河北省唐山市2016届高三第一次模拟考试数学（理）试题

HLLYBQ 整理 供 高中试卷网 http sj fjjy org 1 唐山市唐山市 2015 2016 学年度高三年级第一次模拟考试学年度高三年级第一次模拟考试 理科数学理科数学 2016 3 3 第第 I 卷卷 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 分 在每小题给出的四个选项中 有且只有一项符合题目要求 有且只有一项符合题目要求 1 设 A B 是全集 I 1 2 3 4 的子集 A l 2 则满足 AB 的 B 的个数是 A 5 B 4 C 3 D 2 2 复数的虚部为 1 i 1 2i A B C 一 D 一 1 5 3 5 1 5 3 5 3 已知向量 a b 满足 a a b 2 且 a 1 b 2 则 a 与 b 的夹角为 A B C D 6 3 5 6 2 3 4 x 2y 6的展开式中 x4y2的系数为 A 15 B 15 C 60 D 60 5 A 1 为抛物线 x2 2py p 0 上一点 则 A 到其焦点 F 的距离为2 A B C 2 D 1 3 2 2 1 2 2 6 执行右侧的程序框图 输出 S 的值为 A ln4 B ln5 C ln 5 ln4 D ln 4 ln 3 7 若 x y 满足不等式组则的最大值是 20 10 50 y xy xy y x A B 1 C 2 D 3 3 2 8 Sn为等比数列 an 的前 n 项和 满足 al l Sn 2 4Sn 3 则 an 的公比为 A 3 B 2 C 2 或 3 D 2 或 2 9 己知 A x1 0 B x2 1 在函数 f x 2sin x 0 的图象上 x1 x2 的最 HLLYBQ 整理 供 高中试卷网 http sj fjjy org 2 小值 则 4 A B C l D 3 2 4 3 2 3 10 某几何体的三视图如右图所示 则其体积为 A B 8 17 2 C D 9 15 2 11 为双曲线 1 a 0 b 0 的右焦点 若上存在一点 P 22 22 xy ab 使得 OPF 为等边三角形 O 为坐标原点 则 r 的离心率 e 的值为 A 2 B C D 13 31 2 3 12 数列 an 的通项公式为 an 关于 an 有如下命题 1 1 1 n n an 为先减后增数列 an 为递减数列 n nNae n nNae 其中正确命题的序号为 A B C D 第第 II 卷卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题 第题 第 21 题为必考题 每个试题考题为必考题 每个试题考 生都必须做答 第生都必须做答 第 22 题 第题 第 24 题为选考题 考生根据要求作答 题为选考题 考生根据要求作答 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分 把答案填写在题中横线上 分 把答案填写在题中横线上 13 在等差数列 an 中 a4 2 且 al a2 a10 65 则公差 d 的值是 14 1000 名考生的某次成绩近似服从正态分布 N 530 502 则成绩在 630 分以上的考 生人数约为 注 正态总体在区间 内取值的概率分别为 0 683 0 954 0 997 15 已知 f x 为奇函数 函数 g x 与 f x 的图象关于直线 y x l 对称 若 g 1 4 则 f 一 3 16 一个几何体由八个面围成 每个面都是正三角形 有四个顶点在同一平面内且为正 方形 从该几何体的 12 条棱所在直线中任取 2 条 所成角为 60 的直线共有 对 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 70 分 其中分 其中 17 21 题为必考题 题为必考题 22 23 24 题为题为 选考题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 选考题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 HLLYBQ 整理 供 高中试卷网 http sj fjjy org 3 17 本小题满分 12 分 在右图所示的四边形 ABCD 中 BAD 90 BCD 120 BAC 60 AC 2 记 ABC I 求用含 的代数式表示 DC II 求 BCD 面积 S 的最小值 18 本小题满分 12 分 如图 直四棱柱 ABCD A1B1C1D1的棱长均为 2 BAD 号 M 为 BB1的中点 Ol为上底面对角线的交 点 I 求证 O1M 平面 ACM II 求 AD1与平面 ADM 所成角的正弦值 19 本小题满分 12 分 某商场举行优惠促销活动 顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种 方案一 每满 200 元减 50 元 方案二 每满 200 元可抽奖一次 具体规则是依次从装有 3 个红球 1 个白球的甲 箱 装有 2 个红球 2 个白球的乙箱 以及装有 1 个红球 3 个白球的丙箱中各随机摸出 1 个球 所得结果和享受的优惠如下表 注 所有小球仅颜色有区别 I 若两个顾客都选择方案二 各抽奖一次 求至少一个人获得半价优惠的概率 II 若某顾客购物金额为 320 元 用所学概率知识比较哪一种方案更划算 20 本小题满分 1 2 分 在 ABC 中 A l 0 B 1 0 若 ABC 的重心 G 和垂心 H 满足 GH 平行于 x 轴 G H 不重合 I 求动点 C 的轨迹的方程 II 己知 O 为坐标原点 若直线 AC 与以 O 为圆心 以 OH 为半径的圆相切 求 此时直线 AC 的方程 21 本小题满分 12 分 已知函数 f x 2x ex 1 I 求 f x 的最大值 II 己知 x 0 1 af x 5 II 若 x a x 3 求 a 的最小值 唐山市 2015 2016 学年度高三年级第一次模拟考试 理科数学参考答案 一 选择题 A 卷 CADCBACBDA DC B 卷 BADCAACBDB DC 二 填空题 13 3 14 23 15 2 16 48 三 解答题 17 解 在 ADC 中 ADC 360 90 120 150 由正弦定理可得 即 DC sin DAC AC sin ADC DC sin30 2 sin 150 HLLYBQ 整理 供 高中试卷网 http sj fjjy org 5 于是 DC 5 分 1 sin 150 在 ABC 中 由正弦定理得 即 BC AC sin BC sin60 3 sin 由 知 DC 1 sin 150 那么 S 3 4sin sin 150 3 2sin cos 2 3sin2 3 3 2sin 2 60 故 75 时 S 取得最小值 6 3 12 分 3 18 解 连接 AO1 BD 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 BB1 平面 ABCD AC平面 ABCD 所以 BB1 AC 四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形 AC BD 又 BD BB1 B AC 平面 DBB1D1 又 O1M平面 DBB1D1 AC O1M 直四棱柱所有棱长均为 2 BAD M 为 BB1的中点 3 BD 2 AC 2 B1M BM 1 3 O1M2 O1B12 B1M2 2 AM2 AB2 BM 2 5 O1A2 O1A12 A1A2 7 O1M2 AM2 O1A2 O1M AM 又 AC AM A O1M 平面 ACM 6 分 设 BD 交 AC 于点 O 连接 OO1 以 O 为坐标原点 OA OB OO1所在直线分别为 x 轴 y 轴 z 轴建立空间直角坐标系 O xyz 则 A 0 0 D 0 1 0 D1 0 1 2 M 0 1 1 3 1 2 1 0 0 2 1 AD1 3 AD 3 DM 设平面 ADM 的一个法向量 n x y z 则即 n AD 0 n DM 0 3x y 0 2y z 0 令 x 1 得 n 1 2 33 设 AD1与平面 ADM 所成角为 AB C D M C1 B1 D1 A1 O1 AB C D M C1 B1 D1 A1 O O1 x y z HLLYBQ 整理 供 高中试卷网 http sj fjjy org 6 则 sin cos n AD1 AD1 n AD1 n 4 3 2 2 4 6 4 即 AD1与平面 ADM 所成角的正弦值为 12 分 6 4 19 解 记顾客获得半价优惠为事件 A 则 P A 3 2 1 4 4 4 3 32 两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率 P 1 P P 1 1 2 AA 3 32 183 1024 5 分 若选择方案一 则付款金额为 320 50 270 元 若选择方案二 记付款金额为 X 元 则 X 可取 160 224 256 320 P X 160 3 32 P X 224 3 2 3 3 2 1 1 2 1 4 4 4 13 32 P X 256 3 2 3 1 2 3 1 2 1 4 4 4 13 32 P X 320 1 2 3 4 4 4 3 32 则 E X 160 224 256 320 240 3 32 13 32 13 32 3 32 270 240 第二种方案比较划算 12 分 20 解 由题意可设 C x y 则 G H x x 3 y 3 y 3 x 1 x 1 y BH y 3 AC 因为 H 为垂心 所以 x2 1 0 整理可得 x2 1 BH AC y2 3 y2 3 即动点 C 的轨迹 的方程为 x2 1 x y 0 5 分 y2 3 显然直线 AC 的斜率存在 设 AC 方程为 y k x 1 C x0 y0 将 y k x 1 代入 x2 1 得 3 k2 x2 2k2x k2 3 0 y2 3 HLLYBQ 整理 供 高中试卷网 http sj fjjy org 7 解得 x0 y0 则 H 3 k2 3 k2 6k 3 k2 3 k2 3 k2 2k 3 k2 原点 O 到直线 AC 的距离 d k 1 k2 依题意可得 k2 1 k2 9 2k2 k4 9 6k2 k4 即 7k4 2k2 9 0 解得 k2 1 即 k 1 或 1 故所求直线 AC 的方程为 y x 1 或 y x 1 12 分 21 解 f x 2 ex x ln2 时 f x 0 x ln2 时 f x 0 所以 f x 在 ln2 上单调递增 在 ln2 上单调递减 则当 x ln2 时 f x 取得最大值 2ln2 1 4 分 x 0 1 时 f x 在 0 ln2 上单调递增 在 ln2 1 上单调递减 且 f 0 0 f 1 3 e 0 所以此时 f x 0 因为 tanx 0 所以当 a 0 时 af x 0 tanx 6 分 当 a 0 时 令 g x tanx af x 则 g x a 2 ex a ex 2 1 cos2x 1 cos2x 故 g x 在 0 1 上单调递增且 g 0 1 a 当 0 a 1 时 g 0 0 g x 0 所以 g x 在 0 1 上单调递增 又 g 0 0 所以此时 g x 0 即 af x tanx 成立 当 a 1 时 g 0 0 g 1 0 所以存在 x0 0 1 使得 g x0 0 即 x 0 x0 时 g x 0 g x 单调递减 又 g 0 0 所以此时 g x 0 与 af x tanx 矛盾 综上 a 的取值范围是 a 1 12 分 22 解 因为 BF CD 所以 EDC BFD 又 EBC EDC 所以 EBC BFD 又 BCE BDF 所以 BCE FDB 4 分 因为 EBF CBD 所以 EBC FBD 由 得 EBC BFD 所以 FBD BFD 又因为 BE 为圆 O 的直径 所以 FDB 为等腰直角三角形 BD BF 2 22 因为 AB 与圆 O 相切于点 B 所以 EB AB 即 AD ED BD2 2 10 分 23 解 半圆 C 的直角坐标方程为 x2 y 1 2 1 y 1 它的参数方程是 是参数且 0 4 分 x cos y 1 sin 设直线 l 的倾斜角为 HLLYBQ 整理 供 高中试卷网 http sj fjjy org 8 则直线 l 的方程为 y xtan 2 D cos2 1 sin2 2 0 AB 点 D 到直线 l 的距离为 2 sin sin cos2 cos sin2 3cos 3cos sin cos2 cos sin2 3cos sin 由 ABD