高中数学必修五知识点大全

211 知识点串讲知识点串讲 必修五必修五 212 第一章 解三角形第一章 解三角形 1 1 1 1 1 1 正弦定理正弦定理 1 1 正弦定理 在一个三角形中 各边和它所对角的正弦的比相等 即 正弦定理 在一个三角形中 各边和它所对角的正弦的比相等 即 si nsi n ab AB si n c C 一般地 已知三角形的某些边和角 求其他的边和角的过程叫作解三角形 一般地 已知三角形的某些边和角 求其他的边和角的过程叫作解三角形 2 2 已知 已知 ABCABC 中 中 A A 0 60 3a 求求 si nsi nsi n abc ABC 证明出证明出 si nsi n ab AB si n c C si nsi nsi n abc ABC 解 设解 设 si nsi n ab AB o si n c k k C 则有则有si nakA si nbkB si nckC 从而从而 si nsi nsi n abc ABC si nsi nsi n si nsi nsi n kA kBkC ABC k 又又 si n a A 0 3 2 si n60 k 所以 所以 si nsi nsi n abc ABC 2 2 评述 在评述 在 ABCABC 中 等式中 等式 si nsi n ab AB si n c C 0 si nsi nsi n abc k k ABC 恒成立 恒成立 3 3 已知 已知 ABCABC 中 中 si n si n si n1 2 3ABC 求 求 a b c 答案 答案 1 1 2 2 3 3 1 1 21 1 2 余弦定理余弦定理 1 1 余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的 余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的 积的两倍 即积的两倍 即 222 2cosabcbcA 222 2cosbacacB 222 2coscababC 从余弦定理 又可得到以下推论 从余弦定理 又可得到以下推论 222 cos 2 b ca A bc 222 cos 2 acb B ac 222 cos 2 b ac C ba 213 2 2 在 在 ABCABC 中 已知中 已知2 3 a 62 c 0 60 B 求 求 b b 及及 A A 解 解 222 2cos bacacB 22 2 3 62 2 2 3 62 coscos 0 45 2 12 62 4 3 3 1 8 2 2 b 求求A可以利用余弦定理 也可以利用正弦定理 可以利用余弦定理 也可以利用正弦定理 解法一 解法一 cos cos 222222 2 2 62 2 3 1 22 2 2 2 62 bca A bc 0 60 A 解法二 解法二 sin sin 0 2 3 sinsin45 2 2 a AB b 又又 62 2 4 1 4 3 8 2 3 2 1 8 3 6 a c 即 即 0 0 A 0 90 0 60 A 评述 解法二应注意确定评述 解法二应注意确定 A A 的取值范围 的取值范围 3 3 在 在 ABCABC 中 若中 若 222 abcbc 求角 求角 A A 答案 答案 A 120A 120 0 1 1 1 1 3 3 解三角形的进一步讨论解三角形的进一步讨论 1 1 在 在 ABCABC 中 已知中 已知 a b A 讨论三角形解的情况 讨论三角形解的情况 分析 先由分析 先由 si n si n bA B a 可进一步求出可进一步求出 B B 则则 0 180 CAB 从而从而 si naC c A 1 1 当 当 A A 为钝角或直角时 必须为钝角或直角时 必须ab 才能有且只有一解 否则无解 才能有且只有一解 否则无解 2 2 当 当 A A 为锐角时 为锐角时 如果如果a b 那么只有一解 那么只有一解 如果如果ab 那么可以分下面三种情况来讨论 那么可以分下面三种情况来讨论 1 1 若 若si nabA 则有两解 则有两解 214 2 2 若 若si nabA 则只有一解 则只有一解 3 3 若 若si nabA 则无解 则无解 以上解答过程详见课本第 以上解答过程详见课本第 9 9 1010 页 页 评述 注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时 只有当评述 注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时 只有当 A A 为锐角且为锐角且 si nbA ab 时 有两解 其它情况时则只有一解或无解 时 有两解 其它情况时则只有一解或无解 2 2 1 1 在 在 ABCABC 中 已知中 已知80a 100b 0 45A 试判断此三角形的解的情况 试判断此三角形的解的情况 2 2 在 在 ABCABC 中 若中 若1a 1 2 c 0 40C 则符合题意的 则符合题意的 b b 的值有的值有 个 个 3 3 在 在 ABCABC 中 中 axcm 2bcm 0 45B 如果利用正弦定理解三角形有两解 求 如果利用正弦定理解三角形有两解 求 x x 的取值的取值 范围 范围 答案 答案 1 1 有两解 有两解 2 2 0 0 3 3 22 2x 3 3 在 在 ABCABC 中 已知中 已知7a 5b 3c 判断 判断 ABCABC 的类型 的类型 解 解 222 753 即 即 222 abc ABC 是钝角三角形 4 4 1 1 在 在 ABCABC 中 已知中 已知si n si n si n1 2 3ABC 判断 判断 ABCABC 的类型 的类型 2 2 已知 已知 ABCABC 满足条件满足条件coscosaA bB 判断 判断 ABCABC 的类型 的类型 答案 答案 1 1 ABC 是钝角三角形 2 2 ABCABC 是等腰或直角三角形 是等腰或直角三角形 5 5 在 在 ABCABC 中 中 0 60A 1b 面积为 面积为 3 2 求 求 si nsi nsi n abc ABC 的值的值 si nsi n ab AB si n c C si nsi nsi n abc ABC 解 由解 由 13 si n 22 SbcA 得得2c 则则 222 2cosabcbcA 3 3 即 即3a 从而从而 si nsi nsi n abc ABC 2 si n a A 215 1 21 2 解三角形应用举例解三角形应用举例 1 1 两灯塔 两灯塔 A A B B 与海洋观察站与海洋观察站 C C 的距离都等于的距离都等于 a a km km 灯塔灯塔 A A 在观察站在观察站 C C 的北偏东的北偏东 3030 灯塔 灯塔 B B 在观察在观察 站站 C C 南偏东南偏东 6060 则 则 A A B B 之间的距离为多少 之间的距离为多少 解略 解略 2a a kmkm 2 2 某人在某人在 M M 汽车站的北偏西汽车站的北偏西 2020 的方向上的的方向上的 A A 处 观察到点处 观察到点 C C 处有一辆汽车沿公路向处有一辆汽车沿公路向 M M 站行驶 公站行驶 公 路的走向是路的走向是 M M 站的北偏东站的北偏东 4040 开始时 汽车到 开始时 汽车到 A A 的距离为的距离为 3131 千米 汽车前进千米 汽车前进 2020 千米后 到千米后 到 A A 的距离缩短了的距离缩短了 1010 千米 问汽车还需行驶多远 才能到达千米 问汽车还需行驶多远 才能到达 M M 汽车站 汽车站 解 由题设 画出示意图 设汽车前进解 由题设 画出示意图 设汽车前进 2020 千米后到达千米后到达 B B 处 在处 在 ABCABC 中 中 AC 31AC 31 BC 20BC 20 AB 21AB 21 由余弦定理得由余弦定理得 cosC cosC BCAC ABBCAC 2 222 31 23 则则 sinsin 2 C C 1 1 coscos 2 C C 2 31 432 sinCsinC 31 312 所以所以 sinsin MACMAC sinsin 120120 C C sin120sin120 cosCcosC cos120cos120 sinCsinC 62 335 在在 MACMAC 中 由正弦定理得中 由正弦定理得 MCMC AMC MACAC sin sin 2 3 31 62 335 35 35 从而有从而有 MB MB MC BC 15MC BC 15 答 汽车还需要行驶答 汽车还需要行驶 1515 千米才能到达千米才能到达 M M 汽车站 汽车站 3 3 S S 2 1 absinabsinC C S S 2 1 bcsinbcsinA A S S 2 1 acsinBacsinB 4 4 在 在 ABCABC 中 求证 中 求证 1 1 sin sinsin 2 22 2 22 C BA c ba 2 2 2 a 2 b 2 c 2 2 bccosA cacosB abcosCbccosA cacosB abcosC 216 证明 证明 1 1 根据正弦定理 可设 根据正弦定理 可设 A a sin B b sin C c sin k k 显然显然 k k 0 0 所以 所以 左边左边 Ck BkAk c ba 22 2222 2 22 sin sinsin C BA 2 22 sin sinsin 右边右边 2 2 根据余弦定理的推论 根据余弦定理的推论 右边右边 2 bc 2 bc bc acb 2 222 ca ca bac 2 222 ab ab cba 2 222 b b 2 c c 2 a a 2 c c 2 a a 2 b b 2 a a 2 b b 2 c c 2 a a 2 b 2 c 2 左边左边 变式练习变式练习 1 已知在 已知在 ABCABC 中 中 B 30B 30 b 6 c 6 b 6 c 63 求求 a a 及及 ABCABC 的面积的面积 S S 提示 解有关已知两边和其中一边对角的问题 注重分情况讨论解的个数 提示 解有关已知两边和其中一边对角的问题 注重分情况讨论解的个数 答案 答案 a 6 S 9a 6 S 93 a 12 S 18 a 12 S 183 5 5 如图 在四边形 如图 在四边形 ABCDABCD 中 中 ADB ADB BCD 75BCD 75 ACB ACB BDC 45BDC 45 DC DC 3 求 求 1 1 ABAB 的长的长 2 2 四边形四边形 ABCDABCD 的面积的面积 略解 略解 1 1 因为 因为 BCD 75BCD 75 ACB 45ACB 45 所以 所以 ACD 30ACD 30 又因为 又因为 BDC 45BDC 45 所以 所以 DAC 180DAC 180 7575 4545 3030 30 30 所以所以 AD DC AD DC 3 在在 BCDBCD 中 中 CBD 180CBD 180 7575 4545 60 60 所以 所以 217 75sin BD 60sin DC BDBD 60sin 75sin3 2 26 在在 ABDABD 中 中 ABAB 2 AD AD 2 BDBD 2 2 2 ADAD BDBD cos75cos75 5 5 所以得所以得 AB AB 5 3 3 S S ABD 2 1 ADAD BDBD sin75sin75 4 323 同理 同理 S S BCD 4 33 所以四边形所以四边形 ABCD 的面积的面积 S 4 336 第二章 数列第二章 数列 2 2 1 1 数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法 1 概括数列的概念 按照一定顺序排列着的一列数称为数列 数列中的每一个数叫做这个数列的项 概括数列的概念 按照一定顺序排列着的一列数称为数列 数列中的每一个数叫做这个数列的项 辩析数列的概念 辩析数列的概念 1 2 3 4 5 与与 5 4 3 2 1 是同一个数列吗 与是同一个数列吗 与 1 3 2 4 5 呢 给出首项与第呢 给出首项与第 n 项的定义及数列的记法 项的定义及数列的记法 an 2 数列的分类 数列的分类 有穷数列与无穷数列 递增数列与递减数列 常数列 有穷数列与无穷数列 递增数列与递减数列 常数列 3 数列的表示方法 项公式列表和图象等方法表示数列 数列的表示方法 项公式列表和图象等方法表示数列 4 2 an 1 1 n N n 1 式称为递推公式 递推公式也是数列的一种表示方法 式称为递推公式 递推公式也是数列的一种表示方法 2 2 2 2 等差数列等差数列 1 1 数列 一般地 如果一个数列从第 数列 一般地 如果一个数列从第 2 2 项起 每一项与它的前一项的差等于同一个常数 那么这个项起 每一项与它的前一项的差等于同一个常数 那么这个 数列就叫做等差数列 数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的公差 公差通常用字母这个常数叫做等差数列的公差 公差通常用字母 d d 表示 表示 2 2 个数 个数 a a A A b b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列 这时 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列 这时 A A 叫做叫做 a a 与与 b b 的等差中项 的等差中项 3 等差数列中 若 等差数列中 若 m n p q 则则 qpnm aaaa 218 4 4 通项公式 以 通项公式 以 1 a为首项 为首项 d d 为公差的等差数列为公差的等差数列 n a的通项公式为 的通项公式为 dnaan 1 1 5 5 迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式 迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式 迭加法 迭加法 n a是等差数列 所以是等差数列 所以 1 daa nn 21 daa nn 32 daa nn 12 daa 两边分别相加得两边分别相加得 1 1 dnaan 所以所以 dnaan 1 1 迭代法 迭代法 n a是等差数列 则有是等差数列 则有 daa nn 1 ddan 2 dan2 2 ddan2 3 dan3 3 dna 1 1 所以所以 dnaan 1 1 6 6 求等差数列求等差数列 8 8 5 5 2 2 的第的第 2020 项项 401 401 是不是等差数列是不是等差数列 5 5 9 9 13 13 的项 如果是 是第几项 的项 如果是 是第几项 解 解 由由 1 a 8 8 d 5 8 3d 5 8 3 n 20n 20 得 得49 3 121 8 20 a 由由 1 a 5 5 d 9 d 9 5 5 4 4 得这个数列的通项公式为 得这个数列的通项公式为 14 1 45 nnan由题由题 意知 本题是要回答是否存在正整数意知 本题是要回答是否存在正整数 n n 使得使得 401 4n 1 401 4n 1 成立 成立 解这个关于解这个关于 n n 的方程 得的方程 得 n 100n 100 即 即 401 401 是这个数列的第是这个数列的第 100100 项 项 7 某市出租车的计价标准为 某市出租车的计价标准为 1 21 2 元元 km km 起步价为 起步价为 1010 元 即最初的元 即最初的 4km4km 不含 不含 4 4 千米 计费千米 计费 1010 元 元 如果某人乘坐该市的出租车去往如果某人乘坐该市的出租车去往 14km14km 处的目的地 且一路畅通 等候时间为处的目的地 且一路畅通 等候时间为 0 0 需要支付多少车费 需要支付多少车费 219 解 根据题意 当该市出租车的行程大于或等于解 根据题意 当该市出租车的行程大于或等于 4km4km 时 每增加时 每增加 1km1km 乘客需要支付 乘客需要支付 1 21 2 元元 所所 以 我们可以建立一个等差数列以 我们可以建立一个等差数列 n a来计算车费来计算车费 令令 1 a 11 2 11 2 表示 表示 4km4km 处的车费 公差处的车费 公差 d 1 2d 1 2 那么当出租车行至 那么当出租车行至 14km14km 处时 处时 n 11n 11 此时需 此时需 要支付车费要支付车费 2 232 1 111 2 11 11 元 a 答 需要支付车费答 需要支付车费 23 223 2 元 元 2 2 2 2 等差数列的前等差数列的前 n n 项和项和 1 1 倒序相加法求和 倒序相加法求和 我们用两种方法表示我们用两种方法表示 n S 1 1 1 2 1111 dnadadaaSn 1 2 dnadadaaS nnnnn 由由 得 得 2 n S 1111nnnn aaaaaaaa n个 1n aan 由此得到等差数列由此得到等差数列 n a的前的前 n n 项和的公式项和的公式 2 1n n aan S 2 2 123 nn Saaaa 1111 2 1 aadadand 1 2 1 naddnd 1 12 1 nand 2110 1 1 2 n n nad 2 2 已知一个等差数列 已知一个等差数列 n a前前 1010 项的和是项的和是 310310 前 前 2020 项的和是项的和是 1220 1220 由这些条件能确定这个等差数由这些条件能确定这个等差数 列的前列的前 n n 项和的公式吗 项和的公式吗 解 由题意知解 由题意知 10 310S 20 1220S 将它们代入公式将它们代入公式 1 1 2 n n n Snad 得到得到 1 1 1045310 201901220 ad ad 解这个关于解这个关于 1 a与与 d d 的方程组 得到的方程组 得到 1 a 4 4 d 6d 6 所以所以 2 1 463 2 n n n Snnn 另解 另解 1 10 10310 2 n aa S 得得 110 62aa 120 20 201220 2 aa S 所以所以 120 122aa 得 得1060d 所以所以 6d 代入代入 得 得 1 4a 所以有所以有 2 1 1 3 2 n n n Sa ndnn 3 3 已知数列 已知数列 n a的前的前 n n 项为项为 2 1 2 n Snn 求这个数列的通项公式 求这个数列的通项公式 这个数列是等差数列吗 如果这个数列是等差数列吗 如果 是 它的首项与公差分别是什么 是 它的首项与公差分别是什么 解 根据解 根据 121 nnn Saaaa 与与 1121 nn Saaa n 1 可知 当可知 当 n n 1 1 时 时 22 1 111 11 2 222 nnn aSSnnnnn 当当 n 1n 1 时 时 2 11 13 11 22 aS 也满足也满足 式式 2111 所以数列所以数列 n a的通项公式为的通项公式为 1 2 2 n an 由此可知 数列由此可知 数列 n a是一个首项为是一个首项为 3 2 公差为 公差为 2 2 的等差数列 的等差数列 这个例题还给出了等差数列通项公式的一个求法这个例题还给出了等差数列通项公式的一个求法 已知前已知前 n n 项和项和 n S 可求出通项 可求出通项 1 1 1 n an S n S 4 4 如果一个数列前 如果一个数列前 n n 项和公式是常数项为项和公式是常数项为 0 0 且关于 且关于 n n 的二次型函数 则这个数列一定是等差数列的二次型函数 则这个数列一定是等差数列 5 5 已知等差数列已知等差数列 24 5 43 77 的前的前 n n 项和为项和为 n S 求使得 求使得 n S最大的序号最大的序号 n n 的值的值 解 由题意知 等差数列解 由题意知 等差数列 24 5 43 77 的公差为的公差为 5 7 所以 所以 5 2 51 27 n n Sn 2 2 7555151125 1414256 nn n 于是 当于是 当 n n 取与取与 15 2 最接近的整数即最接近的整数即 7 7 或或 8 8 时 时 n S取最大值取最大值 6 已知数列 已知数列 n a是等差数列 是等差数列 Sn是其前是其前 n 项和 且项和 且 S6 S12 S6 S18 S12成等差数列 设成等差数列 设 kkkkk SSSSSNk 232 成等差数列吗 成等差数列吗 生 分析题意 解决问题生 分析题意 解决问题 解 设解 设 n a首项是首项是 1 a 公差为 公差为 d d 则 则 6543216 aaaaaaS 为等差数列 12186126 612 121110987 121110987 1817161514131218 6654321 654321 121110987612 36 36 6 6 6 6 6 6 3636 6 6 6 6 6 6 SSSSS dSS daaaaaa dadadadadada aaaaaaSS dSdaaaaaa dadadadadada aaaaaaSS n a n 1 2112 同理可得同理可得 kkkkk SSSSS 232 成等差数列成等差数列 7 求集合 求集合 100 7 mNnnmm且的元素个数 并求这些元素的和 的元素个数 并求这些元素的和 解由解由 m 100m 100 得 得 7 2 14 7 100 n 满足此不等式的正整数满足此不等式的正整数 n n 共有共有 1414 个 所以集合个 所以集合 m m 中的元素共有中的元素共有 1414 个 从小到大可列为 个 从小到大可列为 7 7 7 27 2 7 37 3 7 47 4 7 14 7 14 即 即 7 7 1414 2121 2828 98 98 这个数列是等差数列 记为这个数列是等差数列 记为 n a其中其中735 2 987 14 98 7 14141 Saa 解由解由 m 100m 100 得 得 7 2 14 7 100 n 满足此不等式的正整数满足此不等式的正整数 n n 共有共有 1414 个 所以集合个 所以集合 m m 中的元素共有中的元素共有 1414 个 从小到大可列为 个 从小到大可列为 7 7 7 27 2 7 37 3 7 47 4 7 14 7 14 即 即 7 7 1414 2121 2828 98 98 这个数列是等差数列 记为这个数列是等差数列 记为 n a 其中其中735 2 987 14 98 7 14141 Saa 答 集合答 集合 m m 中共有中共有 1414 个元素 它们和等于个元素 它们和等于 735735 2 2 3 3 等比数列等比数列 1 等比数列的定义 一般地 若一个数列从第二项起 每一项与它的前一项的比等于 等比数列的定义 一般地 若一个数列从第二项起 每一项与它的前一项的比等于 同一个常数同一个常数 这个数列就叫做等比数列这个数列就叫做等比数列 这个常数叫等比数列的公比 用字母这个常数叫等比数列的公比 用字母 q 表示表示 q 0 即 即 1 n n a a q q 0 2 既是等差又是等比数列的数列 非零常数列 既是等差又是等比数列的数列 非零常数列 3 等比数列的通项公式 等比数列的通项公式 1 0 1 1 1 均不为qaqaa n n 2113 等比数列的通项公式等比数列的通项公式 2 0 qaqaa m mn mn 4 若 若 n a为等比数列 为等比数列 mnpq m n q pN 则 则 qpnm aaaa 由等比数列通项公式得 由等比数列通项公式得 11 1n1 mn m aa qaa q 11 1q1 pq p aa qaa q 故故 2 2 1 m n mn aaa q 且且 2 2 1 p q pq aaa q mnpq qpnm aaaa 5 已知三个数成等比数列 它们的积为 已知三个数成等比数列 它们的积为 27 它们的平方和为 它们的平方和为 91 求这三个数 求这三个数 解 由题意可以设这三个数分别为解 由题意可以设这三个数分别为 a a aq q 得 得 2 222 2 27 91 a a aq q a aa q q 22 2 3 1 1 91 a aq q 42 98290qq 即得 即得 2 9q 或或 2 1 9 q 3q 或或 1 3 q 故该三数为 故该三数为 1 3 9 或或1 3 9 或或 9 3 1 或或9 3 1 说明 已知三数成等比数列 一般情况下设该三数为说明 已知三数成等比数列 一般情况下设该三数为 a a aq q 6 数列 数列 n a为各项均为正数的等比数列 它的前为各项均为正数的等比数列 它的前n项和为项和为 80 且前 且前n项中数值最大的项为项中数值最大的项为 54 它 它 的前的前2n项和为项和为 6560 求首项 求首项 1 a和公比和公比q 解 若解 若1q 则应有 则应有 2 2 nn SS 与题意不符合 故 与题意不符合 故1q 依题意有 依题意有 1 2 1 1 80 1 1 1 6560 2 1 n n aq q aq q 2 1 得得 2 1 82 1 n n q q 即即 2 82810 nn qq 得得81 n q 或或1 n q 舍去 舍去 81 n q 由由81 n q 知知1q 数列数列 n a的前的前n项中项中 n a最大 得最大 得54 n a 2114 将将81 n q 代入 代入 1 1 得 得 1 1aq 3 3 由由 1 1 54 n n aa q 得得 1 54 n a qq 即 即 1 8154aq 4 4 联立 联立 3 3 4 4 解方程组得 解方程组得 1 2 3 a q 2 42 4 等比数列的前等比数列的前 n n 项和项和 1 等比数列的前 等比数列的前 n 项和公式 项和公式 一般地 设等比数列一般地 设等比数列 n aaaa 321 它的前它的前 n 项和是项和是 n S n aaaa 321 由由 1 1 321 n n nn qaa aaaaS 得得 nn n nn n qaqaqaqaqaqS qaqaqaqaaS 1 1 1 3 1 2 11 1 1 2 1 2 111 n n qaaSq 11 1 论同上 论同上 当当 1 q 时 时 q qa S n n 1 1 1 或或 q qaa S n n 1 1 当当 q 1 时 时 1 naSn 2 已知等比数列 已知等比数列 1 1 1 9 3 求使得 求使得 n S 大于大于 100 的最小的的最小的 n 的值的值 答案 使得答案 使得 n S 大于大于 100 的最小的的最小的 n 的值为的值为 7 2115 3 设数列 设数列 n a 的前的前 n 项和为项和为 3n n Sa 当常数 当常数a满足什么条件时 满足什么条件时 n a 才是等比数列 才是等比数列 答案 答案 1a 4 已知等比数列 已知等比数列 n a 中中 48 20 1640SS 求求 12 S 5 某商店采用分期付款元的方式促销一款价格每台为 某商店采用分期付款元的方式促销一款价格每台为 6000 电的脑电的脑 商规店定 购买时先支付货款的商规店定 购买时先支付货款的 3 1 剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款 且结算欠款的利息 剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款 且结算欠款的利息 已知欠款的月利率为已知欠款的月利率为 0 5 到第一个月底 货主在第一次还款之前 他欠商店多少元 到第一个月底 货主在第一次还款之前 他欠商店多少元 解解 1 因为购买电脑时因为购买电脑时 货主欠商店货主欠商店3 2 的货款的货款 即即 6000 3 2 4000 元元 又按月利率又按月利率 0 5 到第一个月底的到第一个月底的 欠款数应为欠款数应为 4000 1 0 5 4020 元元 即到第一个月底即到第一个月底 欠款余额为欠款余额为 4020 元元 2 设第设第 i 个月底还款后的欠款数为个月底还款后的欠款数为 yi 则有则有 y1 4000 1 0 5 a y2 y1 1 0 5 a 4000 1 0 5 2 a 1 0 5 a y3 y2 1 0 5 a y3 y2 1 0 5 a 4000 1 0 5 3 a 1 0 5 2 a 1 0 5 a yi y 1 i 1 0 5 a 4000 1 0 5 i a 1 0 5 1 i a 1 0 5 2 i a 整理得整理得 yi 4000 1 0 5 i 5 0 1 5 01 i a i 1 2 36 3 因为因为 y36 0 所以所以 2116 4000 1 0 5 36 5 0 1 5 01 36 a 0 即每月还款数即每月还款数 a 69 121 1 5 01 5 0 5 01 4000 36 36 元元 所以每月的款额为所以每月的款额为 121 69 元元 第三章不等式第三章不等式 3 13 1 不等式与不等关系不等式与不等关系 1 1 不等式的基本性质 不等式的基本性质 1 1 ab bcac 2 2 abacbc 3 3 0ab cacbc 4 4 0ab cacbc 2 2 已知 已知0 0 abc 求证求证 cc ab 证明 以为证明 以为0ab 所以 所以 ab 0 ab 0 1 0 ab 于是于是 11 ab abab 即 即 11 ba 由由 c 0c 0 得 得 cc ab 3 23 2 一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法 1 1 一元二次不等式的定义 一元二次不等式的定义 象象 2 50 xx 这样 只含有一个未知数 并且未知数的最高次数是这样 只含有一个未知数 并且未知数的最高次数是 2 2 的不等式 称为一元二次不的不等式 称为一元二次不 等式 等式 2117 2 2 设一元二次方程 设一元二次方程 2 0axbxc 0 a 的两根为的两根为 1212 xxxx 且 2 4bac 则不等式的解的 则不等式的解的 各种情况如下表 各种情况如下表 0 0 0 二次函数二次函数 2 yaxbxc 0 a 的图象的图象 一元二次方程一元二次方程 2 0axbxc 有两相异实根有两相异实根 1212 xxxx 有两相等实根有两相等实根 12 2 b xx a 无实根无实根 2 0axbxc 0 a 的解集的解集 12 x xxxx 或 2 b x x a R R 2 0axbxc 0 a 的解集的解集 12 x xxx 3 3 一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线 这条流水线生产的摩托车数量 一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线 这条流水线生产的摩托车数量 x x 辆 与创 辆 与创 造的价值造的价值 y y 元 之间有如下的关系 元 之间有如下的关系 2 2220yxx 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收 60006000 元以上 那么它在一个星期内大约应该元以上 那么它在一个星期内大约应该 生产多少辆摩托车 生产多少辆摩托车 解 设在一个星期内大约应该生产解 设在一个星期内大约应该生产 x x 辆摩托车 根据题意 我们辆摩托车 根据题意 我们 得到得到 2 22206000 xx 移项整理 得移项整理 得 2 11030000 xx 因为因为1000 所以方程 所以方程 2 11030000 xx 有两个实数根有两个实数根 12 50 60 xx 由二次函数的图象 得不等式的解为 由二次函数的图象 得不等式的解为 5060 x 因为因为 x x 只能取正整数 所以 当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在只能取正整数 所以 当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在 51 51 5959 辆之间时 这家工厂能够获得辆之间时 这家工厂能够获得 60006000 元以上的收益 元以上的收益 4 设设 2 430 Ax xx 2 280 Bx xxa 且 且AB 求 求a的取值范围 的取值范围 解 令解 令 2 28f xxxa 由由AB 及二次函数图象的性质可得 及二次函数图象的性质可得 1 0 3 0 f f 即 即 1280 9680 a a 解之得 解之得95a 2118 因此因此a的取值范围是的取值范围是95a 3 3 3 3 二元一次不等式 组 与平面区域 二元一次不等式 组 与平面区域 1 画出不等式 画出不等式 2x y 6 0 表示的平面区域 表示的平面区域 解 先画直线解 先画直线 2x y 6 0 画成虚线 画成虚线 取原点 取原点 0 0 代入 代入 2x y 6 2 0 0 6 6 0 原点在原点在 2x y 6 0 表示的平面区域内 不等式表示的平面区域内 不等式 2x y 6 0 表示的区域如图 表示的区域如图 2 线性规划的有关概念 线性规划的有关概念 线线性性约约束条件束条件 在上述问题中 不等式组是一组变量 在上述问题中 不等式组是一组变量 x y 的约束条件 这组约束条件都是关的约束条件 这组约束条件都是关 于于 x y 的一次不等式 故又称线性约束条件 的一次不等式 故又称线性约束条件 线线性目性目标标函数函数 关于关于 x y 的一次式的一次式 z 2x y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x y 的解析式 叫线性目标的解析式 叫线性目标 函数 函数 线线性性规规划划问题问题 一般地 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 统称为线性规划问题 一般地 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 统称为线性规划问题 可行解 可行域和最可行解 可行域和最优优解解 满足线性约束条件的解 满足线性约束条件的解 x y 叫可行解 叫可行解 由所有可行解组成的集合叫做可行域 由所有可行解组成的集合叫做可行域 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解 3 有粮食和石油两种物资 可用轮船与飞机两种方式运输 每天每艘轮船和每架飞机的运输效果见 有粮食和石油两种物资 可用轮船与飞机两种方式运输 每天每艘轮船和每架飞机的运输效果见 表 表 2119 轮船运输量 轮船运输量 t飞机运输量 飞机运输量 t 粮食粮食300150 石油石油250100 现在要在一天内运输至少现在要在一天内运输至少2 000t 粮食和粮食和1 500t 石油 需至少安排多少艘轮船和多少架飞机 石油 需至少安排多少艘轮船和多少架飞机 答案 解 设需安排答案 解 设需安排x艘轮船和艘轮船和y架飞机 则架飞机 则 3001502 000 2501001 500 0 0 xy xy x y 即即 6340 5230 0 0 xy xy x y 目标函数为目标函数为zxy 作出可行域 如图所示 作出可行域 如图所示 作出在一组平行直线作出在一组平行直线xyt t为参数 中经过可行为参数 中经过可行 域内某点且和原点距离最小的直线 此直线经过直线域内某点且和原点距离最小的直线 此直线经过直线 63400 xy 和和0y 的交点的交点 20 0 3 A 直线方程 直线方程 为 为 20 3 xy 由于由于 20 3 不是整数 而最优解不是整数 而最优解 xy 中中xy 必须都是整数 所以 可行域内点必须都是整数 所以 可行域内点 20 0 3 不是最优不是最优 解 解 经过可行域内的整点 横 纵坐标都是整数的点 且与原点距离最近的直线经过的整点是经过可行域内的整点 横 纵坐标都是整数的点 且与原点距离最近的直线经过的整点是 7 0 即为最优解 则至少要安排即为最优解 则至少要安排7艘轮船和艘轮船和0架飞机 架飞机 3 3 4 4 基本不等式基本不等式 1 1 一般地 对于任意实数 一般地 对于任意实数 a b 我们有 我们有 22 2abab 当