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第二部分MATLAB应用篇 1 拉氏变换和控制系统描述2 控制系统的时域分析3 根轨迹分析4 频率响应分析5 其它 一 拉氏变换和控制系统描述 时域函数的拉氏变换定义是 拉氏反变换定义为 MATLAB中 可以采用符运算工具箱进行拉氏变换和拉氏反变换 laplaceilaplace MATLAB的LTI工具箱中 4类数学模型 传递函数模型 TF transferfunctionmodel 零极点增益模型和部分分式模型 极点留数型 ZPK zero pole gainmodel 状态空间模型 SS Statusspacemodel 频率响应模型 FRD FrequencyResponseDatamodel 模型之间都有着内在的联系 可以相互进行转换 1 系统的分类 线性连续系统线性定常离散系统非线性系统通过拉氏变换和反变换 可以得到线性定常系统的解析解 这种方法通常只适用于常系数的线性微分方程 解析解是精确的 然而通常寻找解析解是困难的 MATLAB提供了ode23 ode45等微分方程的数值解法函数 不仅适用于线性定常系统 也适用于非线性及时变系统 2 传递函数的描述 1 3 连续系统的传递函数模型num b0 b1 bm den a0 a1 an 注意 它们都是按s的降幂进行排列的 零极点增益模型k 传递函数的传递系数zi 传递函数的零点pj 传递函数的极点 2 传递函数的描述 2 3 极点留数型 部分分式展开函数 r p k residue b a 对两个多项式的比进行部分展开 以及把传函分解为微分单元的形式 向量b和a是按s的降幂排列的多项式系数 部分分式展开后 余数返回到向量r 极点返回到列向量p 常数项返回到k 状态空间描述A为系统矩阵 A是一个n n的方阵 n指系统的状态 B为输入矩阵 B是一个n m矩阵 m指明输入次数 是单输入还是多输入 C为输出矩阵 C是一个k n矩阵 k为y 输出k 1 的行数 D为前馈矩阵 D是一个k m的矩阵 2 传递函数的描述 3 3 频率响应数据模型式中 系统的频率响应数据是复数 可用response g1 g2 gk 输入 对应的频率w用freq w1 w2 wk 输入 两者应有相同的列数 得到的频率响应数据模型用G frd response freq 表示 3 模型的转换与连接 1 5 模型的转换ss2tf 状态空间模型转换为传递函数模型ss2zp 状态空间模型转换为零极点增益模型tf2ss 传递函数模型转换为状态空间模型tf2zp 传递函数模型转换为零极点增益模型zp2ss 零极点增益模型转换为状态空间模型zp2tf 零极点增益模型转换为传递函数模型 2 2 3 模型的转换与连接 2 5 例 已知系统状态空间模型为 A 01 1 2 B 0 1 C 13 D 1 num den ss2tf A B C D z p k ss2zp A B C D 3 模型的转换与连接 3 5 控制工具箱中的LTI对象A LTI对象的类型和属性B LTI模型的建立C 对象属性的获取和修改D 模型类型的参数转换和提取串联与并联例 求状态方程与模型串联 例 求闭环系统的传递函数 3 模型的转换与连接 4 5 控制系统工具箱LTI对象运算优先等级为 状态空间 零极增益 传递函数 合成系统的系统函数的对象特性应按照环节的最高等级来确定 例 已知系统1和系统2的状态方程分别为求按串联 并联 正反馈 负反馈连接时的系统状态方程及系统1按单位负反馈连接时的状态方程 3 模型的转换与连接 5 5 例 求当K1 250 K1 1000时如图所示的系统的传递函数 表示成零极增益型式 二 控制系统的时域分析 时域分析的一般方法求取系统单位阶跃响应 step 求取系统的冲激响应 impulse Step用法y step num den t 其中num和den分别为系统传递函数描述中的分子和分母多项式系数 t为选定的仿真时间向量 一般可以由t 0 step end等步长地产生出来 该函数返回值y为系统在仿真时刻各个输出所组成的矩阵 y x t step num den 此时时间向量t由系统模型的特性自动生成 状态变量x返回为空矩阵 y x t step A B C D iu 其中A B C D为系统的状态空间描述矩阵 iu用来指明输入变量的序号 x为系统返回的状态轨迹 如果对具体的响应值不感兴趣 而只想绘制系统的阶跃响应曲线 可调用以下的格式 自动输出响应曲线 step num den step num den t step A B C D iu t step A B C D iu 线性系统的稳态值可以通过函数dcgain 来求取 其调用格式为 dc dcgain num den 或dc dcgain a b c d 时域分析的一般方法 2 4 例 已知系统的开环传递函数为 求系统在单位负反馈下的阶跃响应曲线 impulse 函数的用法求取脉冲激励响应的调用方法与step 函数基本一致 y impulse num den t y x t impulse num den y x t impulse A B C D iu t impulse num den impulse num den t impulse A B C D iu impulse A B C D iu t 时域分析的一般方法 3 4 例 已知系统的开环传递函数为 求系统在单位负反馈下的冲激响应曲线 例 某系统框图如下所示 求d和e的值 使系统的阶跃响应满足 1 超调量不大于40 2 峰值时间为0 8秒 时域分析的一般方法 4 4 例 二阶系统的闭环传递函数标准形式如下 求其单位阶跃响应 并仿真 欠阻尼情况临界阻尼情况过阻尼情况无阻尼情况 2 稳定性分析 线性自动控控制系统稳定的充分必要条件是 系统闭环极点 特征根 全部都具有负实部 亦即 全部都位于复平面的左半面 例 求该闭环系统的稳定性 三根轨迹分析 1 4 所谓根轨迹是指 当开环系统某一参数从零变到无穷大时 闭环系统特征方程的根在s平面上的轨迹 一般来说 这一参数选作开环系统的增益K 而在无零极点对消时 闭环系统特征方程的根就是闭环传递函数的极点 根轨迹分析方法是分析和设计线性定常控制系统的图解方法 使用十分简便 利用它可以对系统进行各种性能分析 根轨迹分析函数通常来说 绘制系统的根轨迹是很繁琐的事情 因此在教科书中介绍的是一种按照一定规则进行绘制的概略根轨迹 在MATLAB中 专门提供了绘制根轨迹的有关函数 根轨迹分析 2 4 pzmap 绘制线性系统的零极点图rlocus 求系统根轨迹 rlocfind 计算给定一组根的根轨迹增益 函数pzmap 来绘制系统的零极点图 p z pzmap a b c d 返回状态空间描述系统的极点矢量和零点矢量 而不在屏幕上绘制出零极点图 p z pzmap num den 返回传递函数描述系统的极点矢量和零点矢量 而不在屏幕上绘制出零极点图 pzmap a b c d 或pzmap num den 不带输出参数项 则直接在s复平面上绘制出系统对应的零极点位置 极点用 表示 零点用o表示 pzmap p z 根据系统已知的零极点列向量或行向量直接在s复平面上绘制出对应的零极点位置 极点用 表示 零点用o表示 根轨迹分析 3 4 函数rlocus 来绘制系统的根轨迹图 rlocus a b c d 或者rlocus num den 根据SISO开环系统的状态空间描述模型和传递函数模型 直接在屏幕上绘制出系统的根轨迹图 开环增益的值从零到无穷大变化 rlocus a b c d k 或rlocus num den k 通过指定开环增益k的变化范围来绘制系统的根轨迹图 r rlocus num den k 或者 r k rlocus num den 不在屏幕上直接绘出系统的根轨迹图 而根据开环增益变化矢量k 返回闭环系统特征方程1 k num s den s 0的根r 它有length k 行 length den 1列 每行对应某个k值时的所有闭环极点 或者同时返回k与r 对于参数根轨迹 可以通过传递函数的等效变换而进行绘制 若给出传递函数描述系统的分子项num为负 则利用rlocus函数绘制的是系统的零度根轨迹 正反馈系统或非最小相位系统 根轨迹分析 2 4 rlocfind 函数 MATLAB提供了函数rlocfind 来找出给定的一组根 闭环极点 对应的根轨迹增益 k p rlocfind a b c d 或者 k p rlocfind num den 它要求在屏幕上先已经绘制好有关的根轨迹图 然后 此命令将产生一个光标以用来选择希望的闭环极点 命令执行结果 k为对应选择点处根轨迹开环增益 p为对应K的系统闭环特征根 不带输出参数项 k p 时 同样可以执行 只是此时只将k的值返回到缺省变量ans中 例 已知某开环系统传递函数如下所示 要求绘制系统的闭环根轨迹 分析其稳定性 并绘制出当k 55和k 56时系统的闭环冲激响应 四频率响应分析 频域分析的一般方法频率响应是指系统对正弦输入信号的稳态响应 从频率响应中可以得出带宽 增益 转折频率 闭环稳定性等系统特征 频率特性是指系统在正弦信号作用下 稳态输出与输入之比对频率的关系特性 频率特性函数与传递函数有直接的关系 记为 通常将频率特性用曲线的形式进行表示 包括对数频率特性曲线和幅相频率特性曲线 简称幅相曲线 MATLAB提供了绘制这两种曲线的函数 求取系统对数频率特性图 波特图 bode 求取系统奈奎斯特图 幅相曲线图或极坐标图 nyquist 1 对数频率特性图 波特图 对数频率特性图包括了对数幅频特性图和对数相频特性图 横坐标为角频率w 采用对数分度 单位为rad sec 纵坐标均匀分度 分别为幅值函数20lgA w 以dB表示 相角 以度表示 MATLAB提供了函数bode 来绘 对数频率特性图 波特图 制系统的波特图 其用法如下 bode a b c d 自动绘制出系统的一组Bode图 它们是针对连续状态空间系统 a b c d 的每个输入的Bode图 其中频率范围由函数自动选取 而且在响应快速变化的位置会自动采用更多取样点 bode a b c d iu 可得到从系统第iu个输入到所有输出的波特图 bode num den 可绘制出以连续时间多项式传递函数表示的系统的波特图 bode a b c d iu w 或bode num den w 可利用指定的角频率矢量绘制出系统的波特图 由于横坐标按对数分度 因此w必须由logsapce生成 当带输出变量 mag pha w 或 mag pha 引用函数时 可得到系统波特图相应的幅值mag 相角pha及角频率点w矢量或只是返回幅值与相角 相角以度为单位 幅值可转换为分贝单位 magdb 20 log10 mag 2 奈奎斯特图 幅相频率特性图 对于频率特性函数G jw 给出w从负无穷到正无穷的一系列数值 分别求出Im G jw 和Re G jw 以Re G jw 为横坐标 Im G jw 为纵坐标绘制成为极坐标频率特性图 即奈奎斯特图 MATLAB提供了函数nyquist 来绘制系统的极坐标图 其用法如下 nyquist a b c d 绘制出系统的一组Nyquist曲线 每条曲线相应于连续状态空间系统 a b c d 的输入 输出组合对 其中频率范围由函数自动选取 而且在响应快速变化的位置会自动采用更多取样点 nyquist a b c d iu 可得到从系统第iu个输入到所有输出的极坐标图 nyquist num den 可绘制出以连续时间多项式传递函数表示的极坐标图 nyquist a b c d iu w 或nyquist num den w 可利用指定的角频率矢量绘制出系统的极坐标图 当不带返回参数时 直接在屏幕上绘制出系统的极坐标图 图上用箭头表示w的变化方向 负无穷到正无穷 当带输出变量 re im w 引用函数时 可得到系统频率特性函数的实部re和虚部im及角频率点w矢量 为正的部分 可以用plot re im 绘制出对应w从负无穷到零变化的部分 奈奎斯特图 幅相频率特性图 2 2 例 已知系统的传递函数为 求当K分别取1300和5200时 系统的极坐标频率特性图 3 常用频域分析函数 1 3 MATLAB除了提供前面介绍的基本频域分析函数外 还提供了大量在工程实际中广泛应用的库函数 由这些函数可以求得系统的各种频率响应曲线和特征值 如 margin 求幅值裕度和相角裕度及对应的转折频率freqs 模拟滤波器特性nichols 求连续系统的尼科尔斯频率响应曲线 即对数幅相曲线 margin 函数 margin函数可以从频率响应数据中计算出幅值裕度 相角裕度以及对应的频率 幅值裕度和相角裕度是针对开环SISO系统而言 它指示出系统闭环时的相对稳定性 当不带输出变量引用时 margin sys 可在当前图形窗口中绘制出带有裕量及相应频率显示的Bode图 其中幅值裕度以分贝为单位 sys为系统模型描述 常用频域分析函数 2 3 幅值裕度是在相角为 180度处使开环增益为1的增益量 如在 180度相频处的开环增益为g 则幅值裕度为1 g 若用分贝值表示幅值裕度 则等于 20 log10 g 类似地 相角裕度是当开环增益为1 0时 相应的相角与180度角的和 margin mag phase w 由bode指令得到的幅值mag 不是以dB为单位 相角phase及角频率w矢量绘制出带有裕量及相应频率显示的bode图 margin num den 可计算出连续系统传递函数表示的幅值裕度和相角裕度并绘制相应波特图 类似 margin a b c d 可以计算出连续状态空间系统表示的幅值裕度和相角裕度并绘制相应波特图 gm pm wcg wcp margin mag phase w 由幅值mag 不是以dB为单位 相角phase及角频率w矢量计算出系统幅值裕度和相角裕度及相应的相角交界频率wcg 截止频率wcp