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第7章 现代证券投资组合理论 第一节基本概念和理论基础 主要内容证券收益与风险证券间收益的相关性投资者风险偏好与效用 现代证券投资理论的基本概念 不确定性 证券投资收益的突出特征之一什么是确定性 确定性是指投资的未来收益是唯一的 是某一特定数值 而不是一系列可能的结果 例如 不考虑政变和通货膨胀 短期国债可以看成是确定收益的投资 在未来情况完全可知的情况下 投资者会选择预期收益最大的资产进行投资 因而投资决策是一件非常容易的事 什么是不确定性 不确定性是指投资的未来收益的是不确定的 对应于各种不同的境况 有一系列可能的结果 不确定性的存在是因为证券收益要受到一系列因素的强烈影响 现代证券投资理论的基本概念 证券投资收益的测度百分比收益率对数收益率 现代证券投资理论的基本概念 单一证券期望收益率由于投资者在购买证券时 并不能确切地知道在持有期末的收益率 因此 持有期末的收益率是一个随机变量 对于一个随机变量 我们关心的是它可能取哪些值及其相应的概率大小 期望收益率是所有情形下收益的概率加权平均值 现代证券投资理论的基本概念 单一证券期望收益率的估计由于证券收益的概率分布较难准确得知 一般用历史收益率的样本均值来代替期望收益率 现代证券投资理论的基本概念 证券投资风险什么是风险 风险是投资活动遭受各种损失的可能性 或未来收益的不确定性 一般用概率分布来测度这种不确定性 现代证券投资理论的基本概念 单一证券的风险用收益的标准差 或方差 来测度风险 单一证券投资风险的估计 样本数较少时 全样本或样本数较多时 现代证券投资理论的基本概念 相关性 证券投资收益的突出特征之二各种证券的收益倾向于一起上升和一起下降 如果各种证券的收益是彼此无关的 那么采用分散化就可以消除风险 比如掷硬币 保险业务等 证券收益之间的相关性是有差别的 这种高度相关但又不完全相关的事实 意味着分散化可以降低风险但不能消除它 现代证券投资理论的基本概念 协方差是衡量两种证券收益在一个共同周期中相互影响的方向和程度 正的协方差意味着资产收益同向变动负的协方差意味着资产收益反向变动协方差的大小是无限的 从理论上来说 其变化范围可以从负无穷大到正无穷大 现代证券投资理论的基本概念 相关系数根据相关系数的大小 可以判定A B两证券间的关联强度 投资者偏好 投资者偏好面对证券市场上众多的可投资对象 不同的投资者出于不同的投资目的会作出完全不同的选择 投资者之间存在的这种差异反映了他们对风险的不同态度或者说不同偏好 在不确定条件下 投资者的投资决策不仅要考虑投资收益的多少 更要考虑风险的大小 因此 要知道投资者选择什么样的投资对象 首先就必须确定投资者对风险的态度 偏好便是反映投资者对风险喜好程度的概念 投资者偏好 投资者的不同偏好风险回避型 riskaverter 偏好安全性 在期望收益相同的情况下 选择风险小的投资对象 如果没有与风险相称的风险报酬是绝对不会选择风险资产的 风险报酬在多大程度上适宜 却又取决于该投资者对风险的容忍程度而定 投资者偏好 投资者的不同偏好风险中立型 riskneutral 并不考虑风险的大小 而仅以期望收益的大小为标准来选择投资对象 风险偏好型 risklover 偏好高风险 为得到高收益的机会而愿意以承担高风险为代价 选择高风险证券 如果两个证券的预期收益相同 会选择风险大的证券 投资者效用及效用最大化 投资者效用的含义在投资分析中 效用是用来描述不同投资者为什么选择不同投资对象 以尽可能增强其满足感的概念 即效用是一种衡量精神收益的尺度 可以定义为一种投资给投资者带来的满足程度 投资者进行投资活动的基本目的就是要使其个人满足感最大化 即效用最大化 他们希望通过投资活动以增加收益 扩大其满足感 圣 彼得堡悖论 你是否愿意参加下面的游戏 购买门票参加掷硬币游戏 连续投掷直到首次出现正面时游戏结束 则可得奖金 N为总共投掷的次数 圣 彼得堡悖论 期望收益最大化原则能否给出答案 该游戏的期望收益为无穷大 如果根据期望收益最大化原则 游戏者应该不惜任何代价参加游戏 但实际上却没有这样的参与者 这种差异说明参与者在进行决策时 不仅考虑期望收益 而且要考虑风险的影响 投资者效用及效用最大化 你是否会参加 公平游戏 公平游戏是指预期利润为零的游戏 100000元 p 0 5 1 p 0 5 50000元 150000元 效用无差异曲线 如果知道投资者的效用函数 就能知道投资者是如何根据期望收益和风险的大小来进行投资抉择的 根据期望效用理论 当期望收益增加或风险减少 投资者的效用便会随之增大 E r I0 M I1 I2 b a K 效用无差异曲线 风险厌恶型投资者无差异曲线 E r I1 I0 I2 A投资者 B投资者 同样作为风险厌恶型投资者 A比B更具冒险性 效用无差异曲线 风险中立投资者的无差异曲线 效用无差异曲线 风险偏好投资者的无差异曲线 效用无差异曲线 课堂思考 下图是什么样投资者的无差异曲线 畏惧风险的投资者 只关心风险而不考虑收益的高低 风险偏好型投资者的决策方法 Er 准则期望值和标准差是投资者选择证券的两个重要指标 每一证券都对应有一组 Er 因此 对证券的比较就转化为对 Er 的比较 A B C D Er 本节小结 投资者厌恶风险是我们分析问题的出发点 期望收益最大化原则并不能作为投资决策的标准效用最大化才是合适的评判准则 风险厌恶型投资者将拒绝参与公平游戏或赌博 第二节现代证券组合理论 本节内容证券组合概述证券组合的收益与风险投资者最优投资组合的确定引入无风险资产的投资策略 HarryMarkowitz 1927 证券组合概述 为什么要研究和进行组合投资 是现实投资活动中的一种普遍现象单个证券的收益与风险之间的匹配性以及投资者期望效用最大化特征研究发现 组合投资可以给投资者提供更多的选择机会组合投资可以在收益不至于大幅下降的情况能有效地降低风险 证券组合概述 投资组合的构建过程根据投资目标的不同界定适合于选择的证券范围估计各证券的预期收益率 风险和协方差 相关系数 确定有效边界最优化 找出最佳投资组合组合内各种证券的选择组合中各证券的投资比例 证券组合的收益与风险 证券组合的收益率案例1 假如某个投资组合仅由两种证券组成 本金为1000元 其中400元投资于A 600元投资于B 投资期限1个月 到期时 A的收益率为10 B的收益率为6 那么整个组合的收益率又为多少 投资组合的收益率等于组合中所有证券收益率的加权平均 权重 x 等于每一证券初始投资额占投资本金的比例 证券组合的收益与风险 权重与卖空组合的权重可以为正值 也可以为负值 负值意味着卖空某种证券 卖空证券与卖出自己拥有的证券并非完全一样卖空通常是指投资者向经纪人 券商 借入一定数量的某种证券事先卖掉 在一定时间后再归还 并支付相应报酬的行为 证券组合的收益与风险 权重与卖空案例2 投资者自有资金1000元 卖空证券B收入600元 将1600元全部用于购买证券A 假设证券A的收益率为20 证券B的收益率为10 那么 1 组合的权重为多少 2 组合的收益率为多少 证明 证券组合的收益与风险 投资组合的预期收益率在不确定条件下 由于各证券的收益率在事先是不确定的 投资组合的收益率也不可能确定 都为随机变量 作为随机变量 在描述其未来的收益状况时 常以期望收益值来描述 投资组合的预期收益率等于该投资组合中所有证券预期收益率的简单加权平均 其权重则等于购买 或卖空 该证券的金额占最初自有投资额的比例 证券组合的收益与风险 投资组合的预期收益率案例3 如果没有卖空交易 组合的预期收益率总是介于两种证券的收益率之间 具体大小取决于资金的分配比例 如果卖空某种证券 则组合的收益率既可能无限上升也可能无限下降 如果我们想尽可能大地提高组合的预期收益率 只需要大量卖空收益率低的那种证券即可 但随着预期收益率的上升 组合的风险也会随之上升 证券组合的收益与风险 投资组合的方差 风险 要计算投资组合的方差 必须先知道该投资组合中所有证券之间的协方差 例如证券A B C的协方差矩阵如下 证券组合的收益与风险 投资组合的方差 风险 要计算投资组合的方差 还必须知道该投资组合中每一证券的权重 并对协方差矩阵中的元素进行估计 按以下方式建立一个新的矩阵 组合方差的计算方法 将矩阵中每一个协方差乘以其所在行和列的组合权重 然后将所有的乘积加总 证券组合的收益与风险 投资组合的方差 风险 思考 如何证明证券A B的方差 两种证券的联合线 联合线是由E r 和 r 所确定的一系列点联结起来的曲线 曲线上的每一个点都表示在某一既定的投资组合权重下 由两种证券所构成的投资组合的预期收益率和标准差 由于曲线上每一个点所代表的投资组合的权重各不相同 因此通过联合线可以知道当改变投资组合权重时 由两种证券构成的投资组合的预期收益率和风险将会发生怎样的变化 联合线 不相关的情况 案例 假设自有资金为1000 卖空证券B收入500 共1500都投资于证券A 则投资组合中证券A的权重为1 5 联合线 不相关的情况 案例 续 如果xA取不同的值 则可得到如下结果 联合线 完全正相关的情形 案例 续 如果卖空与自有资金同样金额的证券B 再将所获得的卖空收入与自有资金一起投资于证券A 就可构成一个无风险的投资组合 因为B的方差是A的两倍 要完全抵消两者的变动的影响 则A的投资额必须是B的两倍 即席思考 以下说法是否正确 只要两种证券的标准差不同 且这两种证券完全正相关 我们就总能够通过卖空其中的一种证券达到构建一个无风险投资组合的目的 类似的结论是否适用于完全负相关的情形 如何证明 各种情形下两种风险资产的联合线 不允许卖空 收益Erp 风险 p 1 0 1 0 5 多种风险资产的组合的可行域 三种证券组合的可行域 不允许卖空 一般地 当资产数量增加时 要保证资产之间两两完全正 负 相关是不可能的 一般假设两种资产之间是不完全相关 一般形态 C B A Er 多种风险资产的组合的可行域 类似于3种资产构成组合的算法 我们可以得到一个月牙型的区域为n种资产构成的组合的可行集 收益rp 风险 p 多种风险资产的组合的可行域 可行域的两个性质在n种资产中 如果至少存在三项资产彼此不完全相关 则可行集将是一个二维的实体区域可行区域是向左侧凸出的任意两项资产构成的投资组合都位于两项资产连线的左侧 收益rp 不可能的可行域 投资者最优投资组合的确定 最小方差集各种期望收益水平上风险最小的组合的全体 有效组合符合主宰法则的组合 有效边界所有符合主宰法则的有效组合点的轨迹 0 有效边界 MVP 可行域 投资者最优投资组合的确定 引入无风险资产的投资策略 什么是无风险资产 是指不受外界因素影响 具有确定收益率的资产 理论上 严格的无风险资产是不存在的 政府债券虽然很少违约 但可能遭受通胀风险 从实际角度看 把短期国债看成无风险资产的代表 无风险资产的特征收益率不具有变异性收益率的方差为零与任何风险资产的收益率的协方差 相关系数 为零 引入无风险资产的投资策略 无风险借入和贷出投资者购买国债进行无风险投资 相当于投资者向国家贷款 与此相反 投资者也可能按某利率水平获得借款进行风险投资 一般来讲 投资者借入与贷出资金的利率水平是不同的 但为了简便起见 我们通常假定借贷利率相等 并且等于国债利率 这样 投资者借入资金就等价于卖空债券 而贷出资金就等价于购入债券 引入无风险资产的投资策略 无风险资产与单个风险资产的组合 引入无风险资产的投资策略 一种风险资产与无风险资产进行组合的联合线是一条射线 有效边界为整个射线 A 0 B 引入无风险资产的投资策略 无风险资产与风险资产组合的再组合的联合线 0 F B T A 由前述可知 无风险资产与风险资产组合的再组合的联合线也是一条直线 N 分散化对风险的影响 由前述可知 证券或组合的风险由系统风险和非系统风险组成 但是 如果投资者选择某证券组合进行分散化投资可以降低总风险 组合的非系统风险 当n越大时 组合的非系统性风险越小 即非系统性风险可以通过分散化加以消除 分散化对风险的影响 组合的系统风险 分散化将导致系统风险平均化 只要不专门挑选贝塔系数较大 或较小 的证券加入组合 那么随着证券数目的增加 组合的系统风险将向一个特定的值靠拢 即趋于稳定 同时也表明 组合的系统风险不能通过分散化加以消除 分散化与证券组合风险的关系实证 1968年 美国学者埃文斯和亚瑟从实证的角度考察了分散化与风险之间的关系 他们以1958 1967年纽约股票交易所上市交易的470种普通股票为研究对象 随机构造出2400个证券组合 其中60个证券组合只含1种证券 60个证券组合含2种证券 60个证券组合合3种证券 60个证券组合含40种证券 通过考察证券组合的风险与所含证券数目的关系发现 随着证券数目的增多 证券组合的风险是逐渐减少的 一个包含5种证券的组合 等比例投资 与一个完全分散化 n足够大 的证券组合相比 其风险只多14 一个包含10种证券的证券组合 其风险不过多7 当证券组合包含20种证券时 其风险只多3 这说明 分散程度不必太高就可达到大大降低风险的效果 对投资者而言 选择10 15种证券进行组合投资 就可基本消除非系统风险 分散化与证券组合风险的关系 理论 非系统风险 系统风险 n 分散化与证券组合风险的关系 实例 第三节资本资产定价模型 本节内容CAPM的假设及其含义分离定律 SeparationTheorem 市场证券组合资本市场线 CML 资本资产定价模型证券市场线 SML 与证券均衡定价CAPM的应用 CAPM的假设及其含义 马科维茨模型和资本市场理论的共同假设投资者是回避风险的 追求期望效用最大化 投资者根据期望收益率的均值和方差来选择投资组合 所有投资者处于同一单一投资期 资本市场理论的附加假设投资者可以以无风险利率无限制地进行借入和贷出 投资者们对证券收益率的均值 方差和协方差具有相同的期望值 同质预期 资本市场无摩擦 没有税负 无交易成本 信息可自由流动 可买卖任何数量的证券的完全竞争的市场 资本资产定价模型 CAPM CAPM表明 在市场均衡状态下 任一证券的均衡期望收益率由两部分构成 一部分是无风险利率 另一部分是风险报酬 或称为风险溢价 它代表投资者承担风险而应得的补偿 资本资产定价模型 CAPM CAPM的 表示式该式表明 任一证券所提供的风险报酬依赖于两个因素 市场风险报酬 E RM Rf 证券相对于市场证券组合的风险度 或者说 任一证券的风险报酬是以市场风险报酬为基准 按照证券风险度 的大小而确定的调整值 资本资产定价模型 CAPM 理解 度量了证券的风险 或证券相对于市场组合的波动性 市场组合的 1 所有证券的 都是相对于市场组合的 度量的 如果证券的 1 其风险大于市场风险 所有证券 的平均值等于1 如果把所有证券按照它们的市场价值进行加权 组合的结果就是市场组合 资本资产定价模型 CAPM 理解CAPM风险资产的收益率要高于无风险资产的收益率 并非风险资产承担的所有风险都要给予补偿 仅仅是系统性风险需要给予补偿 风险资产实际获得风险补偿额的大小取决于 值 在CAPM中成为了衡量市场风险的一个标准 资本资产定价模型 CAPM 证券市场线 SecurityMarketLine CAPM的图形表现将CAPM所遵从的关系式以协方差 或 为横轴 期望收益率为纵轴将其之间的关系表示出来 则所有证券将位于同一条直线上 这样一条描述证券期望收益率与风险之间均衡关系的直线常称为证券市场线 SML 资本资产定价模型 CAPM 证券市场线 以协方差衡量风险 证券市场线 以 衡量风险 常用模型 证券市场线 SML 资本资产定价模型 CAPM CAPM的引申SML揭示了市场上所有风险性资产的均衡期望收益率与风险之间的替代关系 这些风险资产包括 单个证券无效证券组合有效证券组合即每一种证券或证券组合 无论它们是否有效 都将位于SML上 资本资产定价模型 CAPM CML和SML的区别度量风险的指标不同CML只描述有效投资组合如何均衡地被定价 而SML描述了所有风险资产 包括无效组合与有效组合 如何均衡地被定价 有效投资组合既位于CML上 同时也位于SML上 而单个证券与无效组合只位于SML上 但在CML以下 SML与证券均衡定价 SML提供了判断证券是否合理定价的标准 合理定价 的证券一定位于SML上 错误定价 的证券则分布在SML上方或下方 证券的 值 实际期望收益率与均衡期望收益率之差 根据 值的正负及大小 可以判断证券是否定价合理以及定价偏离的程度 0 证券定价偏低 0 证券定价偏高 的绝对值越大 证券定价越不合理 SML与证券均衡定价 案例市场期望收益率为14 股票A的 为1 2 短期国库券利率为6 根据CAPM该股票的期望收益率为6 1 2 14 6 15 6 如果投资者估计股票A的收益率为17 则意味着 1 4 14 15 6 17 SML与证券均衡定价 即席思考为什么会出现证券定价不合理现象 交易成本的存在 使得投资者不能积极地交易以纠正证券与SML所发生的微小偏差 因为这时调整组合的成本可能等于甚至高于由此而带来的收益 资本利得税的存在 可能阻碍投资者买卖证券实现利润的行动 因为账面上的资本增值不需要支付税金 一旦抛售证券使其转化为资本利得 则应该付税 不完全信息会影响证券的估价 如果投资者的信息不够完全 他可能无法观察到错误估价的证券 从而也就不可能通过交易来消除错误的估价 CAPM的简单应用 用以指导投资者的证券组合消极的投资组合选择无风险证券与风险证券构成组合 积极的投资组合不断从组合中剔除掉 0的证券 根据市场的趋势调整资产组合当预测市场价格呈上升趋势时 可增加高 值证券的持有量 当预测市场价格呈下降趋势时 则减少高 值证券的持有量 第四节套利定价理论 背景美国经济学家StephenRoss于1976年提出了套利定价理论 他利用 套利 原理推导出市场均衡状态下资本资产定价关系 APT 由于APT具有与CAPM的一样的解释功能 而且涉及较少的假设条件 与现实更贴近 因此受到更多的关注 APT的基本假设 证券收益率的变动是由单因素或多因素模型的变化所决定 证券的收益率和因素之间的关系是线性的 具有相同风险和收益率的证券其价格不能有两种或两种以上 投资者是理性的 偏好拥有更多的财富 从而每个投资者都会去利用不增加风险而能增加组合预期收益的机会 即构建 套利组合 套利与均衡 套利与一价法则套利 是利用同一证券在不同市场上或者不同证券在同一市场上存在的价格差异 通过低买高卖从中获取无风险利润的行为 一价法则 相同证券在不同市场 或同类证券在同一市场 的定价水平应相同 一价法则隐含的意思是 如果一只证券的回报能通过其它证券的组合合成创造 复制 出来 该组合的价格与基础证券的价格肯定是相等的 一价法则的成立意味着套利机会的消失 相反 当一价法则被违背时 就会出现明显的套利机会 一般来讲 在一个完全竞争 有效的市场总是遵循一价法则的 套利与均衡 同一市场不同证券之间的套利机会的例子各种证券在不同环境下的收益率 套利与均衡 同一市场不同证券之间的套利机会的例子收益率统计表 套利与均衡 同一市场不同证券之间的套利机会的例子将股票A B C按等权重构成投资组合T不同环境下T与D的收益率 在任何一种宏观环境出现时 投资组合T的收益率都高于股票D 套利与均衡 同一市场不同证券之间的套利机会的例子零投资组合的收益状态 卖空 无论投资者多厌恶风险 都会利用这种优势进行套利 套利与均衡 套利与均衡的关系当套利机会出现时 投资者就会通过低买高卖赚取差价收益 套利机会存在意味着有些证券的定价是不合理的 其价格就为非均衡价格 套利行为会使证券的价格会发生变化 从而使套利机会不再存在时 市场将处于均衡状态 各种证券的定价也处于合理水平 套利与均衡的关系是资本市场理论的一个基本论点 套利组合 根据APT 投资者将尽力发现