高中数学必修1难题好题2

高中数学必修高中数学必修 1 难题好题难题好题 1 2013 重庆 对正整数 n 记 In 1 2 3 n Pn m In k In 1 求集合 P7中元素的个数 2 若 Pn的子集 A 中任意两个元素之和不是整数的平方 则称 A 为 稀疏集 求 n 的最大值 使 Pn能 分成两个不相交的稀疏集的并 2 2011 朝阳区二模 对于整数 a b 存在唯一一对整数 q 和 r 使得 a bq r 0 r b 特别地 当 r 0 时 称 b 能整除 a 记作 b a 已知 A 1 2 3 23 存在 q A 使得 2011 91q r 0 r 91 试求 q r 的值 若 B A card B 12 card B 指集合 B 中的元素的个数 且存在 a b B b a b a 则 称 B 为 谐和集 请写出一个含有元素 7 的 谐和集 B0和一个含有元素 8 的非 谐和集 C 并求最大的 m A 使含 m 的集合 A 有 12 个元素的任意子集为 谐和集 并说明理由 3 2010 北京 已知集合 Sn X X x1 x2 xn x1 0 1 i 1 2 n n 2 对于 A a1 a2 an B b1 b2 bn Sn 定义 A 与 B 的差为 A B a1 b1 a2 b2 an bn A 与 B 之间的距离为 当 n 5 时 设 A 0 1 0 0 1 B 1 1 1 0 0 求 d A B 证明 A B C Sn 有 A B Sn 且 d A C B C d A B 证明 A B C Sn d A B d A C d B C 三个数中至少有一个是偶数 4 2008 南京模拟 已知集合 A a1 a2 a3 an 其中 ai R 1 i n n 2 k A 表示 ai aj 1 i j n 中所有不同值的个数 1 已知集合 P 2 4 6 8 Q 2 4 8 16 分别求 k P 和 k Q 2 若集合 A 2 4 8 2n 证明 3 求 k A 的最小值 5 2007 北京 已知集合 A a1 a2 ak k 2 其中 ai Z i 1 2 k 由 A 中的元素构成 两个相应的集合 S a b a A b A a b A T a b a A b A a b A 其中 a b 是有序数对 集合 S 和 T 中的元素个数分别为 m 和 n 若对于任意的 a A 总有 a A 则称集合 A 具有 性质 P 检验集合 0 1 2 3 与 1 2 3 是否具有性质 P 并对其中具有性质 P 的集合 写出相应的集合 S 和 T 对任何具有性质 P 的集合 A 证明 判断 m 和 n 的大小关系 并证明你的结论 6 2003 上海 已知集合 M 是满足下列性质的函数 f x 的全体 存在非零常数 T 对任意 x R 有 f x T T f x 成立 1 函数 f x x 是否属于集合 M 说明理由 2 设函数 f x ax a 0 且 a 1 的图象与 y x 的图象有公共点 证明 f x ax M 3 若函数 f x sinkx M 求实数 k 的取值范围 7 设 a b 是两个实数 A x y x n y na b n 是整数 B x y x m y 3m2 15 m 是整数 C x y x2 y2 144 是平面 XOY 内的点集合 讨论是否存在 a 和 b 使得 1 A B 表示空集 2 a b C 同时成立 8 设集合 B x x2 3mx 2m2 m 1 0 1 当 x Z 时 求 A 的非空真子集的个数 2 若 B 求 m 的取值范围 3 若 A B 求 m 的取值范围 9 已知集合 P y log2 ax2 2x 2 的定义域为 Q 1 若 P Q 求实数 a 的取值范围 2 若方程 求实数 a 的取值的取值范围 10 2007 天津 设函数 f x x x a 2 x R 其中 a R 当 a 1 时 求曲线 y f x 在点 2 f 2 处的切线方程 当 a 0 时 求函数 f x 的极大值和极小值 当 a 3 时 证明存在 k 1 0 使得不等式 f k cosx f k2 cos2x 对任意的 x R 恒成立 11 2006 上海 已知函数 y x 有如下性质 如果常数 a 0 那么该函数在 0 上是减函数 在 上是增函数 如果函数 y x x 0 的值域为 6 求 b 的值 研究函数 y x2 常数 c 0 在定义域内的单调性 并说明理由 对函数 y x 和 y x2 常数 a 0 作出推广 使它们都是你所推广的函数的特例 研究推广 后的函数的单调性 只须写出结论 不必证明 并求函数 F x x2 n n n 是正整数 在区间 2 上的最大值和最小值 可利用你的研究结论 12 2006 上海 已知函数有如下性质 如果常数 a 0 那么该函数在上是减函数 在上是增函数 1 如果函数在 0 4 上是减函数 在 4 上是增函数 求 b 的值 2 设常数 c 1 4 求函数的最大值和最小值 3 当 n 是正整数时 研究函数的单调性 并说明理由 13 2005 上海 对定义域是 Df Dg的函数 y f x y g x 规定 函数 h x 1 若函数 f x g x x2 写出函数 h x 的解析式 2 求问题 1 中函数 h x 的值域 3 若 g x f x 其中 是常数 且 0 请设计一个定义域为 R 的函数 y f x 及一个 的值 使得 h x cos4x 并予以证明 14 2005 浙江 函数 f x 和 g x 的图象关于原点对称 且 f x x2 2x 求函数 g x 的解析式 解不等式 g x f x x 1 若 h x g x f x 1 在 1 1 上是增函数 求实数 的取值范围 15 2005 湖南 已知函数 f x lnx g x ax2 bx a 0 若 b 2 且 h x f x g x 存在单调递减区间 求 a 的取值范围 设函数 f x 的图象 C1与函数 g x 图象 C2交于点 P Q 过线段 PQ 的中点作 x 轴的垂线分别 交 C1 C2于点 M N 证明 C1在点 M 处的切线与 C2在点 N 处的切线不平行 16 2005 广东 设函数 f x 在 上满足 f 2 x f 2 x f 7 x f 7 x 且在闭区间 0 7 上 只有 f 1 f 3 0 试判断函数 y f x 的奇偶性 试求方程 f x 0 在闭区间 2005 2005 上的根的个数 并证明你的结论 17 2004 上海 已知函数 f x x a g x x2 2ax 1 a 为正常数 且函数 f x 与 g x 的图 象在 y 轴上的截距相等 1 求 a 的值 2 求函数 f x g x 的单调递增区间 3 若 n 为正整数 证明 18 2002 北京 已知 f x 是定义在 R 上的不恒为零的函数 且对于任意的 a b R 都满足 f ab af b bf a 1 求 f 0 及 f 1 的值 2 判断的奇偶性 并证明你的结论 3 若 f 2 2 un 求证数列 un 是等差数列 并求 un 的通项公式 19 2001 广东 设 f x 是定义在 R 上的偶函数 其图象关于直线 x 1 对称 对任意 x1 x2 0 都有 f x1 x2 f x1 f x2 且 f 1 a 0 求 f 证明 f x 是周期函数 记 an f 2n 求 20 2013 重庆 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 不计厚度 设该蓄水池的底面半径为 r 米 高为 h 米 体积为 V 立方米 假设建造成本仅与表面积有关 侧面积的建造成本为 100 元 平方米 底面 的建造成本为 160 元 平方米 该蓄水池的总建造成本为 12000 元 为圆周率 将 V 表示成 r 的函数 V r 并求该函数的定义域 讨论函数 V r 的单调性 并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大 21 2011 湖北 设函数 f x x3 2ax2 bx a g x x2 3x 2 其中 x R a b 为常数 已知曲线 y f x 与 y g x 在点 2 0 处有相同的切线 l 求 a b 的值 并写出切线 l 的方程 若方程 f x g x mx 有三个互不相同的实根 0 x1 x2 其中 x1 x2 且对任意的 x x1 x2 f x g x m x 1 恒成立 求实数 m 的取值范围 22 2009 韶关二模 从社会效益和经济效益出发 某地投入资金进行生态环境建设 并以此发展旅游 产业 根据规划 本年度投入 800 万元 以后每年投入将比上年减少 本年度当地旅游业收入估计为 400 万元 由于该项建设对旅游业的促进作用 预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 1 设 n 年内 本年度为第一年 总投入为 an万元 旅游业总收入为 bn万元 写出 an bn的表达式 2 至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入 23 2009 山东 两城市 A 和 B 相距 20km 现计划在两城市外以 AB 为直径的半圆弧上选择一点 C 建造垃圾处理厂 其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关 对城 A 和城 B 的总影响度为城 A 与 城 B 的影响度之和 记 C 点到城 A 的距离为 x km 建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y 统计调查表明 垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比 比例系数为 4 对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比 比例系数为 k 当垃圾处理厂建在的中点时 对城 A 和城 B 的总影响度为 0 065 1 将 y 表示成 x 的函数 2 判断弧上是否存在一点 使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小 若存在 求 出该点到城 A 的距离 若不存在 说明理由 24 2008 湖北 水库的蓄水量随时间而变化 现用 t 表示时间 以月为单位 年初为起点 根据历年数 据 某水库的蓄水量 单位 亿立方米 关于 t 的近似函数关系式为 该水库的蓄求量小于 50 的时期称为枯水期 以 i 1 t i 表示第 i 月份 i 1 2 12 同一年 内哪几个月份是枯水期 求一年内该水库的最大蓄水量 取 e 2 7 计算 25 2007 浙江 已知 f x x2 1 x2 kx 若 k 2 求方程 f x 0 的解 若关于 x 的方程 f x 0 在 0 2 上有两个解 x1 x2 求 k 的取值范围 并证明 26 2007 北京 已知函数 y kx 与 y x2 2 x 0 的图象相交于 A x1 y1 B x2 y2 l1 l2分别 是 y x2 2 x 0 的图象在 A B 两点的切线 M N 分别是 l1 l2与 x 轴的交点 I 求 k 的取值范围 II 设 t 为点 M 的横坐标 当 x1 x2时 写出 t 以 x1为自变量的函数式 并求其定义域和值域 III 试比较 OM 与 ON 的大小 并说明理由 O 是坐标原点 27 2007 江苏 已知 a b c d 是不全为零的实数 函数 f x bx2 cx d g x ax3 bx2 cx d 方程 f x 0 有实数根 且 f x 0 的实数根都是 g f x 0 的根 反之 g f x 0 的实数根都是 f x 0 的根 1 求 d 的值 2 若 a 0 求 c 的取值范围 3 若 a 1 f 1 0 求 c 的取值范围 28 2006 重庆 已知定义域为 R 的函数是奇函数 求 a b 的值 若对任意的 t R 不等式 f t2 2t f 2t2 k 0 恒成立 求 k 的取值范围 29 2006 浙江 设 f x 3ax2 2bx c 若 a b c 0 f 0 f 1 0 求证 方程 f x 0 有实根 2 1 设 x1 x2是方程 f x 0 的两个实根 则 30 2004 北京 某厂生产某种零件 每个零件的成本为 40 元 出厂单价定为 60 元 该厂为鼓励销售 商订购 决定当一次订购量超过 100 个时 每多订购一个 订购的全部零件的出厂单价就降低 0 02 元 但实际出厂单价不能低于 51 元 1 当一次订购量为多少个时 零件的实际出厂单价恰降为 51 元 2 设一次订购量为 x 个 零件的实际出厂单价为 P 元 写出函数 P f x 的表达式 3 当销售商一次订购 500 个零件时 该厂获得的利润是多少元 如果订购 1000 个 利润又是多少元 工厂售出一个零件的利润 实际出厂单价 成本 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 1 2013 重庆 对正整数 n 记 In 1 2 3 n Pn m In k In 1 求集合 P7中元素的个数 2 若 Pn的子集 A 中任意两个元素之和不是整数的平方 则称 A 为 稀疏集 求 n 的最大值 使 Pn能分成两个 不相交的稀疏集的并 考点 集合中元素个数的最值 子集与交集 并集运算的转换 菁优网版权所有 专题 压轴题 新定义 函数的性质及应用 分析 1 对于集合 P7 有 n 7 当 k 4 时 根据 Pn中有 3 个数与 In 1 2 3 n 中的数重复 由此求得 集合 P7中元素的个数 2 先用反证法证明证当 n 15 时 Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集 再证 P14满足要求 从而求 得 n 的最大值 解答 解 1 对于集合 P7 有 n 7 当 k 4 时 Pn m In k In 中有 3 个数 1 2 3 与 In 1 2 3 n 中的数重复 由此求得 集合 P7中元素的个数为 7 7 3 46 2 先证当 n 15 时 Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集 否则 设 A 和 B 为两个不相交的稀疏集 使 A B Pn In 不妨设 1 A 则由于 1 3 22 3 A 即 3 B 同理可得 6 A 10 B 又推出 15 A 但 1 15 42 这与 A 为稀疏集相矛盾 再证 P14满足要求 当 k 1 时 P14 m I14 k I14 I14 可以分成 2 个稀疏集的并集 事实上 只要取 A1 1 2 4 6 9 11 13 B1 3 5 7 8 10 12 14 则 A1和 B1都是稀疏集 且 A1 B1 I14 当 k 4 时 集合 m I14 中 除整数外 剩下的数组成集合 可以分为下列 3 个稀 疏集的并 A2 B2 当 k 9 时 集合 m I14 中 除整数外 剩下的数组成集合 可以分为下列 3 个稀疏集的并 A3 B3 最后 集合 C m I14 k I14 且 k 1 4 9 中的数的分母都是无理数 它与 Pn中的任何其他数之和都不是整数 因此 令 A A1 A2 A3 C B B1 B2 B3 则 A 和 B 是不相交的稀疏集 且 A B P14 综上可得 n 的最大值为 14 点评 本题主要考查新定义 集合间的包含关系 体现了分类讨论的数学思想 属于中档题 2 2011 朝阳区二模 对于整数 a b 存在唯一一对整数 q 和 r 使得 a bq r 0 r b 特别地 当 r 0 时 称 b 能整除 a 记作 b a 已知 A 1 2 3 23 存在 q A 使得 2011 91q r 0 r 91 试求 q r 的值 若 B A card B 12 card B 指集合 B 中的元素的个数 且存在 a b B b a b a 则称 B 为 谐 和集 请写出一个含有元素 7 的 谐和集 B0和一个含有元素 8 的非 谐和集 C 解答 解 因为 2011 91q r 所以 2011 91 22 9 2 分 又因为 q A 所以 q 22 r 9 4 分 含有元素 7 的一个 和谐集 B0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 分 含有元素 8 的一个非 和谐集 C 8 9 10 11 12 13 14 15 17 19 21 23 7 分 当 m 8 时 记 M 7 i i 1 2 16 N 2 7 i i 1 2 3 4 记 P CMN 则 card P 12 显然对任意 1 i j 16 不存在 n 3 使得 7 j n 7 i 成立 故 P 是非 和谐集 此时 P 8 9 10 11 12 13 14 15 17 19 21 23 同理 当 m 9 10 11 12 时 存在含 m 的集合 A 的有 12 个元素的子集为非 和谐集 因此 m 7 10 分 下面证明 含 7 的任意集合 A 的有 12 个元素的子集为 和谐集 设 B a1 a2 a11 7 若 1 14 21 中之一为集合 B 的元素 显然为 和谐集 现考虑 1 14 21 都不属于集合 B 构造集合 B1 2 4 8 16 B2 3 6 12 B3 5 10 20 B4 9 18 B5 11 22 B 13 15 17 19 23 12 分 以上 B1 B2 B3 B4 B5每个集合中的元素都是倍数关系 考虑 B B 的情况 也即 B 中 5 个元素全都是 B 的元素 B 中剩下 6 个元素必须从 B1 B2 B3 B4 B5这 5 个集合中选取 6 个元素 那么至少有一个集合有两个元素被选 即集合 B 中至少有两个元素存在倍数关系 综上 含 7 的任意集合 A 的有 12 个元素的子集 B 为 和谐集 即 m 的最大值为 7 点评 本题是新定义题 考查了子集与真子集 解答的关键是读懂题意 巧妙运用 有一定的难度 3 2010 北京 已知集合 Sn X X x1 x2 xn x1 0 1 i 1 2 n n 2 对于 A a1 a2 an B b1 b2 bn Sn 定义 A 与 B 的差为 A B a1 b1 a2 b2 an bn A 与 B 之间的距离为 当 n 5 时 设 A 0 1 0 0 1 B 1 1 1 0 0 求 d A B 证明 A B C Sn 有 A B Sn 且 d A C B C d A B 证明 A B C Sn d A B d A C d B C 三个数中至少有一个是偶数 考点 交 并 补集的混合运算 子集与交集 并集运算的转换 菁优网版权所有 专题 证明题 综合题 压轴题 分析 由题意中的定义和集合 A B 求出 A B 再由 A 与 B 之间的距离公式 求出 d A B 根据题意设出集合 A B C 则 ai bi ci 0 1 i 1 2 n 故得 A B Sn 再分 ci 0 和 ci 1 两种情况求出 d A C B C 和 d A B 根据题意设出集合 A B C 再根据 的结论 表示出 d A B d A C d B C 再根据集合的元素为 0 1 确定所求三个数中至少有一个是偶数 解答 解 由题意得 A B 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 d A B 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 3 证明 设 A a1 a2 an B b1 b2 bn C c1 c2 cn Sn 因为 a1 b1 0 1 所以 a1 b1 0 1 i 1 2 n 从而 A B a1 b1 a2 b2 an bn Sn 由题意知 ai bi ci 0 1 i 1 2 n 当 ci 0 时 ai ci bi ci ai bi 当 ci 1 时 ai ci bi ci 1 ai 1 bi ai bi 所以 证明 设 A a1 a2 an B b1 b2 bn C c1 c2 cn Sn d A B k d A C l d B C h 记 0 0 0 0 Sn 由 可知 所以 bi ai i 1 2 n 中 1 的个数为 k ci ai i 1 2 n 中 1 的个数为 l 设 t 是使 bi ai ci ai 1 成立的 i 的个数 则 h l k 2t 由此可知 k l h 三个数不可能都是奇数 即 d A B d A C d B C 三个数中至少有一个是偶数 点评 本题考查了利用新定义和集合的运算性质综合应用的能力 属于高难度题 需要认真审题 抓住新定义的 本质 4 2008 南京模拟 已知集合 A a1 a2 a3 an 其中 ai R 1 i n n 2 k A 表示 ai aj 1 i j n 中所有不同值的个数 1 已知集合 P 2 4 6 8 Q 2 4 8 16 分别求 k P 和 k Q 2 若集合 A 2 4 8 2n 证明 3 求 k A 的最小值 考点 元素与集合关系的判断 菁优网版权所有 专题 计算题 证明题 压轴题 分析 1 由题意知 k P 5 k Q 6 2 ai aj 1 i j n 共有个 所以 然后利用题设条件证明所有 ai aj 1 i j n 各不相同 3 设 a1 a2 an 所以 a1 a2 a1 a3 a1 an a2 an an 1 an 由此能够推出 k A 的最小值 2n 3 解答 解 1 由题意知 K P 中的值有 6 8 10 12 和 14 五个值 k P 5 K Q 中的值有 6 10 18 12 20 24 k Q 6 2 证明 ai aj 1 i j n 共有个 所以 下面证明所有 ai aj 1 i j n 各不相同 任取 ai aj和 ak al 1 i j n 1 k l n 当 j l 时 若 ai aj ak al 则 ai ak 矛盾 当 j l 时 若 ai aj ak al 则 ai aj 2aj 2j 1 al ak al 即 ai aj ak al 所以所有 ai aj 1 i j n 各不相同 所以 3 不妨设 a1 a2 an 所以 a1 a2 a1 a3 a1 an a2 an an 1 an 所以 ai aj 1 i j n 中至少有 2n 3 个不同的数 即 k A 2n 3 取 A 1 2 3 n 则 ai aj 3 4 5 2n 1 共 2n 3 个 所以 k A 的最小值 2n 3 点评 本题考查集合与元素的位置关系 解题时要认真审题 仔细解答 5 2007 北京 已知集合 A a1 a2 ak k 2 其中 ai Z i 1 2 k 由 A 中的元素构成两个相应 的集合 S a b a A b A a b A T a b a A b A a b A 其中 a b 是有序数对 集合 S 和 T 中的元素个数分别为 m 和 n 若对于任意的 a A 总有 a A 则称集合 A 具有性质 P 检验集合 0 1 2 3 与 1 2 3 是否具有性质 P 并对其中具有性质 P 的集合 写出相应的集合 S 和 T 对任何具有性质 P 的集合 A 证明 判断 m 和 n 的大小关系 并证明你的结论 考点 元素与集合关系的判断 集合的含义 菁优网版权所有 专题 综合题 压轴题 分类讨论 转化思想 分析 I 利用性质 P 的定义判断出具有性质 P 的集合 利用集合 S T 的定义写出 S T II 据具有性质 P 的集合满足 a A 总有 a A 得到 0 A 得到 ai ai T 当 ai aj T 时 aj ai T 求出 T 中的元素个数 III 对应 S 中的元素据 S T 的定义得到也是 T 中的元素 反之对于 T 中的元素也是 s 中的元素 得到 两个集合中的元素相同 解答 I 解 集合 0 1 2 3 不具有性质 P 集合 1 2 3 具有性质 P 其相应的集合 S 和 T 是 S 1 3 3 1 T 2 1 2 3 II 证明 首先 由 A 中元素构成的有序数对 ai aj 共有 k2个 因为 0 A 所以 ai ai T i 1 2 k 又因为当 a A 时 a A 时 a A 所以当 ai aj T 时 aj ai T i j 1 2 k 从而 集合 T 中元素的个数最多为 即 III 解 m n 证明如下 1 对于 a b S 根据定义 a A b A 且 a b A 从而 a b b T 如果 a b 与 c d 是 S 的不同元素 那么 a c 与 b d 中至少有一个不成立 从而 a b c d 与 b d 中也至少有一个不成立 故 a b b 与 c d d 也是 T 的不同元素 可见 S 中元素的个数不多于 T 中元素的个数 即 m n 2 对于 a b T 根据定义 a A b A 且 a b A 从而 a b b S 如果 a b 与 c d 是 T 的不同元素 那么 a c 与 b d 中至少有一个不成立 从而 a b c d 与 b d 中也至少有一个不成立 故 a b b 与 c d d 也是 S 的不同元素 可见 T 中元素的个数不多于 S 中元素的个数 即 n m 由 1 2 可知 m n 点评 本题考查利用题中的新定义解题 新定义题是近几年常考的题型 要重视 6 2003 上海 已知集合 M 是满足下列性质的函数 f x 的全体 存在非零常数 T 对任意 x R 有 f x T T f x 成立 1 函数 f x x 是否属于集合 M 说明理由 2 设函数 f x ax a 0 且 a 1 的图象与 y x 的图象有公共点 证明 f x ax M 3 若函数 f x sinkx M 求实数 k 的取值范围 考点 集合的包含关系判断及应用 指数函数综合题 已知三角函数模型的应用问题 菁优网版权所有 专题 证明题 压轴题 新定义 分析 1 将 f x x 代入定义 x T T f x 验证知函数 f x x 不属于集合 M 2 由题意存在 x R 使得 ax x 由新定义知存在非零常数 T 使得 aT T 将函数关系式代入 f x T T f x 验证知 f x ax M 3 若函数 f x sinkx M 依据定义应该有 sin kx kT Tsinkx 1 1 对任意实数都成立 故 T 1 将 T 1 代入 sin kx kT Tsinkx 求 k 的范围即可 解答 解 1 对于非零常数 T f x T x T Tf x Tx 因为对任意 x R x T Tx 不能恒成立 所以 f x x M 2 因为函数 f x ax a 0 且 a 1 的图象与函数 y x 的图象有公共点 所以方程组 有解 消去 y 得 ax x 显然 x 0 不是方程 ax x 的解 所以存在非零常数 T 使 aT T 于是对于 f x ax有 f x T ax T aT ax T ax Tf x 故 f x ax M 3 当 k 0 时 f x 0 显然 f x 0 M 当 k 0 时 因为 f x sinkx M 所以存在非零常数 T 对任意 x R 有 f x T Tf x 成立 即 sin kx kT Tsinkx 因为 k 0 且 x R 所以 kx R kx kT R 于是 sinkx 1 1 sin kx kT 1 1 故要使 sin kx kT Tsinkx 成立 只有 T 1 当 T 1 时 sin kx k sinkx 成立 则 k 2m m Z 当 T 1 时 sin kx k sinkx 成立 即 sin kx k sinkx 成立 则 k 2m m Z 即 k 2m 1 m Z 综合得 实数 k 的取值范围是 k k m m Z 点评 考查新定义下问题的证明与求解 此类题的特点是探究时只能以新定义的规则为依据 不能引入熟悉的算 法 这是做此类题时要注意的 7 设 a b 是两个实数 A x y x n y na b n 是整数 B x y x m y 3m2 15 m 是整数 C x y x2 y2 144 是平面 XOY 内的点集合 讨论是否存在 a 和 b 使得 1 A B 表示空集 2 a b C 同时成立 考点 集合关系中的参数取值问题 点到直线的距离公式 菁优网版权所有 专题 压轴题 分析 A B C 是点的集合 由 y na b 和 y 3m2 15 想到直线和抛物线 A B 表示直线和抛物线有公共点 故只需联力方程 0 得 a b 的关系式 再考虑与集合 C 中 x2 y2 144 表示的以原点为圆心 以 12 为半径的圆及内部点的关系即可 解答 解 据题意 知 A x y x n y an b n Z B x y x m y 3m 2 15 m Z 假设存在实数 a b 使得 A B 成立 则方程组 y ax b y 3x2 15 有解 且 x Z 消去 y 方程组化为 3x2 ax 15 b 0 方程 有解 a2 12 15 b 0 a2 12b 180 又由 2 得 a2 b2 144 由 得 b2 12b 36 b 6 2 0 b 6 代入 得 a2 108 代入 得 a2 108 a2 108 a 6 3 将 a 6 b 6 代入方程 得 3x2 6x 9 0 解之得 x 与 x Z 矛盾 不存在实数 a b 使 1 2 同时成立 点评 此题以集合为背景考查直线和抛物线的位置关系 以及圆等知识 综合性较强 8 设集合 B x x2 3mx 2m2 m 1 0 1 当 x Z 时 求 A 的非空真子集的个数 2 若 B 求 m 的取值范围 3 若 A B 求 m 的取值范围 考点 子集与真子集 集合的包含关系判断及应用 空集的定义 性质及运算 菁优网版权所有 专题 计算题 压轴题 分析 1 由条件 x Z 知集合 A 中的元素是整数 进而求它的子集的个数 2 由条件 B 知集合 B 中的没有任何元素是 得不等式的解集是空集 进而求 m 3 由条件 A B 知集合 B 是 A 的子集 结合端点的不等关系列出不等式后解之即得 解答 解 化简集合 A x 2 x 5 集合 B 可写为 B x x m 1 x 2m 1 0 1 x Z A 2 1 0 1 2 3 4 5 即 A 中含有 8 个元素 A 的非空真子集数为 28 2 254 个 2 显然只有当 m 1 2m 1 即 m 2 时 B 3 当 B 即 m 2 时 B A 当 B 即 m 2 时 当 m 2 时 B 2m 1 m 1 要 B A 只要 所以 m 的值不存在 当 m 2 时 B m 1 2m 1 要 B A 只要 点评 本题考查集合的子集 集合的包含关系判断及应用以及空集的性质及运算 是一道中档题 9 已知集合 P y log2 ax2 2x 2 的定义域为 Q 1 若 P Q 求实数 a 的取值范围 2 若方程 求实数 a 的取值的取值范围 考 点 集合的包含关系判断及应用 对数函数图象与性质的综合应用 菁优网版权所有 专 题 计算题 压轴题 分 析 1 是一个存在性的问题 此类题求参数一般转化为求最值 若是存在大于某式的值成立 一般令其大于其最小值 2 也是一个存在性的问题 其与 1 不一样的地方是其为一个等式 故应求出解析式对应函数的值域 让该参数是该值域的一个元素即可保证存在性 解 答 解 1 由已知 Q x ax 2 2x 2 0 若 P Q 则说明在内至少有一个 x 值 使不等式 ax2 2x 2 0 即 在 a 的取值范围是 a 4 2 方程 点 评 考查存在性问题求参数范围 本题中两个小题都是存在性 因为其转化的最终形式不一样 所以求其参数方式不一样 一是其最值 一是求值域 答题者应细心体会其不 同 此类题一般难度较大 要求有较强的逻辑推理能力进行正确的转化 10 2007 天津 设函数 f x x x a 2 x R 其中 a R 当 a 1 时 求曲线 y f x 在点 2 f 2 处的切线方程 当 a 0 时 求函数 f x 的极大值和极小值 当 a 3 时 证明存在 k 1 0 使得不等式 f k cosx f k2 cos2x 对任意的 x R 恒成立 考点 函数单调性的性质 菁优网版权所有 专题 压轴题 分析 求出 f 2 和 f 2 利用点斜式写切线方程 求导 令 f x 0 再考虑 f x 的单调性 求极值即可 有 可知当 a 3 时 f x 为单调函数 利用单调性直接转化为 k cosx k2 cos2x 恒成立 分离 参数求解即可 解答 解 解 当 a 1 时 f x x x 1 2 x3 2x2 x 得 f 2 2 且 f x 3x2 4x 1 f 2 5 所以 曲线 y x x 1 2在点 2 2 处的切线方程是 y 2 5 x 2 整理得 5x y 8 0 解 f x x x a 2 x3 2ax2 a2xf x 3x2 4ax a2 3x a x a 令 f x 0 解得或 x a 由于 a 0 以下分两种情况讨论 1 若 a 0 当 x 变化时 f x 的正负如下表 因此 函数 f x 在处取得极小值 且 函数 f x 在 x a 处取得极大值 f a 且 f a 0 2 若 a 0 当 x 变化时 f x 的正负如下表 因此 函数 f x 在 x a 处取得极小值 f a 且 f a 0 函数 f x 在处取得极大值 且 证明 由 a 3 得 当 k 1 0 时 k cosx 1 k2 cos2x 1 由 知 f x 在 1 上是减函数 要使 f k cosx f k2 cos2x x R 只要 k cosx k2 cos2x x R 即 cos2x cosx k2 k x R 设 则函数 g x 在 R 上的最大值为 2 要使 式恒成立 必须 k2 k 2 即 k 2 或 k 1 所以 在区间 1 0 上存在 k 1 使得 f k cosx f k2 cos2x 对任意的 x R 恒成立 点评 本小题主要考查运用导数研究函数的性质 曲线的切线方程 函数的极值 解不等式等基础知识 考查综 合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法 11 2006 上海 已知函数 y x 有如下性质 如果常数 a 0 那么该函数在 0 上是减函数 在 上是增函数 如果函数 y x x 0 的值域为 6 求 b 的值 研究函数 y x2 常数 c 0 在定义域内的单调性 并说明理由 对函数 y x 和 y x2 常数 a 0 作出推广 使它们都是你所推广的函数的特例 研究推广后的函数 的单调性 只须写出结论 不必证明 并求函数 F x x2 n n n 是正整数 在区间 2 上 的最大值和最小值 可利用你的研究结论 考点 函数单调性的性质 函数最值的应用 菁优网版权所有 专题 计算题 压轴题 分析 1 函数 y x x 0 的最小值是 2 6 由此可求出 b 的值 2 设 0 x1 x2 y2 y1 由此入手经过讲座可知 该函数在 上是减函数 在 0 上是增函数 3 可以把函数推广为 y 常数 a 0 其中 n 是正整数 当 n 是奇数时 函数 y 在 0 上是减函数 在 上是增函数 在 上是增函数 在 0 上是减 函数 当 n 是偶数时 函数 y 在 0 上是减函数 在 上是增函数 在 上是减函数 在 0 上是增函数 并且由函数的单调性可求出当 x 1 时 F x 取得最小值 2n 1 解答 解 1 函数 y x x 0 的最小值是 2 则 2 6 b log29 2 设 0 x1 x2 y2 y1 当 x1 x2时 y2 y1 函数 y 在 上是增函数 当 0 x1 x2 时 y2 y1 函数 y 在 0 上是减函数 又 y 是偶函数 于是 该函数在 上是减函数 在 0 上是增函数 3 可以把函数推广为 y 常数 a 0 其中 n 是正整数 当 n 是奇数时 函数 y 在 0 上是减函数 在 上是增函数 在 上是增函数 在 0 上是减函数 当 n 是偶数时 函数 y 在 0 上是减函数 在 上是增函数 在 上是减函数 在 0 上是增函数 F x 因此 F x 在 1 上是减函数 在 1 2 上是增函数 所以 当 x 或 x 2 时 F x 取得最大值 n n 当 x 1 时 F x 取得最小值 2n 1 点评 本题考查函数的性质和应用 解题时要认真审题 仔细解答 12 2006 上海 已知函数有如下性质 如果常数 a 0 那么该函数在上是减函数 在 上是增函数 1 如果函数在 0 4 上是减函数 在 4 上是增函数 求 b 的值 2 设常数 c 1 4 求函数的最大值和最小值 3 当 n 是正整数时 研究函数的单调性 并说明理由 考点 函数单调性的性质 函数的单调性及单调区间 基本不等式在最值问题中的应用 菁优网版权所有 专题 综合题 压轴题 分析 1 根据题设条件知 4 由此可知 b 4 2 由 1 2 知当 x 时 函数 f x x 取得最小值 2 再由 c 的取值判断函数 的最大值和最小值 3 设 0 x1 x2 g x2 g x1 由此入手进行 单调性的讨论 解答 解 1 由已知得 4 b 4 2 c 1 4 1 2 于是 当 x 时 函数 f x x 取得最小值 2 f 1 f 2 当 1 c 2 时 函数 f x 的最大值是 f 2 2 当 2 c 4 时 函数 f x 的最大值是 f 1 1 c 3 设 0 x1 x2 g x2 g x1 当 x1 x2时 g x2 g x1 函数 g x 在 上是增函数 当 0 x1 x2 时 g x2 g x1 函数 g x 在 0 上是减函数 当 n 是奇数时 g x 是奇函数 函数 g x 在 上是增函数 在 0 上是减函数 当 n 是偶数时 g x 是偶函数 函数 g x 在 上是减函数 在 0 上是增函数 点评 本题考查函数的性质和应用 解题要认真审题 仔细求解 13 2005 上海 对定义域是 Df Dg的函数 y f x y g x 规定 函数 h x 1 若函数 f x g x x2 写出函数 h x 的解析式 2 求问题 1 中函数 h x 的值域 3 若 g x f x 其中 是常数 且 0 请设计一个定义域为 R 的函数 y f x 及一个 的值 使得 h x cos4x 并予以证明 考点 函数的表示方法 函数的值域 抽象函数及其应用 菁优网版权所有 专题 压轴题 分析 1 将 f x g x x2 代入 h x 2 利用双 勾函数的性质求得 3 令 f x sin2x cos2x 解答 解 1 h x 2 当 x 1 时 h x x 1 2 若 x 1 时 则 h x 4 其中等号当 x 2 时成立 若 x 1 时 则 h x 0 其中等号当 x 0 时成立 函数 h x 的值域是 0 1 4 3 令 f x sin2x cos2x 则 g x f x sin2 x cos2 x cos2x sin2x 于是 h x f x f x sin2x cos2x cos2x sin2x cos4x 另解令 f x 1 sin2x g x f x 1 sin2 x 1 sin2x 于是 h x f x f x 1 sin2x 1 sin2x cos4x 点评 本题主要考查求函数解析式和求最值以及构造函数等问题 14 2005 浙江 函数 f x 和 g x 的图象关于原点对称 且 f x x2 2x 求函数 g x 的解析式 解不等式 g x f x x 1 若 h x g x f x 1 在 1 1 上是增函数 求实数 的取值范围 考点 函数单调性的性质 函数解析式的求解及常用方法 绝对值不等式的解法 菁优网版权所有 专题 综合题 压轴题 分析 在函数 y f x 的图象上任意一点 Q x0 y0 设关于原点的对称点为 P x y 再由中点坐标 公式 求得 Q 的坐标代入 f x x2 2x 即可 将 f x 与 g x 的解析式代入转化为 2x2 x 1 0 再通过分类讨论去掉绝对值 转化为一元二次 不等式求解 将 f x 与 g x 的解析式代入可得 h x 1 x2 2 1 x 1 再用二次函数法研究其单 调性 解答 解 设函数 y f x 的图象上任意一点 Q x0 y0 关于原点的对称点为 P x y 则即 点 Q x0 y0 在函数 y f x 的图象上 y x2 2x 即 y x2 2x 故 g x x2 2x 由 g x f x x 1 可得 2x2 x 1 0 当 x 1 时 2x2 x 1 0 此时不等式无解 当 x 1 时 2x2 x 1 0 解得 因此 原不等式的解集为 h x 1 x2 2 1 x 1 当 1 时 h x 4x 1 在 1 1 上是增函数 1 当 1 时 对称轴的方程为 x 当 1 时 解得 1 当 1 时 解得 1 0 综上 0 点评 本题主要考查求对称区间上的解析式 解不等式及研究函数的单调性 属中档题 15 2005 湖南 已知函数 f x lnx g x ax2 bx a 0 若 b 2 且 h x f x g x 存在单调递减区间 求 a 的取值范围 设函数 f x 的图象 C1与函数 g x 图象 C2交于点 P Q 过线段 PQ 的中点作 x 轴的垂线分别交 C1 C2于点 M N 证明 C1在点 M 处的切线与 C2在点 N 处的切线不平行 考点 函数单调性的性质 利用导数研究曲线上某点切线方程 两条直线平行的判定 菁优网版权所有 专题 综合题 压轴题 分析 先求函数 h x 的解析式 因为函数 h x 存在单调递减区间 所以 h x 0 有解 求出 a 的 取值范围 先利用导数分别表示出函数在 C1在点 M 处的切线与 C2在点 N 处的切线 结合过线段 PQ 的中点 作 x 轴的垂线分别交 C1 C2于点 M N 建立关系式 通过反证法进行证明即可 解答 解 b 2 时 h x lnx ax2 2x 则 h x ax 2 因为函数 h x 存在单调递减区间 所以 h x 0 有解 又因为 x 0 时 则 ax2 2x 1 0 有 x 0 的解 当 a 0 时 y ax2 2x 1 为开口向上的抛物线 ax2 2x 1 0 总有 x 0 的解 当 a 0 时 y ax2 2x 1 为开口向下的抛物线 而 ax2 2x 1 0 总有 x 0 的解 则 4 4a 0 且方程 ax2 2x 1 0 至少有一正根 此时 1 a 0 综上所述 a 的取值范围为 1 0 0 设点 P Q 的坐标分别是 x1 y1 x2 y2 0 x1 x2 则点 M N 的横坐标为 x C1在点 M 处的切线斜率为 k1 x k1 C2在点 N 处的切线斜率为 k2 ax b x k2 b 假设 C1在点 M 处的切线与 C2在点 N 处的切线平行 则 k1 k2 即 b 则 x22 x12 b x2 x1 x22 bx2 bx1 y2 y1 lnx2 lnx1 所以 设 t 则 lnt t 1 令 r t lnt t 1 则 r t 因为 t 1 时 r t 0 所以 r t 在 1 上单调递增 故 r t r 1 0 则 lnt 这与 矛盾 假设不成立 故 C1在点 M 处的切线与 C2在点 N 处的切线不平行 点评 本题考查了函数单调性的应用 以及利用导数研究曲线上某点处的切线问题 属于难题 16 2005 广东 设函数 f x 在 上满足 f 2 x f 2 x f 7 x f 7 x 且在闭区间 0 7 上 只有 f 1 f 3 0 试判断函数 y f x 的奇偶性 试求方程 f x 0 在闭区间 2005 2005 上的根的个数 并证明你的结论 考点 函数奇偶性的判断 函数的周期性 根的存在性及根的个数判断 菁优网版权所有 专题 计算题 压轴题 分析 I 利用条件先求出函数的周期 再求出