高中数学必修四导学案

1 高中数学 必修四 导学案 班级 姓名 第一章第一章 三角函数三角函数 1 1 1 任意角任意角 学习目标学习目标 1 了解任意角的概念 正确理解正角 零角 负角的概念 2 正确理解终边相同的角的概念 并能判断其为第几象限角 熟悉掌握终边相同的角的集合 表示 学习重点 难点学习重点 难点 用集合与符号语言正确表示终边相同的角 自主学习自主学习 一 复习引入一 复习引入 问题 1 回忆初中我们是如何定义一个角的 所学的角的范围是什么 问题 2 在体操 跳水中 有 转体 这样的动作名词 这里的 怎么刻画 0 720 0 720 二 建构数学二 建构数学 1 角的概念 角的概念 角可以看成平面内一条 绕着它的 从一个位置 到另一个位置所形成的图形 射线的端点称为角的 射线旋转的开始位置和终止位置称为角的 和 2 2 角的分类 角的分类 按 方向旋转形成的角叫做正角 按顺时针方向旋转形成的角叫做 如果一条射线没有作任何旋转 我们称它形成了一个 它的 和 重合 这样 我们就把角的概念推广到了 包括 和 3 3 终边相同的角终边相同的角 所有与角 终边相同的角 连同角 在内 可构成一个集合 2 即任一与角 终边相同的角 都可以表示成 4 4 象限角 轴线角的概念 象限角 轴线角的概念 我们常在 直角坐标系 内讨论角 为了讨论问题的方便 使角的 与 重合 角的 与 重合 那么 角的 除端点外 落在第 几象限 我们就说这个角是 如果角的终边落在坐标轴上 则称这个角为 象限角的集合象限角的集合 1 第一象限角的集合 2 第二象限角的集合 3 第三象限角的集合 4 第四象限角的集合 轴线角的集合轴线角的集合 1 终边在轴正半轴的角的集合 x 2 终边在轴负半轴的角的集合 x 3 终边在轴正半轴的角的集合 y 4 终边在轴负半轴的角的集合 y 5 终边在轴上的角的集合 x 6 终边在轴上的角的集合 y 7 终边在坐标轴上的角的集合 三 课前练习三 课前练习 在同一直角坐标系中画出下列各角 并说出这个角是第几象限角 000000 30 150 60 390 390 120 典型例题典型例题 例 1 1 钟表经过 10 分钟 时针和分针分别转了多少度 2 若将钟表拨慢了 10 分钟 则时针和分针分别转了多少度 3 例 2 在的范围内 找出与下列各角终边相同的角 并分别判断它们是第几象限角 00 3600 到 1 2 3 4 0 650 0 150 0 240 015 990 例 3 已知角的终边相同 判断是第几象限角 0 240与 2 例 4 写出终边落在第一 三象限的角的集合 例 5 写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合 包括边界 1 2 3 拓展延伸拓展延伸 已知角是第二象限角 试判断为第几象限角 2 巩固练习巩固练习 1 设 则与角终边相同的角的集合可以表示为 0 60 2 把下列各角化成的形式 并指出它们是第几象限的角 3600 360 000 Zkk 1 2 3 4 0 1200 0 55 0 1563 0 1590 3 终边在轴上的角的集合 终边在直线上的角的集合yxy 终边在四个象限角平分线上的角的集合 4 终边在角终边的反向延长线上的角的集合 0 30 5 若角的终边与角的终边关于原点对称 则 0 45a 4 若角的终边关于直线对称 且 则 0 yx 0 60 b 6 集合 3690 00 ZkkA 则 180180 00 BAB 7 若是第一象限角 则的终边在 2 8 1 与终边相同的最小正角是 30350 2 与终边相同的最大负角是 0 715 3 与终边相同且绝对值最小的角是 0 1000 4 与终边相同且绝对值最小的角是 0 1778 9 与终边相同的在之间的角为 0 15 00 3601080 10 已知角的终边相同 则的终边在 11 若是第四象限角 则是第 象限角 是第 象限角 0 180 0 180 12 若集合 9018030180 0000 ZkkkA 集合 4536045360 0000 ZkkkB 则 BA 13 已知集合 锐角 M 90 0的角 小于 N 第一象限的角 P 1 2 3 4 NP MPN PM PNM 其中正确的是 14 角小于而大于 它的 7 倍角的终边又与自身终边重合 求角 0 180 0 180 15 已知与角的终边相同 分别判断是第几象限角 0 60 2 2 5 高中数学 必修四 导学案 班级 姓名 1 1 2 弧度制弧度制 学习目标学习目标 1 理解弧度制的意义 能正确地进行弧度与角度的换算 熟记特殊角的弧度数 2 掌握弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式 会利用弧度制解决某些简单的实际问题 3 了解角的集合与实数集之间可以建立起一一对应的关系 学习重点 难点学习重点 难点 弧度的概念 弧度与角度换算 自主学习自主学习 一 复习引入一 复习引入 请同学们回忆一下初中所学的的角是如何定义的 0 1 二 建构数学二 建构数学 1 度量角还可以用 为单位进行度量 叫做 1 弧度的角 用符号 表示 读作 2 2 弧度数 正角的弧度数为 负角的弧度数为 零角的弧度数为 如果半径为的圆心角所对的弧的长为 那么 角的弧度数的绝对值是 rl 这里 的正负由 决定 3 3 角度制与弧度制相互换算 360 rad 180 rad 1 rad 1 rad 4 4 角的概念推广后 在弧度制下 与 之间建立起一一对应的 关系 每个角都有唯一的一个实数 即 与它对应 反过来 每一个实数也 都有 即 与它对应 5 5 弧度制下的弧长公式和扇形面积公式 角的弧度数的绝对值 为弧长 为半径 lr 弧长公式 6 扇形面积公式 典型例题典型例题 例 1 把下列各角从弧度化为度 1 2 3 4 5 5 3 12 6 5 7 12 p11 5 p 例 2 把下列各角度化为弧度 1 2 3 4 5 0 750 0 1440 0 67 30 0 252 15110 例 3 1 已知扇形的周长为 圆心角为 求该扇形的面积 cm8rad2 2 已知扇形周长为 求扇形面积的最大值 并求此时圆心角的弧度数 cm4 变式 已知一扇形周长为 当扇形圆心角为何值时 它的面积最大 C0C 并求出最大面积 7 巩固练习巩固练习 1 特殊角的度数与弧度数的对应 度 数 弧度数 2 若角 则角的终边在第 象限 若 则角的终边在第 象限 3 6 3 圆的半径为 则rad 的圆心角所对的弧长为 扇形的面积为 102 4 将下列各角化成 的形式 并指出终边所在位置 20 2 kZk 1 2 3 4 3 19 0 315 3 22 2 23 5 用弧度制表示下列角终边的集合 1 轴线角 2 角平分线上的角 3 直线上的角xy3 6 若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长 那么该圆弧的圆心角等于 8 7 已知角的终边与角的终边相同 则在内与角的终边相同的角为 a 3 p 0 2p 3 a 8 若角和角的终边关于轴对称 则角可以用角表示为 abxab A B 2kkZpb 2kkZpb C D kkZpb kkZpb 9 若 且角的终边与角的终边垂直 则 2 4p apa 7 6 p a 10 已知集合 求 2k 21 AkkZap aa 55Baa AB 11 已知扇形的面积为 25 当扇形的圆心角为多大时 扇形的周长取得最小值 12 已知扇形的圆心角为 半径长为 求AOBa120 6 1 弧的长AB 2 弧与弦围成的弓形的面积 ABAB 9 高中数学 必修四 导学案 班级 姓名 1 2 1 任意角的三角函数 任意角的三角函数 1 学习目标学习目标 1 掌握任意角三角函数的定义 并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义 2 会用三角函数线表示任意角三角函数的值 3 掌握正弦 余弦 正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号 学习重点 难点学习重点 难点 任意角的正弦 余弦 正切的定义 自主学习自主学习 一 复习旧知 导入新课一 复习旧知 导入新课 在初中 我们已经学过锐角三角函数 角的范围已经推广 那么对任意角是否也能定义其三角函数呢 二 建构数学二 建构数学 1 在平面直角坐标系中 设点是角终边上任意一点 坐标为 它与原点的距离P P x y 一般地 我们规定 22 OPxyr 比值 叫做的正弦 记作 即 比值 叫做的余弦 记作 即 比值 叫做的正切 记作 即 2 当 时 的终边在轴上 这时点的横坐标等于 yP 所以 无意义 除此之外 对于确定的角 上面三个值都是 所以正弦 余弦 正切都是以 为自变量 以 为函数值的函数 我们将它们统称为 3 由于 与 之间可以建立一一对应关系 三角函数可以看成是 自变量为 的函数 4 其中和的定义域是 sinyx cosyx 而的定义域是 tanyx 5 根据任意角的三角函数定义将这三种函数的值在各象限的符号填入括号 10 sin cos tan y y y 6 单位圆的概念 在平面直角坐标系中 以 为圆心 以 为半径的圆 7 有向线段的概念 规定了 即规定了起点和终点 的线段称为有向线段 8 三角函数线的定义 设任意角的顶点在原点 始边与轴非负半轴重合 终边与单位圆相交于点 Ox P x y 过点作轴的垂线 垂足为 过点作单位圆的切线 设它与的终边PxM 1 0 A 当为第 象限角时 或其反向延长线 当为第 象限角时 相交于 点 根据三角函数的定义 Tsiny cosx tan y x 典型例题典型例题 例 1 已知角的终边经过点 求的正弦 余弦 正切的值 4 3P 11 变式题 已知角的终边经过点 且 求的值 6 xP 13 5 cos x 例 2 已知角的终边在直线上 求的正弦 余弦 正切的值 xy3 例 3 确定下列三角函数值的符号 1 2 12 7 cos 465sin 3 4 3 11 tan5tan4cos3sin 例 4 若两内角 满足 判断三角形的形状 ABC AB0cossin BA 例 5 作出下列各角的正弦线 余弦线 正切线 3 1 6 5 2 3 2 3 6 4 例 6 利用三角函数线比较大小 30sin1 150sin 25sin2 150sin 3 2 cos3 5 4 cos 3 2 tan4 3 tan 4 p 12 例 7 利用三角函数线求解下列三角方程 或三角不等式 2 3 sin1 x 1 2 cos 2 x 巩固练习巩固练习 1 已知角 的终边过点 P 1 2 cos的值为 2 是第四象限角 则下列数值中一定是正值的是 A sin B cos C tan D tan 1 3 填表 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 弧度 sin cos tan 4 已知角的终边过点 P 4a 3a a 0 求 2sin cos 的值 5 若点 P 3 是角终边上一点 且 求 的值 3 2 sin 6 是第二象限角 P x 为其终边上一点 且 cos x 求 sin的值 5 4 2 7 若 则比较 的大小 42 sin cos tan 13 8 利用三角函数线解不等式 tan x1 高中数学 必修四 导学案 班级 姓名 1 2 2 同角三角函数的基本关系 同角三角函数的基本关系 1 学习目标学习目标 1 掌握同角三角函数的两个基本关系式 2 能准确应用同角三角函数关系进行化简 求值 3 对于同角三角函数来说 认清什么叫 同角 学会运用整体观点看待角 4 结合三角函数值的符号问题 求三角函数值 重点难点重点难点 同角三角函数的两个基本关系式和应用 自主学习自主学习 一 数学建构 一 数学建构 同角三角函数的两个基本关系式 二 课前预习 二 课前预习 1 则的值等于 0 5 4 cos tan 2 化简 tancos 典型例题典型例题 例 1 已知 并且是第二象限角 求的值 2 1 sin tan cos 变式 已知 求的值 2 1 sin tan cos 14 例 2 已知 求的值 5 12 tan cos sin 解题回顾与反思 通过以上两个例题 你能简单归纳一下对于和的 知一求二 问题的 cos sin tan 解题方法吗 例 3 化简 1 2 2 1 sin 440 1 2sin40 cos40 3 是第二象限角 4 1 sin 1 tan 2 sin1 sin1 sin1 sin1 巩固练习巩固练习 1 已知 求和的值 4 cos 5 sin tan 2 化简 sin2 sin2 sin2sin2 cos2cos2 15 3 若为二象限角 且 那么是第几象限角 2 cos 2 sin21 2 sin 2 cos 2 高中数学 必修四 导学案 班级 姓名 1 2 2 同角三角函数的基本关系 同角三角函数的基本关系 2 学习目标学习目标 1 能用同角三角函数关系解决简单的计算 化简与证明 2 掌握 知一求二 的问题 重点难点重点难点 奇次式的处理方法和 知一求二 的问题 自主学习自主学习 一 复习回顾 一 复习回顾 1 同角三角函数的两个基本关系式 2 有何关系 用等式表示 cossin cossin cossin 二 课前练习二 课前练习 1 已知则 3 1 cossin cossin 2 若 则 15tan cos sin 典型例题典型例题 例 1 已知求下列各式的值 3tan 1 2 3 cos9sin4 cos3sin2 22 22 cos9sin4 cos3sin2 22 cos3sin2 16 例 2 求证 1 2 sin cos1 cos1 sin sintan sintan sintan sintan 例 3 已知 求的值 0 5 1 cossin tan 例 4 若 3 3 1 cos 3 1 sin k k k k k 1 求 k 的值 2 求的值 1tan 1tan 巩固练习巩固练习 1 已知sin cos 则 cos sin 的值等于 0 25 12 2 已知是第三象限角 且 则 9 5 cossin 44 cossin 3 如果角满足 那么的值是 2cossin 1 tan tan 4 若是方程的两根 则的值为 cos sin024 2 mmxxm 5 求证 1tan 1tan cossin cossin21 22 17 高中数学 必修四 导学案 班级 姓名 1 3 三角函数的诱导公式 三角函数的诱导公式 1 学习目标学习目标 1 巩固理解三角函数线知识 并能用三角函数线推导诱导公式 2 能正确运用诱导公式求出任意角的三角函数值 3 能通过公式的运用 了解未知到已知 复杂到简单的转化过程 4 准确记忆并理解诱导公式 灵活运用诱导公式求值 口诀 口诀 函数名不变 符号看象限 重点难点重点难点 诱导公式的推导与运用 自主学习自主学习 1 利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值 为角的终边与单位圆的交点 则 yxP cos sin 2 诱导公式 由三角函数定义可以知道 1 终边相同的角的同一三角函数值相等 公式一 k2 2 当角的终边与角的终边关于原点对称时 与的关系为 公式二 3 当角的终边与角的终边关于 x 轴对称时 与的关系为 公式三 18 4 当角的终边与角的终边关于 y 轴对称时 与的关系为 公式四 思考 这四组公式可以用口诀 函数名不变 符号看象限 来记忆 如何理解这一口诀 典型例题典型例题 例 1 求下列三角函数值 1 2 3 240sin 4 11 cos 1560tan 例 2 化简 1 2 180cos180sin 360sin180cos 00 020 1 2sin200 cos160 cos701 sin 20 3 cos 5sin 4sin 3 sin cos 4cos 2 22 例 3 在中 若 试判断的形状 ABC sin sin CBACBA ABC 巩固练习巩固练习 1 求下列各式的的值 1 2 3 4 31 sin 6 31 cos 945tan 0 2 若求的值 2cos 2 sin sin cos 3 2cos 5 sin 19 3 化简 3 4 cos 3 2 2sin nn 高中数学 必修四 导学案 班级 姓名 1 3 三角函数的诱导公式 三角函数的诱导公式 2 学习目标学习目标 1 能进一步运用诱导公式求出任意角的三角函数值 2 能通过公式的运用 了解未知到已知 复杂到简单的转化过程 3 进一步准确记忆并理解诱导公式 灵活运用诱导公式求值 口诀 口诀 奇变偶不变 符号看象限 重点难点重点难点 诱导公式的推导和应用 自主学习自主学习 1 复习四组诱导公式 函数名不变 符号看象限 2 已知 求的值 3tan 2sin cos 4 sin 3 cos 2 2 若角的终边与角的终边关于直线 y x 对称 如图 a 角与角的正弦函数与余弦函数值之间有何关系 b 角与角有何关系 c 由 1 2 你能发现什么结论 当角的终边与角的终边关于 y x 对称时 与的关系为 公式五 y x P M M P y x 20 由于 由公式四及公式五可得 22 pp a pa 公式六 综合所学六组公式可以用口诀 奇变偶不变 符号看象限 来帮助记忆 如何理解这一口诀 典型例题典型例题 例 1 求证 cos 2 3 sin sin 2 3 cos 例 2 化简 1 00 00 800cos260sin 440cos280sin21 2 2cos 2 3 sin 2 7 cos 2sin 2 3 sin sin 3tan 例 3 已知 且 求 3 1 75cos 90180 15cos 巩固练习巩固练习 1 1 cos cos sin 2 2 若则 5 4 540sin 0 270cos 0 3 化简 1 2 790cos250sin 430cos610sin21 tan 2 3 cos 2 sin 1 tan 1 2 21 4 已知 求的值 4 1 6 sin x xx 3 sin 6 5 sin 2 5 求值 90sin89sin3sin2sin1sin 22222 高中数学 必修四 导学案 班级 姓名 1 4 1 正弦函数 余弦函数的图象正弦函数 余弦函数的图象 学习目标学习目标 1 能借助正弦线画出正弦函数的图象 并在此基础上由平移正弦曲线的方法画出余弦函数的 图象 2 会用五点法画出正弦曲线和余弦曲线在一个周期上的草图 3 借助图象理解并运用正 余弦函数的定义域和值域 重点难点重点难点 五点法作正 余弦函数的图象 正 余弦函数的定义域和值域 预习指导预习指导 一 平移正弦线画出正弦函数的图象 1 在单位圆中 作出对应于的角及对应的正弦线 11 6 3 26 2 作出在区间上的图象 1 平移正弦线到相应的位置 2 连线sinyx 0 2 3 作出在上的图象sinyx R 二 用五点法画 出 正 余 弦 函 数 在区间上的简图 0 2 x0 2 3 2 2 sinyx cosyx 22 三 仔细观察正弦曲线和余弦曲线 总结正弦函数与余弦函数的性质 1 定义域 2 值域 对于 当且仅当 时 sinyx x max y 当且仅当 时 x min y 对于 当且仅当 时 cosyx x max y 当且仅当 时 x min y 典型例题典型例题 例 1 画出下列两组函数的简图 1 2 2cos yx xR sin2 yx xR 例 2 求下列函数的最大值及取得最大值时的自变量的集合 x 1 2 cos 3 x y 2sin2yx 例 3 1 求函数的定义域 2 求函数的值域 sin 1 cos x y x 2 7 sin4sin 4 yxx 巩固练习巩固练习 1 下列等式有可能成立吗 为什么 1 2 2cos3x 2 1 sin 2 x 2 画出下列函数的简图 1 2 sin1yx 2sinyx 3 求下列函数的最小值及取得最小值时的自变量的集合 x 1 2 2sinyx 2cos 3 x y 23 4 求下列函数的定义域 1 2 已知的定义域为 求的定义域2sin1yx yf x 1 0 4 2 sin fx 高中数学 必修四 导学案 班级 姓名 1 4 2 正弦函数 余弦函数的性质 一 正弦函数 余弦函数的性质 一 学习目标学习目标 1 理解三角函数的周期性的概念 2 理解三角函数的周期性与函数的奇偶性之间的关系 3 会求三角函数的最小正周期 提高观察 抽象的能力 重点难点重点难点 函数周期性的概念 三角函数的周期公式 一 预习指导 1 对于函数 如果存在一个 使得定义域内 的值 f xTx 都满足 那么函数叫做 叫做这个 f xT 函数的 思考 一个周期函数的周期有多少个 周期函数的图象具有什么特征 2 对于一个周期函数 如果在它所有的周期中存在一个最小的正数 那么这个最小的 f x 正数就叫做的 注 今后研究函数周期时 如果不加特别说明 一般都 f x 是指函数的最小正周期 思考 是否所有的周期函数都有最小正周期 3 及 型的三角函数的周期公式sin yAxb cos yAxb 0 0A 为 二 典型例题 例 1 若摆钟的高度 h mm 与时间 t s 之间的函数关系如图所示 1 求该函数的周期 2 求 t 10s 时摆钟的高度 24 例 2 求下列函数的周期 1 2 3 cos2yx 1 sin 2 yx 1 2sin 36 yx 例 3 若函数 其中 的最小正周期是 2sin f xx xR 0 2 且 求的值 0 3f 例 4 已知函数 满足对一切都成立 yf x xR 2 f xf x xR 求证 4 是的一个周期 f x 三 巩固练习 1 求下列函数的周期 1 2 2cos3yx sin 3 x y 2 若函数的最小正周期为 求正数的值 sin 5 f xkx 2 3 k 3 若弹簧振子对平衡位置的位移与时间之间的函数关系如图所示 x cm t s 1 求该函数的周期 2 求 10 5时弹簧振子对平衡位置的位移 ts 25 四 拓展延伸 1 已知函数 其中 当自变量在任何两整数间 包括整数本身 sin 103 kx f x 0k x 变化时 至少含有一个周期 则最小的正整数为 k 2 已知函数 求 f x xN 1 1 2 6 2 1 fff nf nf n 100 f 高中数学 必修四 导学案 班级 姓名 1 4 2 正弦函数 余弦函数的性质 二 正弦函数 余弦函数的性质 二 学习目标学习目标 1 借助正 余弦函数的图像 说出正 余弦函数的图像性质 2 掌握正 余弦函数的图像性质 并会运用性质解决有关问题 重点难点重点难点 正 余弦函数的图像与性质 一 预习指导 正弦函数与余弦函数的性质 1 定义域 2 值域 对于 当且仅当 时 sinyx x max y 当且仅当 时 x min y 对于 当且仅当 时 cosyx x max y 当且仅当 时 x min y 3 周期性 正弦函数和余弦函数都是周期函数 并且周期都是 4 奇偶性 是 其图像关于 对称 它的对称中心坐标sin yx xR 是 对称轴方程是 是 其图像关于 对称 它的对称中心坐标cos yx xR 是 对称轴方程是 5 单调性 sin yx xR 在每一个闭区间 上 是单调增函数 在每一个闭区间 上 是单调减函数 cos yx xR 在每一个闭区间 上 是单调增函数 在每一个闭区间 上 是单调减函数 二 典型例题 26 例 1 判断下列函数的奇偶性 1 2 33 sin 42 f xx 2 lg sin1 sin f xxx 3 1 sincos 1 sin xx f xxR x 例 2 比较下列各组中两个三角函数值的大小 1 2 sin250 sin260 15 cos 8 14 cos 9 例 3 求函数的单调增区间 sin 2 3 yx 思考 的单调增区间怎样求呢 sin 2 3 yx 例 4 求下列函数的对称轴 对称中心 1 2 2sin 33 x y 1 cos 3 1 26 yx 三 巩固练习 1 判断下列函数的奇偶性 1 2 sincosf xxx 2 lg 1 sinsin f xxx 2 下列函数的单调区间 1 2 sin 4 yx 3cos 2 x y 27 3 函数的值域为 2 sin 63 yxx 4 比较下列各组中两个三角函数值的大小 1 2 sin14 sin155 sin194 cos160 拓展延伸拓展延伸 求下列函数的值域 1 2 2 cos2sin2yxx 2 2sin3cos3yxx 高中数学 必修四 导学案 班级 姓名 1 4 3 正切函数的性质与图象正切函数的性质与图象 学习目标学习目标 1 能正确作出正切函数图像 2 借助图像理解正切函数的性质 重点难点重点难点 正切函数的图像与性质 三 预习指导 1 利用正切线来画出的图像 2 正切函数的图像 tan 2 2 yx x 3 定义域 4 值域 5 周期性 6 奇偶性 是 函数 其图像关于 对称 它的对称中心tanyx 为 7 单调性 正切函数在每一个开区间 上是单调增函数 思考 正切函数在整个定义域内是单调增函数吗 28 答 四 典型例题 例 1 求函数的定义域 周期和单调区间 tan 2 4 yx 例 2 已知求的最小值 xxxftan5tan 2 4 x f x 变式 已知的最小值 4 求的值 xaxxftantan 2 4 xa 例 3 已知函数的图象与轴相交于两个相邻点的坐tan 0 0 2 yAxA x 标为和且经过点 求其解析式 0 6 5 0 6 0 3 三 巩固练习 1 观察正切函数的图像 分别写出满足下列条件的的集合x 1 2 tan0 x tan1x 2 求下列函数的定义域 1 2 tan3yx tan 3 yx 3 函数的奇偶性是 tan 1 cos x y x 4 函数与的图像在上有 个交点 sinyx tanyx 1 1 29 5 求函数的值域 xy 2 tan 0 66 xx且 高中数学 必修四 导学案 班级 姓名 1 51 5 函数函数的图像 的图像 1 1 sin yAx 学习目标 1 了解函数的实际意义 sin yAx 2 弄清与函数的图像之间的关系 A sin yAx 3 会用五点法画函数的图像 sin yAx 重点难点 五点法画函数的图像sin yAx 一 预习指导 1 函数与函数图像之间的关系 sin yAx sinyx 1 函数的图像是将的图像向 平移 个单位长度而得到 Rxxy 1sinsinyx 2 函数的图像是将的图像向 平移 个单位长度得到 sin1yxxR sinyx 一般地 函数 的图像 可看作把正弦曲线上所有的点sin yx 0 xR 向 或向 平行移动 个单位长度而得到 这种变换称 0 时 0 时 为相位变换 平移交换 2 函数与函数图像之间的关系 sinyAx sinyx 1 函数的图像是将的图像上所有点的 坐标变为原来的 3sin yx xR sinyx 倍 坐标不变 而得到 2 函数 的图像是将的图像上所有点的 坐标变为原来的xysin 3 1 Rx xysin 倍 坐标不变 而得到 一般地 函数 的图像 可看作把正弦曲线上所有点的sinyAx 1 0 AARx 纵坐标变为原来的 倍 横坐标不变 而得到 这种变换关系称为 因此 的值域为 sinyAx Rx 3 函数与图像之间的关系 xy sin xysin 1 函数的图像是将函数的图像上所有点的 坐标变为原来的Rxxy 2sinxysin 倍 坐标不变 而得到 2 的图像是将函数的图像上所有点的 坐标变为原来的xy 2 1 sin Rx xysin 倍 坐标不变 而得到 一般地 函数的图象可以看作把正弦曲线上所有点的 1 0 sin wRxxy 30 横坐标变为原来的 倍 纵坐标不变 而得到的 这种变换称为 4 函数与图象之间的关系 sin xyxy sin 1 函数的图象是将函数的图象向 平移 个单位长度而得到 12sin xyxy2sin 2 函数的图象是将函数的图象向 平移 个单位长度而到 12sin xyxy2sin 一般地 函数的图象可以看作是把的图象上所有的点向左 sin xyxy sin 或向右 平移 个单位长度而得到的 二 典例分析 例 1 1 函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到 2 2sin xyxysin 2 将函数的图象上所有的点 得的xysin 3 sin xy 图象 再将的图象上的所有点 可得到 32 1 sin xy 函数 的图像 32 1 sin 2 1 xy 3 要得到的图像 只需将函数的图像 xy 2 1 sin 32 1 sin xy 4 要得到函数的图像 需将函数的图像 6 3cos xyxy3sin 5 已知函数 若将的图象上的每个点的横坐标保持不变 纵坐标变为 xfy xf 原来的 2 倍 然后将整个函数图象向上平移 2 个单位 得到曲线与的图象xysin 相同 则的解析式是 xf 例 2 要得到的图象 需要将函数的图象进行怎样的变换 xy2sin 4 2cos xy 例 3 已知函数 在一个周期内 当时 2 0 0 sin AxAy 6 x 有最大值为 2 当时 有最小值为 2 求函数表达式 并画出函数y 3 2 xy sin yAx 在一个周期内的简图 用五点法列表描点 三 巩固练习 1 将函数的图象向右平移 2 个单位 再向上平移 1 个单位后可得到函数xycos 2 已知 则的图象 2 sin xxf 2 cos xxg xf A 与 g x 图像相同 B 与 g x 图象关于y轴对称 31 C 向左平移个单位得到的图象 D 向右平移个单位得到的图象 2 xg 2 xg 3 将函数图象上每一点的纵坐标变为原来的 横坐标变为原来的 再将整 xfy 2 1 2 1 个图象沿x轴向左平移个单位 得到函数的图象 则函数 3 xysin xf 四 拓展延伸 经过怎样的变换可由函数的图象得到的图象 xy2sin 4 cos xy 高中数学 必修四 导学案 班级 姓名 1 51 5 函数函数的图像 的图像 2 2 sin yAx 学习目标 1 能由正弦函数的图象通过变换得到的图象 sin yAx 2 会根据函数图象写出解析式 3 能根据已知条件写出中的待定系数A sin yAx 重点难点 根据函数图象写出解析式 一 预习指导 表示一个振动量时 振幅为 sin yAx 0 0 0 Ax 周期为 频率为 相位为 初相为 二 典例分析 例 1 若函数表示一个振动量 3 2sin 3 xy 1 求这个振动的振幅 周期 初相 2 画出该函数的简图并说明它与sinyx 的 图 象之间的关系 3 写出函数的单调区间 例 2 已知函数 一个周期内的部分图象 sin yAx 0 0 如下图所示 求函数的一个解析式 32 例 3 已知函数cos yAx 0 0 0 A 的最小值是5 图象上 相邻两个最高点与最低点的横坐标相差 且图象经过点 求这个函数的 4 2 5 0 解析式 例 4 将函数的图象向右平移个单位 得到的图象恰好关于直线xy2sin 0 6 x 对称 求 的最小值 三 巩固练习 1 函数的图象可以看作是由函数的图象 4 3sin xyxy3sin 得到的 2 先将函数的周期扩大为原来的 2 倍 再将新函数的图象向右平移个 3 6 sin 5xy 3 单位长度 则所得图象的函数解析式为 3 若函数 sin f xAx 图象上的一个最高点是 2 2 0 0 0 A 由这个最高点到相邻最低点的一段曲线与x轴交于点 6 0 求这个函数的解析式 4 已知函数的最小正周期不大于 2 求正整数k的最小值 5 34 cos 2 x k xf 5 求函数的周期 单调区间和最大值 最小值 6 4cos 3 4sin xxy 四 拓展延伸 1 为了得到的图象 可以将函数的图象作如何变换 6 2sin 2 xyxy2cos2 33 2 已知方程有两解 试求实数a的取值范围 12 13 6 1 3 2sin 2 xax 高中数学 必修四 导学案 班级 姓名 三角函数复习与小结三角函数复习与小结 学习目标 1 掌握任意角的概念和弧度制 2 掌握任意角的三角函数 诱导公式及同角三角函数的基本关系 3 掌握三角函数的图像和性质 4 了解的实际意义 sin xAy 5 能应用三角函数解决一些简单的实际问题 体会三角函数是描写周期变化现象的重要 教学模型 重点难点 三角函数的综合应用 1 典例分析 例 1 已知角 的终边经过点 求sin cos tan 的值 0 4 3 mmmP 例 2 求下列函数的定义域 1 2 2 lgsin25yxx xytan3 34 例 3 求证 22 cossin1tan 12sincos1tan 例 4 已知关于x的方程 2 2 31 0 xxm 的两根为sin 和cos 0 2 求 1 m的值 2 方程的两根以及此时 的值 3 的值 sin1 cos cos1 sin 例 5 已知函数 sin 0 0 f xAxA 在一周期内 当时 12 x y取得最大值 3 当 时 y取得最小值3 求函数的解析式 12 7 x 例 6 设函数mxxf 6 2sin 1 写出函数 f x的周期以及单调区间 2 若时 函数 f x的最小值为 2 求当x取何值时 函数 f x取最大值 3 6 x 35 3 在 2 的条件下 怎样由cosyx 变换到 f x 二 巩固练习 1 1 若 是第四象限角 是第 象限角 2 已知 为第三象限角 则所在的象限为 2 3 若cos0 且sin20 则角 的终边在第 象限 2 若 且 为第四象限角 则 5 1 cos 2 cos 3 定义在R上的函数 f x既是偶函数又是周期函数 若 f x 得最小正周期是 且当时 则 2 0 xxxfsin 3 5 f 4 已知 2 sin cos 2 tan sin tan 3 f 1 化简 f 2 若 且 求cossin 的值 8 1 f 24 36 3 若 求 f 的值 4 47 3 拓展延伸 1 是否存在实数a 使得函数在闭区间上的 2 3 8 5 cossin 2 axaxy 2 0 最大值为 1 若存在 求出对应的a值 若不存在 请说明理由 2 设函数 sin 2 0 f xxyf x 图像的一条对称轴是直线 8 x 1 求 2 求函数 yf x 的单调递增区间 37 3 画出函数 yf x 在区间上的图像 0 高中数学 必修四 导学案 班级 姓名 第二章第二章 平面向量平面向量 2 12 1 向量的概念及表示向量的概念及表示 学习目标学习目标 1 了解向量的实际背景 理解平面向量的概念和向量的几何表示 掌握向量的模 零向量 单位向量 平行向量 相等向量 共线向量的概念 并会区分平行向量 相等向量和共线 向量 2 通过对向量的学习 使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别 3 通过学生对向量与数量的识别能力的训练 培养学生认识客观事物的数学本质的能力 学习重难点学习重难点 重点重点 平行向量的概念和向量的几何表示 难点难点 区分平行向量 相等向量和共线向量 自主学习自主学习 1 向量的定义 2 向量的表示 1 图形表示 2 字母表示 3 向量的相关概念 1 向量的长度 向量的模 记作 2 零向量 记作 3 单位向量 4 平行向量 5 共线向量 6 相等向量与相反向量 思考思考 38 1 平面直角坐标系中 起点是原点的单位向量 它们的终点的轨迹是什么图形 2 平行向量与共线向量的关系 3 向量 共线 与几何中 共线 有何区别 典型例题典型例题 例例 1 判断下例说法是否正确 若不正确请改正 1 零向量是唯一没有方向的向量 2 平面内的单位向量只有一个 3 方向相反的向量是共线向量 共线向量不一定是相反向量 4 向量和是共线向量 则和是方向相同的向量 a b bc a c 5 相等向量一定是共线向量 例例 2 已知是正六边形的中心 在图中标出的向量中 OABCDEF 1 试找出与共线的向量 EF 2 试找出与相等的向量 EF 3 与相等吗 OA BC 例例 3 如图所示的为的方格纸 每个小方格都是边长为 1 的正方形 试问 起点和终点34 都在小方格的顶点处且与向量相等的向量共有几个 与向量平行且模为的向量AB AB 2 共有几个 与向量的方向相同且模为的向量共有多少个 AB 3 2 巩固练习巩固练习 1 判断下列说法是否正确 若不正确请改正 1 向量和是共线向量 AB CD 则四点必在一直线上 ABCD 2 单位向量都相等 3 四边形是平行四边形当且仅当 ABCDABCD 4 共线向量 若起点不同 则终点一定不同 2 平面直角坐标系中 已知 则点构成的图形是 xOy 2OA A 3 四边形中 则四边形的形状是 ABCD 1 2 ABDC ADBC ABCD 4 设 则与方向相同的单位向量是 0a a O D C BA F E B A 39 5 若分别是四边形的边的中点 EFMN ABCDABBCCDDA 求证 EFNM 6 已知飞机从甲地北偏东的方向飞行到达乙地 再从乙地按南偏东的方向30 2000km30 飞行到达丙地 再从丙地按西南方向飞行到达丁地 问 丁地在甲2000km1000 2km 地的什么方向 丁地距甲地多远 高中数学 必修四 导学案 班级 姓名 2 2 1 向量加法运算及其几何意义向量加法运算及其几何意义 学习目标学习目标 1 掌握向量加法的定义 2 会用向量加法的三角法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量 3 掌握向量加法的交换律和结合律 并会用它们进行向量计算 学习重难点学习重难点 重点 重点 向量加法的三角法则 平行四边形则和加法运算律 难点 难点 向量加法的三角法则 平行四边形则和加法运算律 自主学习自主学习 1 向量的和 向量的加法 已知向量和 a b 则向量叫做与的和 记作 OB a b 叫做向量的加法 注意 两个向量的和向量还是一个向量 注意 两个向量的和向量还是一个向量 2 向量加法的几何作法 1 三角形法则的步骤 就是所做的OA ab 2 平行四边形法则的步骤 a b A B O b a 40 就是所做的OC ab 注意注意 向量加法的平行四边形法则 只适用于两个不共线的向量相加 而向量加法的三角形法则适用于任何两个向量相加 3 向量加法的运算律 1 向量加法的交换律 2 向量加法的结合律 思考思考 如果平面内有个向量依次首尾相接组成一条封闭折线 那么这条向量的和是什么 nn 例 1 如图 已知为正六边形的中心 求出下列向量 OABCDEF 1 OAOC 2 BCEF 3 OAFE 例 2 化简下列各式 1 2 ABBCCDDAEA ABMBBOOM 3 4 ABDFCDBCFA ABCDBCDBBC 例 3 在长江南岸某处 江水以的速度向东流 渡船的速度为 渡船12 5 km h25 km h 要垂直地渡过长江 其航向应如何确定 巩固练习巩固练习 1 已知 求作 a b ab 1 2 F ED C BA O b a b a 41 2 已知是平行四边形的对角线交点 下列结论正确的是 OABCD 1 2 ABCBAC ABADAC 3 4 ADCDBD 0AOCOOBOD 3 设点是内一点 若 则点为的 心 OABC 0OAOBOC OABC 4 对于任意的 不等式成立吗 请说明理由 a b ababab 高中数学 必修四 导学案 班级 姓名 2 2 2 向量减法运算及其几何意义向量减法运算及其几何意义 学习目标学习目标 1 理解向量减法的概念 2 会做两个向量的差 3 会进行向量加 减的混合运算 4 培养学生的辩证思维能力和认识问题的能力 学习重难点 重点 三角形法则 难点 三角形法则 向量加 减混合运算 自主学习自主学习 1 向量的减法 与的差 若 则向量叫做与的差 记为 a b x a b 向量与的减法 求两个向量差的运算叫做向量的减法 a b 注意 向量的减法是向量加法的逆运算 2 向量的减法的作图方法 ab 作法 则BAab 3 减去一个向量等于加上这个向量的相反向量 abab 4 关于向量减法需要注意以下几点 用三角形法则做向量减法时 只要记住连接两向量的终点 箭头指向被减向量即可 以向量为邻边作平行四边形 则两条对角线的向量为 ABa ADb ABCD 应加强理解 ACab BDba 对于任意任意一点 简记 终减起 OABOBOA 例题讲解 42 例 1 已知向量 求作向量 a b c d ab cd 例 2 已知是平行四边形的对角线的交点 若OABCD ABa DAb OCc 试证明 bcaOA 本题还可以考虑如下方法 1 OAOCCAOCCBCD 2 caOCABOCDCODOAAD 例 3 化简下列各式 1 ABBCBDAD 2 ABDABDBCCA 3 ABDCACBD 巩固练习 1 在中 下列等式成立的有 ABC 90C ACBC 1 CACBCACB 2 ABACBABC 3 CABACBAB 4 222 CACBABACBACA 2 已知四边形的对角线与相交于点 且 ABCDACBDO AOOC BOOD 求证 四边形是平行四边形 ABCD c d b a a c b O BA CD 43 3 如图 是一个梯形 分别是的中点 ABCD 2ABCD ABCD M N DC AB 已知试用表示和 ABa ADb a b BC MN 高中数学 必修四 导学案 班级 姓名 2 2 3 向量数乘运算及其几何意义 向量数乘运算及其几何意义 1 学习目标 1 掌握向量数乘的定义 会确定向量数乘后的方向和模 2 掌握向量数乘的运算律 并会用它进行计算 3 通过本课的学习 渗透类比思想和化归思想 学习重难点 重点 向量的数乘及运算律 难点 向量的数乘及运算律 自主学习 1 向量数乘的定义 一般地 实数与向量的积是一个向量 记作 它的长度和方向规定如下 a 1 aa 2 当时 0 当时 0 当时 0 叫做向量的数乘 2 向量的线性运算定义 统称为向量的线性运算 3 向量的数乘的作图 已知作 a ba 当时 把按原来的方向变为原来的倍 0 a 当时 把按原来的相反方向变为原来的倍 0 a 4 向量的数乘满足的运算律 设为任意实数 为任意向量 则 a b N M DC BA 44 1 结合律 2 分配律 典型例题 例 1 已知向量 求作 a b 1 2 2 5a 23ab 例 2 计算 1 a45 2 5 4 3ababa 3 2 263 3 342 abcabc 例 3 已知是不共线的向量 试用表示 OA OB APtAB tR OA OB OP 例 4 已知 中 为的中点 为的中点 相交ABC DBC E F AC BA AD BE CF 于点 求证 O 1 1 2 ADABAC 2 0ADBECF 3 0OAOBOC 巩固练习 1 计算 1 2 3 53 2 6 abab 4 35 2 368 abcabc 2 已知向量且求 a b 3 2 2 4 0 xaxaxab x b a B P A O O F E D C B A 45 3 在平行四边形中 为的中点 ABCD 3 ABa ADb ANNC M BC 用来表示 a b MN 4 如图 在中 为边的中线 ABC ABa BCb AD BC 为的重心 求向量GABC AG 高中数学 必修四 导学案 班级 姓名