数值分析试卷及其答案6

期末自出试卷 科 082 班 李海燕 081637 分位有效数字有即 分位有效数字有即 分位有效数字有即 解 分别有几位有效数字 为其近似值 求它们设分 34x 4 13 10 2 1 0000508 0 7320 1 7320508 1 1 1017320 0 7320 1 x3 35 514 10 2 1 0000492 0 7321 1 7320508 1 1 1017321 0 7321 1 x2 33x 312 10 2 1 0020508 0 73 1 7320508 1 1 10173 0 73 1 x1 7320 1 7321 1 73 1 7320508 1 3 1 9 3 31 3 2 41 2 1 2 1 1 321 nn xxk xnn xxk nn xxk xxxx 10 分 2 已知 A 求 2550 2550 001 21 AAA 分 分 故 分 分 分 解 12251250A 31250501 20 125000 0500 001 AAE 125000 0500 001 2550 2550 001 25250 550 001 AA 3 2 3030 30 1max2 2 5050 10 1max1 2 321 T T max 2 1 AAA A A T 8 分 3 用列主元 Gauss 消元法解如下方程组 644 50512 4835 321 321 321 xxx xxx xxx 分 分 解 4 30 73 5 73 17 3 33 146 11 20 12 73 8 12 11 5512 4 33 146 12 73 5 11 20 8 0 0 12 11 5 0 0 12 3 13 12 73 5 4 8 0 3 2 12 11 5 0 0 12 6 4 5 4 8 0 1 3 5 4 5 12 6 5 4 4 0 8 1 5 3 4 12 5 A 3 2 1 3 32 21 11 8 3 1 12 5 r 23 1312 21 x x x x xx xx rr rrrr r 因为系数没选好 导致最后的结果不容易计算 9 分 4 应用 Newton 迭代法于方程 导出迭代共事 并讨论其收敛性 0 3 ax 分为二阶收敛 分 分法 则 分则解 令 1 20 2 3 2 3 2 33 2 x 4 33 2 3 3 3 x 23 f 432 22 33 2 3 1 23 x x a x x a x x a x x a x x axx x ax x xf xf xNewton xxfaxx k k k kk k k k k k kk 13 分 5 给定数据表格 i x 213 i xf 12 3 求拉格朗日插值多项式 并写出 Newton 差值多项式 2 xL 分 解 21 32 12 3 1 xL1 0 2010 21 0 2102 xx y xxxx xxxx l lll 构造差商表 分 分 分 2 2 1 2 10 3 3 2 3 3 1 15 1 xL 2 3 13 23 1 2 l 22 31 21 3 2 2 2 1202 10 2 1 2101 20 1 xxxxxx xx y xxxx xxxx xx y xxxx xxxx l i x i xf 一阶差商二阶差商 21 12 3 1 21 12 3 3 2 5 13 23 30 17 23 3 1 2 5 3 分 2 分 1 2 30 17 2 3 1 1 2 xxxxN 分 多项式为 上的最佳二次平方逼近在故 分 则 法方程组为 分 作为插值基函数 得 取 解 设 多项式上的二次最佳平方逼近在求分 23 15 4 3 15 2 xP 30 f 2 3 15 4 3 15 2 3 5 18 32 9 2 9 2 9 3 a 6 3 5 18 32 9 2 9 3d1 1x xP xP 30 6 10 11002 1 0 1 0 1 0 1 0 1101 1000 3 0 1 3 0 0 3 0 2 11 3 0 0110 3 0 00 10102 2 x aax a a a a f f a dxxxf dxxf dxx xdx x xxxaa xxf 分次代数精度 所以 求积公式具有 分右 故左右 左 令 分 分 得 联立 分右时 左 分右时 左 分右时 左 代入求积公式精确成立解 精度 并指名求积公式的代数 度尽量高 中的待定系数 使其精确定求积公式分 12 1 h 3 1 0 1 3 1 3 2 1 2 3 2 1 3 1 x 321 2 3 3 2 Ah 3 2 2 2 0 0 2 1 2 211f 1f 7 10 3 h 33 h 1 2 1 23 1 23 h 22 11 h 2 1 h dxxxxf hfhf h dxxf hB hA h BxAhhBxhdxxxxf BxAhBxhAdxxxxf BAhBAhdxx xxx xBfhAfdxxf h h h h h h h 分迭代法发散 所以 其谱半径 分由特征值计算有 分对应的迭代矩阵为 分迭代格式为 则 解 迭代法的收敛性 迭代法和 判断 迭代格式 迭代矩阵 迭代格式 迭代矩阵和分别写出设方程设方程分 1J11B 2101 2 3 3 2 BE 2 0 2 3 3 2 0 B 2 2 2 3 12 3 1 x J 2 2 3 12x3 1 Gauss2 G J 2 1 1 2 3 23 1 8 14 J 21 2 J J k 1 1 2 2 1 1 21 21 2 1 acobi xx x acobi xx x SeidelJacobi Seidelauss acobi x x k kk 分迭代法发散 所以 其谱半径 分 由特征值计算有 分对应的迭代矩阵为 分迭代格式为 1G11B 21001 10 3 2 BE 2 10 3 2 0 B 2 3 2 12 3 1 x Gauss2 GS 21GS GS 2 2 1 1 Seidelauss xx x Seidel k k kk 分 分则 解 作区间变换 求积公式计算积分 应用两点分 47465875 0 2 1 3 32 31 3 1 32 31 2 1 3 1 2 1 3 1 x 2 1t t IG 9 7 12 2 31 222 2 12 31 1 1 0 1 0 x eeeIdxeI x xx dxeauss xx 分 方法 根据 从而 分因此初值问题的解为 得 由初值条件 分 其通解为 为一阶线性微分方程解 微分方程 取步长方法解决初值问题 用分 4 5 4 3 2 1 1 01 0