高中数学曲线方程经典习题

圆锥曲线方程 知识网络 范题精讲 例 1 已知椭圆的两焦点为 F1 0 1 F2 0 1 直线 y 4 是椭圆的一条准线 1 求椭圆方程 2 设点 P 在椭圆上 且 PF1 PF2 1 求 tan F1PF2的值 解析 本题考查椭圆的基本性质及解题的综合能力 1 设椭圆方程为 1 a b 0 2 2 b x 2 2 a y 由题设知 c 1 4 a2 4 b2 a2 c2 3 c a2 所求椭圆方程为 1 3 2 x 4 2 y 2 由 1 知 a2 4 a 2 由椭圆定义知 PF1 PF2 4 又 PF1 PF2 1 PF1 PF2 2 5 2 3 又 F1F2 2c 2 由余弦定理 cos F1PF2 2 21 2 21 2 2 2 1 PFPF FFPFPF 2 3 2 5 2 4 4 9 4 25 5 3 tan F1PF2 1 cos 1 21 2 PFF 1 9 25 3 4 例 2 已知双曲线 x2 1 过点 A 2 1 的直线 l 与已知双曲线交于 P1 P2两点 2 2 y 1 求线段 P1P2的中点 P 的轨迹方程 2 过点 B 1 1 能否作直线 l 使 l 与已知双曲线交于两点 Q1 Q2 且 B 是线段 Q1Q2的中点 请说明理由 1 解法一 设点 P1 P2的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 中点 P 的坐标为 x y 则有 x12 1 x22 1 两式相减 得 2 2 1 y 2 2 2 y 2 x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2 当 x1 x2 y 0 时 由 x1 x2 2x y1 y2 2y 得 y x2 21 21 xx yy 又由 P1 P2 P A 四点共线 得 2 1 x y 21 21 xx yy 由 得 y x2 2 1 x y 即 2x2 y2 4x y 0 当 x1 x2时 x 2 y 0 满足此方程 故中点 P 的轨迹方程是 2x2 y2 4x y 0 解法二 设点 P1 P2 中点 P 的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 x y 直线 l 的方程为 y k x 2 1 将 l 方程代入双曲线 x2 1 中 2 2 y 得 2 k2 x2 2k 2k 1 x 2k2 3 0 则 x1 x2 x1x2 2 12 2 2 k kk 2 23 2 2 k k y1 y2 k x1 x2 2 4k 2 12 4 2 k k 于是 2 12 2 2 2 12 2 2 21 2 21 k kyy y k kkxx x 当 y 0 时 由 得 k 将其代入 整理得 2x2 y2 4x y 0 当 l 倾斜角为 90 y x2 时 P 点坐标为 2 0 仍满足此方程 故中点 P 的轨迹方程为 2x2 y2 4x y 0 2 解 假设满足题设条件的直线 l 存在 Q1 Q2的坐标分别为 x3 y3 x4 y4 同 1 得 2 x3 x4 x3 x4 y3 y4 y3 y4 x3 x4 2 y3 y4 2 2 x3 x4 43 43 xx yy 即 l 的斜率为 2 l 的直线方程为 y 1 2 x 1 即 y 2x 1 方程组无解 与假设矛盾 1 2 12 2 2 y x xy 满足条件的直线 l 不存在 例 3 如下图 已知 OFQ 的面积为 S 且 1 OFFQ Q F q O 1 若 S 的范围为 S 2 求向量与的夹角 的取值范围 2 1 OFFQ 2 设 c c 2 S c 若以 O 为中心 F 为焦点的椭圆经过点 Q 当 取得最小OF 4 3 OQ 值时 求此椭圆的方程 分析 本题考查向量的基本知识 三角知识及最值问题在解析几何中的综合运用 解 1 1 cos 1 OFFQOFFQ 又 sin 180 S 2 1 OFFQ tan 2S S 2 tan 又 S 2 2 即 1 tan 4 2 1 2 1 2 tan 0B 0 R 2 C 0 R 4D 2 R 4 解析 将方程变为 1 由已知可得 0 R0 m b 0 的离心率互为倒数 那么以 2 2 a x 2 2 b y 2 2 m x 2 2 b y a b m 为边的三角形是 A 锐角三角形B 直角三角形 C 钝角三角形D 等腰三角形 解析 双曲线 1 的离心率 e1 2 2 a x 2 2 b y a c a ba 22 椭圆的离心率 e2 m bm 22 e1与 e2互为倒数 e1e2 1 即 1 整理得 a2 b2 m2 a ba 22 m bm 22 以 a b m 为边的三角形是直角三角形 答案 B 8 方程 x y 2 表示的曲线是 22 1 3 1 3 yx A 椭圆B 双曲线 C 抛物线D 不能确定 解析 数形结合法 动点 P x y 到定点 1 1 和定直线 x y 2 0 距离之比为 2 6 答案 B 9 若椭圆 1 m n 0 和双曲线 1 a b 0 有相同的焦点 F1 F2 P 是 m x2 n y2 2 2 a x 2 2 b y 两条曲线的一个交点 则 PF1 PF2 的值是 A m aB m a 2 1 C m2 a2D ma 解析 PF1 PF2 2 PF1 PF2 2 ma PF1 PF2 mama PF1 PF2 m a 答案 A 10 已知 F1 F2为椭圆 1 a b 0 的焦点 M 为椭圆上一点 MF1垂直于 x 轴 且 2 2 a x 2 2 b y F1MF2 60 则椭圆的离心率为 A B 2 1 2 2 C D 3 3 2 3 分析 本题考查如何求椭圆的离心率 解 MF1 x 轴 M 点的横坐标为 xM c 把 xM代入椭圆方程 1 中 得 yM 2 2 a x 2 2 b y 如下图所示 2 2 a b FF M O y x 12 在 Rt MF1F2中 tan F1MF2 1 21 MF FF 2 2 2 a b c 3 即 2ac b2 a2 2ac c2 0 333 每一项都除以 a2 得 2e e2 0 33 解得 e1 或 e2 舍 3 3 3 答案 C 第 卷 非选择题 共 70 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 11 若椭圆的两个焦点为 F1 4 0 F2 4 0 椭圆的弦 AB 过点 F1 且 ABF2的周 长为 20 那么该椭圆的方程为 解析 ABF2的周长 AF2 AF1 BF2 BF1 2a 2a 4a 20 a 5 又 c 4 b 3 椭圆的方程为 1 25 2 x 9 2 y 答案 1 25 2 x 9 2 y 12 已知 P 是椭圆上的一点 F1 F2是椭圆的两个焦点 PF1F2 90 PF2F1 30 则椭圆的离心率是 解析 因为 e a c a c 2 2 2 21 PFPF c 于是在 PF1F2中 由正弦定理知 e 30sin90sin 60sin 3 3 答案 3 3 13 经过点 M 10 渐近线方程为 y x 的双曲线方程为 3 8 3 1 分析 本题考查依据条件求双曲线的方程 解 设双曲线的方程为 x 3y x 3y m m R 且 m 0 因双曲线过点 M 10 所以有 10 3 10 3 m 得 m 36 3 8 3 8 3 8 所以双曲线方程为 x2 9y2 36 即 1 36 2 x 4 2 y 答案 1 36 2 x 4 2 y 14 方程 1 表示的曲线为 C 给出下列四个命题 k x 4 2 1 2 k y 曲线 C 不可能是圆 若 1 k 4 则曲线 C 为椭圆 若曲线 C 为双曲线 则 k4 若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆 则 1 k 2 5 其中正确的命题是 解析 当 4 k k 1 即 k 时表示圆 否定命题 显然 k 1 4 2 5 2 5 否定命题 若曲线 C 为双曲线 则有 4 k k 1 0 即 4 k 或 kk 1 0 解得 1 k 说明命题 正确 2 5 答案 三 解答题 本大题共 5 小题 共 54 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分 8 分 设椭圆的中心为坐标原点 它在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点 连成 60 的角 两准线间的距离等于 8 求椭圆方程 3 x y A B FO 解 依题意 设所求椭圆方程为 1 2 2 a x 2 2 b y 椭圆右焦点 F c 0 与短轴两端点 A B 连成 60 的角 如图 则 AFB 60 AFB 为等边三角形 于是有 a 2b 又由两准线间的距离等于 8 得 8 3 22 2 2 ba a 3 联立 两方程 解得 a 6 b 3 故所求椭圆方程为 1 36 2 x 9 2 y 16 本小题满分 10 分 已知椭圆 1 过点 P 2 1 引一条弦 使它在这点被平分 16 2 x 4 2 y 求此弦所在的直线方程 P A x y B x y 2 1 2 1 2 2 4x y O 解 如图 设弦与椭圆的两交点坐标为 A x1 y1 B x2 y2 又 P 2 1 164 164 2 2 2 2 2 1 2 1 yx yx 得 x1 x2 x1 x2 4 y1 y2 y1 y2 0 kAB 21 21 xx yy 4 21 21 yy xx 124 2 2 1 lAB的方程为 y 1 x 2 2 1 17 本小题满分 12 分 求以椭圆 1 的顶点为焦点 且一条渐近线的倾斜角为 64 2 x 16 2 y 的双曲线方程 6 5 分析 已知渐近线方程为 bx ay 0 中心在原点 求双曲线的方程 可设双曲线方程为 b2x2 a2y2 0 根据其他条件 确定 的正负 解 椭圆的顶点坐标为 8 0 0 4 双曲线渐近线方程为 x y 0 3 则可设双曲线方程为 x2 3y2 k k 0 即 1 k x2 3 2 k y 若以 8 0 为焦点 则 k 64 得 k 48 双曲线方程为 1 3 k 48 2 x 16 2 y 若以 0 4 为焦点 则 k 16 得 k 12 双曲线方程为 1 3 k 4 2 y 12 2 x 18 本小题满分 12 分 如下图 双曲线 1 b N 的两个焦点为 F1 F2 P 为 4 2 x 2 2 b y 双曲线上一点 OP 5 PF1 F1F2 PF2 成等差数列 求此双曲线方程 P FF 12 x y O 解 PF1 F1F2 PF2 成等差数列 PF1 PF2 2 F1F2 4c 又 PF1 PF2 2a 4 PF1 2c 2 PF2 2c 2 根据中线定理有 PF1 2 PF2 2 2 PO 2 F1O 2 2 52 c2 2c 2 2 2c 2 2 2 52 c2 8c2 8 50 2c2 c2 7 即 4 b2 7 b2 3 又 b N b 1 所求双曲线方程为 y2 1 4 2 x 19 本小题满分 12 分 在 ABC 中 已知 B 2 0 C 2 0 AD BC 于点 D ABC 的垂 心为 H 且 AH 3 1 HD A BCD O y x H 1 求点 H x y 的轨迹 G 的方程 2 已知 P 1 0 Q 1 0 M 是曲线 G 上的一点 那么 能成等差数列 1 MP 1 PQ 1 MQ 吗 若能 求出 M 点的坐标 若不能 请说明理由 1 解 H 点坐标为 x y 则 D 点坐标为 x 0 由定比分点坐标公式可知 A 点的坐标为 x y 3 4 x 2 y x 2 y BHCA 3 4 由 BH CA 知 x2 4 y2 0 即 1 3 4 4 2 x 3 2 y G 的方程为 1 y 0 4 2 x 3 2 y 2 解法一 显然 P Q 恰好为 G 的两个焦点 4 2 MPMQPQ 若 成等差数列 则 1 1 MP 1 PQ 1 MQ 1 MP 1 MQ 2 PQ 4 MPMQMPMQ 由可得 2 4 4 MQMP MQMP MPMQ M 点为 1 的短轴端点 4 2 x