三角恒等变换大题

1 三角恒等变换大题三角恒等变换大题 1 求函数 y 7 4sin xcos x 4cos2x 4cos4x 的最大值和最小值 2 已知函数 f x 4cos4x 2cos 2x 1 sin 4 x sin 4 x 1 求 f的值 11 12 2 当 x 时 求 g x f x sin 2x 的最大值和最小值 0 4 1 2 3 已知 sin 2 sin 2 求 2sin2 tan 1 的值 4 4 1 4 4 2 1 tan 2 4 已知 是第一象限角 且 cos 求的值 5 13 sin 4 cos 2 4 5 已知 sin 2 3sin 设 tan x tan y 记 y f x 1 求证 tan 2tan 2 求 f x 的解析表达式 3 若角 是一个三角形的最小内角 试求函数 f x 的值域 6 已知函数 12sin 2 4 cos x f x x 求 f x的定义域 设 的第四象限的角 且tan 4 3 求 f 的值 21 世纪教 3 7 已知 试求的值 0 2 15 tan 22 tan 2 sin 3 8 已知函数 f x sin2x msinsin 1 1 tan x x 4 x 4 1 当 m 0 时 求 f x 在区间上的取值范围 8 3 4 2 当 tan 2 时 f 求 m 的值 3 5 9 已知 xR 2 113 sintancos2 222 tan 2 x f xxx x 1 若 求的单调的递减区间 0 2 x f x 2 若 求的值 3 2 f x x 4 10 设函数 f x sin xcos x cos xsin 3 2 x 1 2 1 求 f x 的最小正周期 2 当 时 求函数 f x 的最大值和最小值 0 2 11 已知函数 f x 2cos 2x sin2x 4cos x 1 求 f 的值 2 求 f x 的最大值和最小值 3 12 1 已知 12 0tan 22210 cos 求的值 3 sin 2sin 2 2 求的值 已知 为锐角 且t an 5 课堂活动区 例 1 解题导引 化简的原则是形式简单 三角函数名称尽量少 次数尽 量低 最好不含分母 能求值的尽量求值 本题要充分利用倍角公式进行降幂 利用配方变为复合函数 重视复合函数中间变量的范围是关键 解 y 7 4sin xcos x 4cos2x 4cos4x 7 2sin 2x 4cos2x 1 cos2x 7 2sin 2x 4cos2xsin2x 7 2sin 2x sin22x 1 sin 2x 2 6 由于函数 z u 1 2 6 在 1 1 中的最大值为 zmax 1 1 2 6 10 最 小值为 zmin 1 1 2 6 6 故当 sin 2x 1 时 y 取得最大值 10 当 sin 2x 1 时 y 取得最小值 6 变式迁移 1 解 1 f x 1 cos 2x 2 2cos 2x 1 sin 4 x sin 4 x cos22x sin 4 x cos 4 x 2cos 2x 2cos22x sin 2 2x 2cos22x cos 2x f 2cos 2cos 11 12 11 6 63 2 g x cos 2x sin 2x sin 2 2x 4 x 2x 0 4 4 4 3 4 当 x 时 g x max 82 6 当 x 0 时 g x min 1 例 2 解题导引 1 这类问题一般是先化简再求值 化简后目标更明确 2 如果能从已知条件中求出特殊值 应转化为特殊角 可简化运算 对切 函数通常化为弦函数 解 由 sin 2 sin 2 4 4 sin 2 cos 2 4 4 sin 4 cos 4 1 2 2 1 2 1 4 cos 4 又 故 1 2 4 2 5 12 2sin2 tan 1 1 tan cos 2 sin2 cos2 sin cos cos 2 2cos 2 sin 2 cos 5 6 2cos5 6 sin5 6 5 3 2 变式迁移 2 解 1 是第一象限角 cos 5 13 sin 12 13 sin 4 cos 2 4 2 2 sin cos cos 2 2 2 sin cos cos2 sin2 7 2 2 cos sin 2 2 5 13 12 13 13 2 14 2 cos 2 cos 2 cos sin 2 sin 4 4 4 cos 2 sin 2 2 2 2 3 2 0 4 3 5 故可知 3 2 4 7 4 sin 4 4 5 从而 cos 2 sin 2 2 2sin cos 4 4 2 4 5 3 5 24 25 sin 2 cos 2 2 1 2cos2 4 1 2 2 3 5 7 25 cos 2 cos 2 sin 2 4 2 2 2 2 24 25 7 25 31 2 50 8 例 3 解题导引 本题的关键是第 1 小题的恒等式证明 对于三角恒等式 的证明 我们要注意观察 分析条件恒等式与目标恒等式的异同 特别是分析 已知和要求的角之间的关系 再分析函数名之间的关系 则容易找到思路 证 明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异 有目的地化繁为简 左右归一 或变更论证 对于第 2 小题同样要从角的关系入手 利用两角和的正切公式可 得关系 第 3 小题则利用基本不等式求解即可 1 证明 由 sin 2 3sin 得 sin 3sin 即 sin cos cos sin 3sin cos 3cos sin sin cos 2cos sin tan 2tan 2 解 由 1 得 2tan 即 2x tan tan 1 tan tan x y 1 xy y 即 f x x 1 2x2 x 1 2x2 3 解 角 是一个三角形的最小内角 0 0 x 33 设 g x 2x 则 g x 2x 2 当且仅当 x 时取 1 x 1 x2 2 2 故函数 f x 的值域为 0 2 4 变式迁移 3 证明 因为左边 2sin xcos x sin x cos x 1 sin x cos x 1 2sin xcos x sin2x cos x 1 2 2sin xcos x sin2x cos2x 2cos x 1 2sin xcos x 2cos2x 2cos x sin x 1 cos x 9 sin x 1 cos x 1 cos x 1 cos x 右边 sin x 1 cos x sin2x 1 cos x sin x 所以原等式成立 课后练习区 1 D 0 3sin 2 sin 6sin cos sin 又 sin 0 cos 1 6 cos cos cos 1 6 2 C 因为 4 4 所以 4 4 所以 tan tan 4 4 tan tan 4 1 tan tan 4 3 22 3 B cos 2 1 2sin2 1 2 sin2 又 1 4 4 0 sin 1 2 4 B f x 2tan x 2tan x 1 2sin2x 2 1 2sin x 2cos x sin x 2 sin xcos x 4 sin 2x 10 f 8 12 4 sin 6 5 C 由 cos 2B 3cos A C 2 0 化简变形 得 2cos2B 3cos B 1 0 cos B 或 cos B 1 舍 1 2 sin B 3 2 6 24 7 解析 因为 为第二象限的角 又 sin 3 5 所以 cos tan 4 5 sin cos 3 4 所以 tan 2 2tan 1 tan2 24 7 7 1 2 解析 y 2cos2x sin 2x sin 2x 1 cos 2x sin 2x cos 2x 1 sin 1 2 2x 4 当 sin 2x 1 时 函数取得最小值 1 42 8 1 2 解析 cos 2 sin 4 cos2 sin2 2 2 sin cos sin cos 2 2 2 cos sin 1 2 9 解 1 sin 2 2sin cos 11 cos 2 分 sin 2 2sin 原式 sin 40 2sin 20 sin 80 2sin 40 1 2 sin 160 2sin 80 6 分 sin 180 20 16sin 20 1 16 2 原式 9 3 4cos 2 2cos22 1 3 4cos 2 2cos22 1 分 tan4 1 1 cos 2 2 1 cos 2 2 2sin2 2 2cos2 2 2 分 10 解 f x sin xcos x cos xsin 3 2 x 1 2 sin 2x cos 2x 1 3 2 1 2 sin 1 4 分 2x 6 1 T 故 f x 的最小正周期为 2 2 6 分 2 因为 0 x 所以 2x 2 6 6 5 6 所以当 2x 即 x 时 f x 有最大值 0 6 2 3 10 分 当 2x 即 x 0 时 f x 有最小值 6 6 3 2 12 分 11 解 1 f 2cos sin2 4cos 3 2 3 3 3 1 2 4 分 3 4 9 4 12 2 f x 2 2cos2x 1 1 cos2x 4cos x 3cos2x 4cos x 1 3 cos x 2 x R 10 2 3 7 3 分 因为 cos x 1 1 所以 当 cos x 1 时 f x 取得最大值 6 当 cos x 时 f x 取得最小值 2 3 14 分 7 3 解 1 当 m 0 时 f x sin2x 1 cos x sin x sin2x sin xcos x 1 cos 2x sin 2x 2 3 分 1 2 2sin 2x 4 1 由已知 x 得 2x 4 分 8 3 4 4 0 5 4 所以 sin 5 分 2x 4 2 2 1 从而得 f x 的值域为 6 分 0 1 2 2 2 f x sin2x sin xcos x cos