高三模拟考试数学试卷(文科)(Word版含解析)

高三模拟考试数学试卷 文科 高三模拟考试数学试卷 文科 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 有一项是符合题目要求的 1 函数 f x 的定义域为 A 0 B 0 C 0 D 2 复数的共轭复数是 A 1 2iB 1 2iC 1 2iD 1 2i 3 已知向量 1 2 1 若 则实数 的值为 A 1B 2C 1D 2 4 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 a4 9 a6 11 则 S9等于 A 180B 90C 72D 10 5 已知双曲线 1 a 0 b 0 的离心率为 则双曲线的渐近线方程为 A y 2xB y xC y xD y x 6 下列命题正确的个数是 A 在三角形 ABC 中 若 sinA sinB 则 A B 的逆命题是真命题 B 命题 p x 2 或 y 3 命题 q x y 5 则 p 是 q 的必要不充分条件 C x R x3 x2 1 0 的否定是 x R x3 x2 1 0 D 若 a b 则 2a 2b 1 的否命题为 若 a b 则 2a 2b 1 A 1B 2C 3D 4 7 已知某几何体的三视图如图所示 则这个几何体的外接球的表面积等于 A B 16 C 8 D 8 按如图所示的程序框图运行后 输出的结果是 63 则判断框中的整数 M 的值是 A 5B 6C 7D 8 9 已知函数 f x 2x 若存在满足 0 x0 3 的实数 x0 使得曲线 y f x 在 点 x0 f x0 处的切线与直线 x my 10 0 垂直 则实数 m 的取值范围是 三分之一前 有一个负号 A C D 10 若直线 2ax by 2 0 a 0 b 0 恰好平分圆 x2 y2 2x 4y 1 0 的面积 则的最 小值 A B C 2D 4 11 设不等式组表示的区域为 1 不等式 x2 y2 1 表示的平面区域为 2 若 1与 2有且只有一个公共点 则 m 等于 A B C D 12 已知函数 f x sin x 在上有两个零点 则实数 m 的取值范围为 A B D 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 分 13 设函数 f x 则方程 f x 的解集为 14 现有 10 个数 它们能构成一个以 1 为首项 3 为公比的等比数列 若从这 10 个数中 随机抽取一个数 则它小于 8 的概率是 15 若点 P cos sin 在直线 y 2x 上 则的值等于 16 16 如图 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 M N 分别是棱 C1D1 C1C 的中点 以下 四个结论 直线 AM 与直线 CC1相交 直线 AM 与直线 BN 平行 直线 AM 与直线 DD1异面 直线 BN 与直线 MB1异面 其中正确结论的序号为 注 把你认为正确的结论序号都填上 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 在 ABC 中 角 A B C 的对应边分别是 a b c 满足 b2 c2 bc a2 求角 A 的大小 已知等差数列 an 的公差不为零 若 a1cosA 1 且 a2 a4 a8成等比数列 求 的前 n 项和 Sn 18 如图 四边形 ABCD 为梯形 AB CD PD 平面 ABCD BAD ADC 90 DC 2AB 2a DA E 为 BC 中点 1 求证 平面 PBC 平面 PDE 2 线段 PC 上是否存在一点 F 使 PA 平面 BDF 若有 请找出具体位置 并进行证明 若无 请分析说明理由 19 在中学生综合素质评价某个维度的测评中 分 优秀 合格 尚待改进 三个等级进行 学生互评 某校 2014 2015 学年高一年级有男生 500 人 女生 400 人 为了了解性别对该 维度测评结果的影响 采用分层抽样方法从 2014 2015 学年高一年级抽取了 45 名学生的测 评结果 并作出频数统计表如下 表 1 男生 等级优秀合格尚待改进 频数15x5 表 2 女生 等级优秀合格尚待改进 频数153y 1 从表二的非优秀学生中随机选取 2 人交谈 求所选 2 人中恰有 1 人测评等级为合格的 概率 2 从表二中统计数据填写下边 2 2 列联表 并判断是否有 90 的把握认为 测评结果优 秀与性别有关 男生女生总计 优秀 非优秀 总计 参考数据与公式 K2 其中 n a b c d 临界值表 P K2 k0 0 100 050 01 k02 7063 8416 635 20 已知椭圆 C a b 0 的右焦点 F1与抛物线 y2 4x 的焦点重合 原点到 过点 A a 0 B 0 b 的直线的距离是 求椭圆 C 的方程 设动直线 l kx m 与椭圆 C 有且只有一个公共点 P 过 F1作 PF1的垂线与直线 l 交 于点 Q 求证 点 Q 在定直线上 并求出定直线的方程 21 已知函数 f x x2 ax alnx a R 1 若函数 f x 在 x 1 处取得极值 求 a 的值 2 在 1 的条件下 求证 f x 4x 3 当 x B 0 C 0 D 1 考点 函数的定义域及其求法 专题 函数的性质及应用 分析 根据函数 f x 的解析式 列出不等式 求出解集即可 解答 解 函数 f x lg 1 2x 0 即 1 2x 1 解得 x 0 f x 的定义域为 0 故选 A 点评 本题考查了根据函数的解析式 求函数定义域的问题 是基础题目 2 复数的共轭复数是 A 1 2iB 1 2iC 1 2iD 1 2i 考点 复数代数形式的乘除运算 复数的基本概念 专题 计算题 分析 首先进行复数的除法运算 分子和分母同乘以分母的共轭复数 得到 a bi 的形式 根据复数的共轭复数的特点得到结果 解答 解 因为 所以其共轭复数为 1 2i 故选 B 点评 本题主要考查复数的除法运算以及共轭复数知识 本题解题的关键是先做出复数的 除法运算 得到复数的代数形式的标准形式 本题是一个基础题 3 已知向量 1 2 1 若 则实数 的值为 A 1B 2C 1D 2 考点 平面向量数量积的运算 专题 平面向量及应用 分析 先根据已知条件得到 带入向量的坐标 然后根据向量 坐标求其长度并带入即可 解答 解 由得 带入向量的坐标便得到 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 4 4 解得 1 故选 C 点评 考查向量坐标的加法与减法运算 根据向量的坐标能求其长度 4 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 a4 9 a6 11 则 S9等于 A 180B 90C 72D 10 考点 等差数列的前 n 项和 等差数列的性质 专题 计算题 分析 由 a4 9 a6 11 利用等差数列的性质可得 a1 a9 a4 a6 20 代入等差数列的前 n 项 和公式可求 解答 解 a4 9 a6 11 由等差数列的性质可得 a1 a9 a4 a6 20 故选 B 点评 本题主要考查了等差数列的性质若 m n p q 则 am an ap aq和数列的求和 解题 的关键是利用了等差数列的性质 利用性质可以简化运算 减少计算量 5 已知双曲线 1 a 0 b 0 的离心率为 则双曲线的渐近线方程为 A y 2xB y xC y xD y x 考点 双曲线的简单性质 专题 计算题 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 运用离心率公式 再由双曲线的 a b c 的关系 可得 a b 的关系 再由渐近线方 程即可得到 解答 解 由双曲线的离心率为 则 e 即 c a b a 由双曲线的渐近线方程为 y x 即有 y x 故选 D 点评 本题考查双曲线的方程和性质 考查离心率公式和渐近线方程的求法 属于基础 题 6 下列命题正确的个数是 A 在三角形 ABC 中 若 sinA sinB 则 A B 的逆命题是真命题 B 命题 p x 2 或 y 3 命题 q x y 5 则 p 是 q 的必要不充分条件 C x R x3 x2 1 0 的否定是 x R x3 x2 1 0 D 若 a b 则 2a 2b 1 的否命题为 若 a b 则 2a 2b 1 A 1B 2C 3D 4 考点 命题的真假判断与应用 专题 简易逻辑 分析 A 项根据正弦定理以及四种命题之间的关系即可判断 B 项根据必要不充分条件的概念即可判断该命题是否正确 C 项根据全称命题和存在性命题的否定的判断 D 项写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论 解答 解 对于 A 项 在 ABC 中 若 sinA sinB 则 A B 的逆命题为 在 ABC 中 若 A B 则 sinA sinB 若 A B 则 a b 根据正弦定理可知 sinA sinB 逆命题是真命题 A 正确 对于 B 项 由 x 2 或 y 3 得不到 x y 5 比如 x 1 y 4 x y 5 p 不是 q 的充分条 件 若 x y 5 则一定有 x 2 且 y 3 即能得到 x 2 或 y 3 p 是 q 的必要条件 p 是 q 的必要不充分条件 所以 B 正确 对于 C 项 x R x3 x2 1 0 的否定是 x R x3 x2 1 0 所以 C 不对 对于 D 项 若 a b 则 2a 2b 1 的否命题为 若 a b 则 2a 2b 1 所以 D 正确 故选 C 点评 本题主要考查各种命题的真假判断 涉及的知识点较多 综合性较强 7 已知某几何体的三视图如图所示 则这个几何体的外接球的表面积等于 A B 16 C 8 D 考点 由三视图求面积 体积 专题 空间位置关系与距离 分析 由三视图知 几何体是一个正三棱柱 三棱柱的底面是一边长为 2 的正三角形 侧 棱长是 2 先求出其外接球的半径 再根据球的表面公式即可做出结果 解答 解 由三视图知 几何体是一个正三棱柱 三棱柱的底面是边长为 2 的正三角形 侧棱长是 2 如图 设 O 是外接球的球心 O 在底面上的射影是 D 且 D 是底面三角形的重心 AD 的 长是底面三角形高的三分之二 AD 在直角三角形 OAD 中 AD OD 1 OA 则这个几何体的外接球的表面积 4 OA2 4 故选 D 点评 本题考查由三视图求几何体的表面积 本题是一个基础题 题目中包含的三视图比 较简单 几何体的外接球的表面积做起来也非常容易 这是一个易得分题目 8 按如图所示的程序框图运行后 输出的结果是 63 则判断框中的整数 M 的值是 A 5B 6C 7D 8 考点 程序框图 专题 算法和程序框图 分析 根据题意 模拟程序框图的运行过程 得出 S 计算了 5 次 从而得出整数 M 的值 解答 解 根据题意 模拟程序框图运行过程 计算 S 2 1 1 2 3 1 2 7 1 2 15 1 2 31 1 当输出的 S 是 63 时 程序运行了 5 次 判断框中的整数 M 6 故选 B 点评 本题考查了程序框图的运行结果的问题 解题时应模拟程序框图的运行过程 以便 得出正确的结论 9 已知函数 f x 2x 若存在满足 0 x0 3 的实数 x0 使得曲线 y f x 在 点 x0 f x0 处的切线与直线 x my 10 0 垂直 则实数 m 的取值范围是 三分之一前 有一个负号 A C D 考点 利用导数研究曲线上某点切线方程 直线的一般式方程与直线的垂直关系 专题 导数的概念及应用 直线与圆 分析 求出函数的导数 求出切线的斜率 再由两直线垂直斜率之积为 1 得到 4x0 x02 2 m 再由二次函数求出最值即可 解答 解 函数 f x 2x 的导数为 f x x2 4x 2 曲线 f x 在点 x0 f x0 处的切线斜率为 4x0 x02 2 由于切线垂直于直线 x my 10 0 则有 4x0 x02 2 m 由于 0 x0 3 由 4x0 x02 2 x0 2 2 6 对称轴为 x0 2 当且仅当 x0 2 取得最大值 6 当 x0 0 时 取得最小值 2 故 m 的取值范围是 故选 C 点评 本题考查导数的几何意义 曲线在某点处的切线的斜率 考查两直线垂直的条件和 二次函数最值的求法 属于中档题 10 若直线 2ax by 2 0 a 0 b 0 恰好平分圆 x2 y2 2x 4y 1 0 的面积 则的最 小值 A B C 2D 4 考点 直线与圆的位置关系 基本不等式 专题 计算题 直线与圆 分析 根据题意 直线 2ax by 2 0 经过已知圆的圆心 可得 a b 1 由此代换得 a b 2 再结合基本不等式求最值 可得的最小值 解答 解 直线 2ax by 2 0 a 0 b 0 恰好平分圆 x2 y2 2x 4y 1 0 的面积 圆 x2 y2 2x 4y 1 0 的圆心 1 2 在直线上 可得 2a 2b 2 0 即 a b 1 因此 a b 2 a 0 b 0 2 2 当且仅当 a b 时等号成立 由此可得的最小值为 2 2 4 故答案为 D 点评 本题给出直线平分圆面积 求与之有关的一个最小值 着重考查了利用基本不等式 求最值和直线与圆位置关系等知识 属于中档题 11 设不等式组表示的区域为 1 不等式 x2 y2 1 表示的平面区域为 2 若 1与 2有且只有一个公共点 则 m 等于 A B C D 考点 简单线性规划 专题 不等式的解法及应用 分析 作出不等式组对应的平面区域 利用 1与 2有且只有一个公共点 确定直线的位 置即可得到结论 解答 解 1 作出不等式组对应的平面区域 若 1与 2有且只有一个公共点 则圆心 O 到直线 mx y 2 0 的距离 d 1 即 d 1 即 m2 3 解得 m 故选 C 点评 本题主要考查线性规划的应用 利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键 利用 数形结合是解决本题的基本数学思想 12 已知函数 f x sin x 在上有两个零点 则实数 m 的取值范围为 A B D 考点 函数零点的判定定理 专题 函数的性质及应用 分析 由 f x 0 得 sin x 然后求出函数 y sin x 在上的图象 利用数 形结合即可得到结论 解答 解 由 f x 0 得 sin x 作出函数 y g x sin x 在上的图象 如图 由图象可知当 x 0 时 g 0 sin 函数 g x 的最大值为 1 要使 f x 在上有两个零点 则 即 故选 B 点评 本题主要考查函数零点个数的应用 利用三角函数的图象是解决本题的关键 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 分 13 设函数 f x 则方程 f x 的解集为 1 考点 函数的零点 专题 函数的性质及应用 分析 结合指数函数和对数函数的性质 解方程即可 解答 解 若 x 0 由 f x 得 f x 2x 2 1 解得 x 1 若 x 0 由 f x 得 f x log2x 即 log2x 由 log2x 解得 x 由 log2x 解得 x 故方程的解集为 1 故答案为 1 点评 本题主要考查分段函数的应用 利用指数函数和对数函数的性质及运算是 解决本题 的关键 14 现有 10 个数 它们能构成一个以 1 为首项 3 为公比的等比数列 若从这 10 个数中 随机抽取一个数 则它小于 8 的概率是 考点 等比数列的性质 古典概型及其概率计算公式 专题 等差数列与等比数列 概率与统计 分析 先由题意写出成等比数列的 10 个数为 然后找出小于 8 的项的个数 代入古典概论 的计算公式即可求解 解答 解 由题意成等比数列的 10 个数为 1 3 3 2 3 3 3 9 其中小于 8 的项有 1 3 3 3 3 5 3 7 3 9共 6 个数 这 10 个数中随机抽取一个数 则它小于 8 的概率是 P 故答案为 点评 本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用 属于基础试题 15 若点 P cos sin 在直线 y 2x 上 则的值等于 考点 二倍角的余弦 运用诱导公式化简求值 专题 三角函数的求值 分析 把点 P 代入直线方程求得 tan 的值 原式利用诱导公式化简后 再利用万能公式化 简 把 tan 的值代入即可 解答 解 点 P cos sin 在直线 y 2x 上 sin 2cos 即 tan 2 则 cos 2 sin2 故答案为 点评 此题考查了二倍角的余弦函数公式 以及运用诱导公式化简求值 熟练掌握公式是 解本题的关键 16 16 如图 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 M N 分别是棱 C1D1 C1C 的中点 以下 四个结论 直线 AM 与直线 CC1相交 直线 AM 与直线 BN 平行 直线 AM 与直线 DD1异面 直线 BN 与直线 MB1异面 其中正确结论的序号为 注 把你认为正确的结论序号都填上 考点 棱柱的结构特征 异面直线的判定 专题 计算题 压轴题 分析 利用两条直线是异面直线的判断方法来验证 的正误 要证明两条直线平 行 从图形上发现这两条直线也是异面关系 得到结论 解答 解 直线 CC1在平面 CC1D1D 上 而 M 平面 CC1D1D A 平面 CC1D1D 直线 AM 与直线 CC1异面 故 不正确 直线 AM 与直线 BN 异面 故 不正确 直线 AM 与直线 DD1既不相交又不平行 直线 AM 与直线 DD1异面 故 正确 利用 的方法验证直线 BN 与直线 MB1异面 故 正确 总上可知有两个命题是正确的 故答案为 点评 本题考查异面直线的判定方法 考查两条直线的位置关系 两条直线有三种位置关 系 异面 相交或平行 注意判断经常出错的一个说法 两条直线没有交点 则这两条直 线平行 这种说法是错误的 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 在 ABC 中 角 A B C 的对应边分别是 a b c 满足 b2 c2 bc a2 求角 A 的大小 已知等差数列 an 的公差不为零 若 a1cosA 1 且 a2 a4 a8成等比数列 求 的前 n 项和 Sn 考点 数列的求和 等比数列的性质 余弦定理 专题 等差数列与等比数列 分析 由已知条件推导出 所以 cosA 由此能求出 A 由已知条件推导出 a1 3d 2 a1 d a1 7d 且 d 0 由此能求出 an 2n 从而 得以 进而能求出 的前 n 项和 Sn 解答 解 b2 c2 a2 bc cosA A 0 A 设 an 的公差为 d a1cosA 1 且 a2 a4 a8成等比数列 a1 2 且 a2 a8 a1 3d 2 a1 d a1 7d 且 d 0 解得 d 2 an 2n Sn 1 1 点评 本题考查角的大小的求法 考查数列的前 n 项和的求法 是中档题 解题时要认真 审题 注意裂项求和法的合理运用 18 如图 四边形 ABCD 为梯形 AB CD PD 平面 ABCD BAD ADC 90 DC 2AB 2a DA E 为 BC 中点 1 求证 平面 PBC 平面 PDE 2 线段 PC 上是否存在一点 F 使 PA 平面 BDF 若有 请找出具体位置 并进行证明 若无 请分析说明理由 考点 平面与平面垂直的判定 直线与平面平行的判定 专题 空间位置关系与距离 分析 1 连接 BD 便可得到 BD DC 而 E 又是 BC 中点 从而得到 BC DE 而由 PD 平面 ABCD 便可得到 BC PD 从而得出 BC 平面 PDE 根据面面垂直的判定定理即 可得出平面 PBC 平面 PDE 2 连接 AC 交 BD 于 O 根据相似三角形的比例关系即可得到 AO 从而在 PC 上找 F 使得 PF 连接 OF 从而可说明 PA 平面 BDF 这样即找到了满足条件的 F 点 解答 解 1 证明 连结 BD BAD 90 BD DC 2a E 为 BC 中点 BC DE 又 PD 平面 ABCD BC 平面 ABCD BC PD DE PD D BC 平面 PDE BC 平面 PBC 平面 PBC 平面 PDE 2 如上图 连结 AC 交 BD 于 O 点 则 AOB COD DC 2AB 在 PC 上取 F 使 连接 OF 则 OF PA 而 OF 平面 BDF PA 平面 BDF PA 平面 BDF 点评 考查直角三角形边的关系 等腰三角形中线也是高线 以及线面垂直的性质 线面 垂直的判定定理 相似三角形边的比例关系 线面平行的判定定理 19 在中学生综合素质评价某个维度的测评中 分 优秀 合格 尚待改进 三个等级进行 学生互评 某校 2014 2015 学年高一年级有男生 500 人 女生 400 人 为了了解性别对该 维度测评结果的影响 采用分层抽样方法从 2014 2015 学年高一年级抽取了 45 名学生的测 评结果 并作出频数统计表如下 表 1 男生 等级优秀合格尚待改进 频数15x5 表 2 女生 等级优秀合格尚待改进 频数153y 1 从表二的非优秀学生中随机选取 2 人交谈 求所选 2 人中恰有 1 人测评等级为合格的 概率 2 从表二中统计数据填写下边 2 2 列联表 并判断是否有 90 的把握认为 测评结果优 秀与性别有关 男生女生总计 优秀 非优秀 总计 参考数据与公式 K2 其中 n a b c d 临界值表 P K2 k0 0 100 050 01 k02 7063 8416 635 考点 独立性检验 专题 概率与统计 分析 1 根据分层抽样 求出 x 与 y 得到表 2 中非优秀学生共 5 人 从这 5 人中任选 2 人的所有可能结果共 10 种 其中恰有 1 人测评等级为合格的情况共 6 种 所以概率为 2 根据 1 0 9 0 1 P K2 2 706 1 125 2 706 判断 出没有 90 的把握认为 测评结果优秀与性别有关 解答 解 1 设从 2014 2015 学年高一年级男生中抽出 m 人 则 m 25 x 25 15 5 5 y 20 18 2 表 2 中非优秀学生共 5 人 记测评等级为合格的 3 人为 a b c 尚待改进的 2 人为 A B 则从这 5 人中任选 2 人的所有可能结果为 a b a c a A a B b c b A b B c A c B A B 共 10 种 记事件 C 表示 从表二的非优秀学生 5 人中随机选取 2 人 恰有 1 人测评等级为合格 则 C 的结果为 a A a B b A b B c A c B 共 6 种 P C 故所求概率为 2 男生女生总计 优秀151530 非优秀10515 总计252045 1 0 9 0 1 P K2 2 706 1 125 2 706 没有 90 的把握认为 测评结果优秀与性别有关 点评 本题考查了古典概率模型的概率公式 独立性检验 属于中档题 20 已知椭圆 C a b 0 的右焦点 F1与抛物线 y2 4x 的焦点重合 原点到 过点 A a 0 B 0 b 的直线的距离是 求椭圆 C 的方程 设动直线 l kx m 与椭圆 C 有且只有一个公共点 P 过 F1作 PF1的垂线与直线 l 交 于点 Q 求证 点 Q 在定直线上 并求出定直线的方程 考点 直线与圆锥曲线的关系 椭圆的标准方程 专题 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 由抛物线的焦点坐标求得 c 1 结合隐含条件得到 a2 b2 1 再由点到直线的 距离公式得到关于 a b 的另一关系式 联立方程组求得 a b 的值 则椭圆方程可求 联立直线方程和椭圆方程 消去 y 得到 4k2 3 x2 8kmx 4m2 12 0 由判别式等 于 0 整理得到 4k2 m2 3 0 代入 4k2 3 x2 8kmx 4m2 12 0 求得 P 的坐标 然后写出直 线 F1Q 方程为 联立方程组 求得 x 4 即说明点 Q 在定直