的水平距离 h 屏幕的高度 H 屏幕上边缘离地面的高度 P 主观给定 的权重 P 主观给定 的权重 五 五 模型的建立模型的建立 1 问题一 以第一排观众的眼睛为原点 建立直角坐标系如图 1所示 3 图 1 其中 AB 为屏幕 MS 为地板线 OE 为所有的观众的眼睛所 在的直线 则由图可设视觉线 OE 上任意一点 P 的坐标为 x xtan 屏幕上下点的坐标分别为 A d H c B d H h c PA 的斜率记为 kPA PB 的斜率记为 kPB 则直线 PA 与 PB 的斜率分别为 则 1 2 而 A 4 tan 30 30 1 30 由我们假设的模型可知 满意度 S 的表达式为 tan 30 这里主观设定 P P 0 5 再对 S 关于 x 的函数分析可得到其在其 定义域上的最大值 即所求 2 问题二 如上文建立坐标系 将 角设为变量 可得此时满意度 1 tan 30 再对 S1 求其 x 0 D d 上的定积分得到总的观众满意度 再除以 D d 得到平均满意度 S2 即 2 0 1 则得到的 S2是关于 的函数 再对该函数进行分析 得到最大值及 满足条件的 六 六 模型求解模型求解 1 问题一 运用 matlab 软件对上面的 S 函数作图 见附录二 如图 2所示 5 图 2 由上图知 当 x D d 14 5 时 观众的满意度最大 即对于我们所建 立的模型 最后一排的满意度最大 2 问题二 运用 matlab 软件求出上述 S2函数 在对 S2作图 见附录三 如图 3所示 6 图 3 由图可知 观众的平均满意度 S2随 增大而增大 故当 20 时 观众的平均满意度最大 7 七 七 附录附录 附录一 参考资料 1 郑阿奇 曹弋 MATLAB 实用教程 第三版 2 王正林 刘明 精通 MATLAB 升级版 3 吴礼斌 闫云侠 经济数学与建模 附录二 问题一的 matlab 语言 x 0 0 05 14 5 y1 1 8 x 4 5 x 4 5 2 x tan pi 18 5 1 1 x tan pi 18 5 1 8 1 1 y2 5 1 1 x tan pi 18 x 4 5 y3 tan pi 6 5 1 1 x tan pi 18 x 4 5 1 tan pi 6 5 1 1 x tan pi 18 x 4 5 y 0 5 y1 0 5 y3 plot x y 附录三 问题二的 matlab 语言 x linspace 0 14 5 300 t linspace 0 pi 9 300 y1 1 8 x 4 5 x 4 5 2 x tan t 5 1 1 x tan t 5 1 8 1 1 y2 5 1 1 x tan t x 4