数学建模-新产品销量预测问题(1)

销量预测问题 一 摘要 本文通过建立微分方程模型 探讨了新产品进入市场后销售量变化的情况 模型由简单到复杂 由理想到现实 逐步利用广告对市场的限制探讨了产品销 售量变化的情况 分析了广告费用对销售量产生的影响 建立比较符合现实的 模型 问题一中 新产品的投入 没有市场竞争 有良好的市场环境 也有良好 的口碑 故属于较为简单的微分方程模型 可直接建立模型 问题二中 产品销售存在一定的市场容量N 统计表明与该产品的潜在 dt dx 容量成正比 故建立阻滞增长模型求解 txN 问题三中 则考虑了广告费用对产品销量的影响 分析了广告费用与销售 速率之间的关系 建立数学微分方程模型 并运用了 Matlab 软件编程求解 二 问题提出 一种新产品问世 经营者自然要关心产品的卖出情况 如何采取有效措施 使得产品销量大 获取更大的利润 这是每个经营者最为关注的问题 1 设 t 时刻产品销量的增长率与成正比 预测 时的产品销量 dx dt tx t tx 2 设考虑到产品销售存在一定的市场容量 N 统计表明与该产品的潜 dt dx 在容量成正比 预测 时的产品销量 txN t tx 3 试考虑影响产品销量的广告因素 并建立模型 预测 时的产品销量t tx 三 模型假设与符号系统 模型假设 模型假设 模型基本假设 假设 1 在考虑影响商品销售的因素时 不考虑偶然因素 如经济 战争 因素 政治干预等 假设 2 产品的销售量符合产品的生命周期 假设 3 产品为日常用品 不是耐用品 每个人都需要 符号系统 符号系统 x t 为 t 时刻新产品的销售量 a 为每件新产品的宣传效率 N 为市场的销售容量 b 为产品销售量的增长率与潜在容量的比例系数 s t 为商品 t 时刻的销售量 即新产品在此时刻一段时间的销售量 如七月 份 八月份的销售量 而不是总销售量 M t 为 t 时刻的广告费用 为销售量本身的衰减系数 为广告宣传对销售速率的影响 T 为商品销售速率最大的时刻 四 模型的建立与求解 问题一模型的建立与求解 问题一模型的建立与求解 模型的建立 t 时刻时 新产品的销售量为 x t 把 x t 当做连续 可微函数处理 每件新产品都是宣传品 且单位时间内每件新产品能够使 a 件新产品被销售 由假设可知 x t t x t ax t 即 dx ax dt 开始时有件新产品被销售 0 x x 0 0 x 整理得 0 0 dx ax dt xx 求解得 0 at x tx e 问题二模型的建立与求解 问题二模型的建立与求解 模型的建立 事实上 往往是有上界的 针对模型上述欠缺 我们来修改 tx 模型 统计表明与该产品的潜在销量成正比 且设 b 为销售量的增长率与潜 dt dx 在销售量的比例系数 则 dx b Nx t dt 用 matlab 软件求解得 1 0 bt bt N ex x t e 问题三模型的建立与求解 问题三模型的建立与求解 模型的建立 与实际情况比较 所得结果与真实销售量的增长情况比较相符 然而事实上 厂家在产品销售之初 往往是通过广告 宣传等各种方式来推销 其产品的 因此我们需要做一下在广告干预下的模型 另由图像分析可知 商品的销售速度与广告费用成正比 即 ds M t dt 但是在市场趋于饱和 销售量趋于极限值 N 时 销售速度将会下降 广告 作用下降 当 s t 趋近于 N 广告作用趋近于零 产品生命周期一般分为四个阶段 引入期 指新产品投入市场的初期阶段 也叫投入期 因这一阶段 用户对产 品不太了解 需要做大量的广告宣传工作 向用户推荐介绍产品 所以这一时 期也叫做介绍期 成长期 市场销售量迅速增长的阶段 成熟期 销售量很大 而且稳定 增减幅度不大 销售量最高点也是在这一时 期 衰退期 产品已经陈旧老化 销售量下降很快 由产品的生命周期可知 自然衰退是商品销售速度的一种性质 即产品销售速 度随销售量的增加而下降 1 dss t dtN 由于商品本质属性中销售衰减期的存在 所以我们建立模型如下 1 ds ts t M ts t dtN 特别 M t 0 s t N 时 得到 ds t s t dt 若 M t 复杂 则方程难以解出 考虑到销售速度与广告宣传的关系 当 销售进行到一定时刻 无论如何做广告 销售速度都将下降 故设广告总费用 为 m 为讨论方便 设在 T 时间内做广告且取 M t m T 即取广告策略为 0 0 m tT M tT tT 相当于在开始到 T 时间内 平均投入广告费用 时间 T 后不再作广告 代入方程 当 0 t T 时 1 ds tms t s t dtTN mm s t TTM 0 t