高中数列经典习题(含答案)

1 在等差数列 an 中 a1 250 公差 d 2 求同时满足下列条件的所有 an的和 1 70 n 200 2 n 能被 7 整除 2 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 a3 12 S12 0 S13 0 求公差 d 的取值范围 指出 S1 S2 S12 中哪一个值最大 并说明理由 3 数列 是首项为 23 公差为整数的等差数列 且前 6 项为正 从第 7 项开始变为负 n a 的 回答下列各问 1 求此等差数列的公差 d 2 设前 n 项和为 求的最大值 3 当 n S n S 是正数时 求 n 的最大值 n S 4 设数列 的前 n 项和 已知首项 a1 3 且 2 试求此数列的通项公式 n a n S 1 n S n S 1 n a 及前 n 项和 n a n S 5 已知数列 的前 n 项和n n 1 n 2 试求数列 的前 n 项和 n a 3 1 n S n a 1 6 已知数列 是等差数列 其中每一项及公差 d 均不为零 设 n a 0 i 1 2 3 是关于 x 的一组方程 回答 1 求所有这些方程的公共根 21 2 2 iii axaxa 2 设这些方程的另一个根为 求证 也成等差数列 i m 1 1 1 m1 1 2 m1 1 3 m1 1 n m 7 如果数列 中 相邻两项和是二次方程 0 n 1 2 3 的两个根 n a n a 1 n a nnn cnxx 3 2 当 a1 2 时 试求 c100的值 8 有两个无穷的等比数列 和 它们的公比的绝对值都小于 1 它们的各项和分别是 n a n a 1 和 2 并且对于一切自然数 n 都有 试求这两个数列的首项和公比 1 n a 9 有两个各项都是正数的数列 如果 a1 1 b1 2 a2 3 且 成等差数列 n a n b n a n b 1 n a 成等比数列 试求这两个数列的通项公式 n b 1 n a 1 n b 10 若等差数列 log2xn 的第 m 项等于 n 第 n 项等于 m 其中 m n 求数列 xn 的前 m n 项的和 11 设 an 为等差数列 bn 为等比数列 且 a1 b1 1 a2 a4 b3 b2b4 a3分别求出 an 及 bn 的 前 10 项的和 S10及 T10 12 已知等差数列 an 的前项和为 Sn 且 S13 S6 S14 a2 24 1 求公差 d 的取值范围 2 问数列 Sn 是否成存在最大项 若存在求 出最大时的 n 若 不存在 请说明理由 13 设首项为正数的等比数列 它的前 n 项和为 80 前 2n 项的为 6560 且前 n 项中数值 最大的项为 54 求此数列的首项和公比 14 设正项数列 an 的前 n 项和为 Sn 且存在正数 t 使得对所有正整数 n t 与 an的等差 中项和 t 与 Sn的等比中项相等 求证数列 为等差数列 并求 an 通项公式及前 n 项 n S 和 15 已知数列是公差不为零的等差数列 数列是公比为的等比数列 且 n a n b aq 17 5 1 321 bbb 求的值 q 求数列前项和 n bn 16 若 a b c 成等差数列 且 a 1 b c 与 a b c 2 都成等比数列 求 b 的 值 答案 1 解 a1 250 d 2 an 250 2 n 1 2n 252 同时满足 70 n 200 n 能被 7 整除的 an构成一个新的等差数列 bn b1 a70 112 b2 a77 98 bn a196 140 其公差 d 98 112 14 由 140 112 n 1 14 解得 n 19 bn 的前 19 项之和 26614 2 1819 112 19 S 2 解 依题意 有 0 2 112 12 12 112 daS 即0 2 113 13 13 113 daS 2 06 1 0112 1 1 da da 由 a3 12 得 a1 12 2d 3 将 3 式分别代入 1 2 式 得 03 0724 d d 3 7 24 d 由 d 0 可知 a1 a2 a3 a12 a13 因此 若在 1 n 12 中存在自然数 n 使得 an 0 an 1 0 则 Sn就是 S1 S2 S12中的最大值 由于 S12 6 a6 a7 0 S13 13a7 0 即 a6 a7 0 a7 0 由此得 a6 a7 0 因为 a6 0 a7 0 故在 S1 S2 S12中 S6的值最大 3 1 由 a6 23 5d 0 和 a7 23 6d 0 得公差 d 4 2 由 a6 0 a7 0 S6最大 S6 8 3 由 a1 23 d 4 则 n 50 4n 设 0 得 n 12 5 整数 n 的最大值为 12 n S 2 1 n S 4 a1 3 S1 a1 3 在 Sn 1 Sn 2an 1中 设 n 1 有 S2 S1 2a2 而 S2 a1 a2 即 a1 a2 a1 2a2 a2 6 由 Sn 1 Sn 2an 1 1 Sn 2 Sn 1 2an 2 2 2 1 得 Sn 2 Sn 1 2an 2 2an 1 an 1 an 2 2an 2 2an 1 即 an 2 3an 1 此数列从第 2 项开始成等比数列 公比 q 3 an的通项公式 an 2 32 1 3 1 时当 时当 n n n 此数列的前 n 项和为 Sn 3 2 3 2 32 2 3n 1 3 3n 13 13 32 1 n 5 n n 1 n 2 n 1 n n 1 n n 1 当 n 1 时 n a n S 1 n S 3 1 3 1 a1 2 S1 1 1 1 2 1 2 a1 S1 则 n n 1 是此数列的通项公式 3 1 n a 1 11 3 1 2 1 2 1 1 1 1 43 1 32 1 21 1111 21 nnnnaaa n 1 1 1 n1 n n 6 1 设公共根为 p 则 则 02 21 2 iii apapa02 32 2 1 iii apapa 得 dp2 2dp d 0 d 0 为公差 p 1 2 0 p 1 是公共根 直接观察也可以看出公共根为 1 2 另一个根为 则 1 1 即 i m i m ii i a d a a2 2 2 1 i m i a d2 易于证明 是以 为公差的等差数列 d a m i i 21 1 1 1 i m2 1 7 解由根与系数关系 3n 则 3 即 n a 1 n a 1 n a 2 n a n a 1 n a 3 a1 a3 a5 和 a2 a4 a6 都是公差为 3 的等差数列 由 2 n a n a a1 2 a1 a2 3 a2 5 则 3k 2 a100 152 3k 5 a101 148 c100 k a2 12 k a a100 a101 22496 8 设首项分别为 a 和 b 公比 q 和 r 则有 依据题设条件 有 1 2 1 1 rq q a 1r b 1 由上面的 可得 1 q 2 2 1 r 令 n 1 有 1 q 1 2 1 nn braq 22 n q 1 n r 2 2 1 r 设 n 2 则有 1 q 2q2 2 1 r r 由 和 可得 q2 r 代入 得 1 q 2 2 1 q2 由于 q 1 有 q r 因此可得 a 1 q b 2 1 r 3 1 9 1 3 4 9 16 和经检验 满足的要求 3 1 3 4 q a 9 1 9 16 r b nn ba 2 9 依据题设条件 有由此可得 11 1 2 1 nnn nnn bba aab 2 1 11 nnnnn bbbbb 0 则 2 是等差数列 2 1 11 nnn bbb n b 11 nnn bbb n b n b 2 1 2 n 又 2 2 1 2 n bba nnn 2 1 2 n 2 2 1 nn n a 1 2 1 nn 10 2m n 1 11 解 设 an 的公差为 d bn 的公比为 q 则 解得 4 2 21 21 2 qd qd 2 2 8 3 qd 32 22 31 1 1 8 55 4510 10 110110 q q bTdaS 12 解 1 由题意 0 4 07 11101487614 101387613 aaaaaSS aaaaSS 17 48 3 0172 08 2 2 d da da 2 由 1 知 a10 0 a10 a11 0 a10 0 a11 又公差小于零 数列 an 递减 所以 an 的前 10 项为正 从第 11 项起为负 加完正项达最大值 n 10 时 Sn最大 13 解 设该等比数列为 an 且公比为 q 若 q 1 则 Sn na1 S2n 2na1 与题意不符 故 q 1 两式相除 得 1 qn 82 qn 81 6560 1 1 80 1 1 2 12 1 q q aS q q aS n n n n 1 1 1 q a q a1 1 1 数列 an 为递增数列 前 n 项中最大的项为 an a1qn 1 5481 1 q a 解得 a1 2 q 3 14 证明 由题意 即 n n tS at 2 nn attS 2 当 n 1 时 tStSStattS 1 2 1111 0 2 当 n 2 时 0 2 2 1 2 1 nnnnnn StSSStattS 0 11 tSStSS nnnn 因为 an 为正项数列 故 Sn递增 不能对正整数 n 恒成立 0 1 tSS nn 即数列 为等差数列 公差为tSS nn 1n St 2 1 1 tnStntnSS nn tnanttSta nnn 12 22 所以数列 为等差数列 an 通项公式为 an 2n 1 t 及前 n