衡水市2019届高三第一次调研考试(理科)

数学试题 理科 第 1 页 共 9 页 衡水市衡水市 20192019 届高三第一次调研考试 理科 届高三第一次调研考试 理科 数学试题数学试题 理科 理科 本试卷共 4 页 21 小题 满分 150 分 考试用时 120 分钟 注意事项 注意事项 1 答卷前 考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号 试室号 座位号填写在答题卡上 2 选择题每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑 如需改动 用橡皮擦干净 后 再选涂其他答案 答案不能答在试卷上 3 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新的答案 不准使用铅笔和涂改液 不按以上要求作答的答案无效 一一 选择题 本大题共选择题 本大题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 4040 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要 求的 求的 1 复数等于 3 1 i i A 8 B 8 C 8iD 8i 2 定义集合运算 设 则集合的所有元素之和 A Bz zxy xA yB 1 2 0 2AB A B 为 A 0 B 2 C 3 D 6 3 已知是等差数列 则该数列前 10 项和等于 n a 12 4aa 78 28aa 10 S A 64 B 100 C 110 D 120 4 在二项式 25 1 x x 的展开式中 含 4 x的项的系数是 A 10 B 10 C 5 D 5 5 为得到函数的图象 只需将函数的图象 cos 2 3 yx sin2yx A 向左平移个长度单位B 向右平移个长度单位 5 12 5 12 C 向左平移个长度单位 D 向右平移个长度单位 5 6 5 6 6 设 函数的图象可能是 ab 2 yax xb 7 4 张卡片上分别写有数字 1 2 3 4 从这 4 张卡片中随机抽取 2 张 则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概 率为 x y Oab x y Oab x y Oab x y Oab ABC D 数学试题 理科 第 2 页 共 9 页 A B C D 1 3 1 2 2 3 3 4 8 已知 则 ab adbc cd 46121420042006 810161820082010 A 2008B 2008C 2010D 2010 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 7 小题 考生作答小题 考生作答 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 3030 分 分 一 必做题 题 一 必做题 题 9 设向量 若向量与向量共线 则 12 2 3 ab ab 47 c 10 设曲线在点处的切线与直线垂直 则 ax ye 01 210 xy a 11 若实数满足 则的最小值为 x y 20 4 5 xy x y zyx 12 执行下边的程序框图 若 则输出的 0 8p n 13 某几何体的俯视图是如右图所示的矩形 正视图 或称主视 图 是一个底 边长为8 高为5的等腰三角形 侧视图 或称左视图 是一个底边长为6 高 为5的等腰三角形 则该儿何体的体积为 二 选做题 二 选做题 1414 1515 题 考生只能从中选做一题 两道题都做的 只记第一题得分 题 考生只能从中选做一题 两道题都做的 只记第一题得分 14 坐标系与参数方程选做题 坐标系与参数方程选做题 已知圆的极坐标方程为 则该圆的圆心到直线2cos 的距离是 sin2 cos1 15 几何证明选讲选做题 几何证明选讲选做题 如图 点 B 在 O 上 M 为直径 AC 上 一点 BM 的延长线交 O 于 N 45BNA 若 O 的半径 为2 3 OA 3OM 则 MN 的长为 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 满分小题 满分 8080 分分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 请在答题卷的指定区域内作答 否则该题计为零分 请在答题卷的指定区域内作答 否则该题计为零分 16 本小题满分 12 分 已知函数 求 22 sin2sin cos3cosf xxxxxx R 1 函数的最大值及取得最大值的自变量的集合 f xx 开始 10nS Sp 是 输入 p 结束 输出n 1 2n SS 否 1nn 第 12 题图 第 13 题图 B C A O M N 第 15 题图 数学试题 理科 第 3 页 共 9 页 2 函数的单调增区间 f x 17 本小题满分 12 分 某批发市场对某种商品的周销售量 单位 吨 进行统计 最近 100 周的统计结果如下表所示 周销售量 234 频数 205030 1 根据上面统计结果 求周销售量分别为 2 吨 3 吨和 4 吨的频率 2 已知每吨该商品的销售利润为 2 千元 表示该种商品两周销售利润的和 单位 千元 若以上述频率作 为概率 且各周的销售量相互独立 求的分布列和数学期望 18 本小题满分 14 分 如图 三棱锥 P ABC 中 PC平面 ABC PC AC 2 AB BC D 是 PB 上一点 且 CD平面 PAB 1 求证 AB平面 PCB 2 求二面角 C PA B 的大小的余弦值 A B C D P 第 18 题图 数学试题 理科 第 4 页 共 9 页 19 本小题满分 14 分 设函数 2 2ln11f xxx 1 求函数的单调递增区间 f x 2 若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根 x 2 30f xxxa 2 4 求实数的取值范围 a 20 本小题满分 14 分 已知直线220 xy 经过椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的左顶点和上顶点 椭圆C的右顶点为B AD 点S是椭圆C上位于x轴上方的动点 直线 AS BS与直线 10 3 l x 分别交于 M N两点 1 求椭圆C的方程 2 求线段的长度的最小值 MN 21 本小题满分 14 分 已知函数 设曲线在点处的切线与轴的交点为 2 4f xx yf x nn xf x x 1 0 n xnN 1 用表示 n x 1n x 2 若 记 证明 数列是等比数列 并求数列的通项公式 1 4x 2 lg 2 n n n x a x n a n x 3 若 是数列的前项和 证明 1 4x 2 nn bx n T n bn3 n T 数学试题 理科 第 5 页 共 9 页 惠州市惠州市 20112011 届高三第一次调研考试届高三第一次调研考试 数学试题数学试题 理科 参考答案理科 参考答案 一 选择题一 选择题 题号12345678 答案DDBBABCA 1 解析 由 易知 D 正确 33 4 12 88 i ii iii 2 解析 因 所以易知选 D 0 2 4 A B 3 解析 设公差为 则有d 1 1 24 21328 ad ad 1 10 1 109 10 12100 22 a S d 4 解析 对于 2 510 3 155 1 1 r rrrrr r TCxC x x 对于1034 2rr 则 4 x的项的系数是 22 5 1 10C 5 解析 只需将函数的图象向左平移个 55 cos 2sin 2sin2 3612 yxxx sin2yx 5 12 单位得到函数的图象 cos 2 3 yx 6 解析 可得 是函数的两个零点 22 yax xbxa xb a b 当时 则 当时 则 0 f x 当时 则 0 f x 故选 B xa 0f x axb xb 7 解析 要使取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数 则取出的 2 张卡片上的数字必须一奇一偶 取出的 2 张 卡片上的数字之和为奇数的概率 11 22 2 4 42 63 CC P C 8 解析 8482 84 82 82 8 8 882 nn nnnn nn 数列共有 251 项 结果为 故选 A 8 2512008 二 填空题 二 填空题 9 2 10 2 11 6 12 4 13 80 14 15 2 5 5 9 解析 则与共线 ab 2 23 ab 47 c 24 2 237 10 解析 切线的斜率 由得 ax yae 0 x kya 1 1 2 a 2a 11 解析 画出可行域知 当时 为最小值 4 2xy 246zyx 12 解析 因此输出 111 0 8 248 4 n 13 解析 结合题意知该几何体是四棱锥 棱锥的的底面是边长为 8 和 6 的长方形 棱锥的高是 5 由棱锥 的体积公式得 1 86580 3 V 14 解析 直线化为直角坐标方程是 圆的圆心到直线sin2 cos1 210 xy 2cos 1 0 的距离是210 xy 5 5 数学试题 理科 第 6 页 共 9 页 15 解析 90BOA 45BNA 2OM 2 3BO 4BM 2 322 328BM MNCM MA 2MN 三 解答题三 解答题 16 解 1 解法一 1cos23 1cos2 sin2 22 xx f xx 4 分2sin2cos2xx 22sin 2 4 x 当 即时 取得最大值 22 42 xk 8 xkkZ f x22 因此 取得最大值的自变量 x 的集合是 8 分 f x 8 x xkkZ 解法二 222 sincos sin22cosf xxxxx 4 分1sin21cos2xx 22sin 2 4 x 当 即时 取得最大值 22 42 xk 8 xkkZ f x22 因此 取得最大值的自变量 x 的集合是 8 分 f x 8 x xkkZ 2 解 22sin 2 4 f xx 由题意得 即 222 242 kxkkZ 3 88 kxkkZ 因此 的单调增区间是 12 分 f x 3 88 kkkZ 17 解 1 周销售量为 2 吨 3 吨和 4 吨的频率分别为 0 2 0 5 和 0 3 3 分 2 该商品两周可能销售 4 5 6 7 8 吨 所以 的可能值为 8 10 12 14 16 且 P 8 0 22 0 04 P 10 2 0 2 0 5 0 2 P 12 0 52 2 0 2 0 3 0 37 P 14 2 0 5 0 3 0 3 P 16 0 32 0 09 的分布列为 810121416 P0 040 20 370 30 09 9 分 8 0 04 10 0 2 12 0 37 14 0 3 16 0 09 12 4 千元 12 分E 18 解 1 PC平面 ABC 平面 ABC PCAB 2 分 AB CD平面 PAB 平面 PAB CDAB 4 分 AB 数学试题 理科 第 7 页 共 9 页 A B C D P E F 又 AB平面 PCB 6 分PCCDC 2 取 AP 的中点 E 连结 CE DE PC AC 2 CE PA CE 8 分 2 CD平面 PAB 由三垂线定理的逆定理 得 DEPA 为二面角 C PA B 的平面角 10 分CED 由 1 AB平面 PCB 又 AB BC 可求得 BC 2 在中 PB Rt PCB 22 PCBC6 12 分 PC BC222 CD PB 63 在中 cos 13 分Rt CDE CED 4 2 DE3 3 CE3 2 二面角 C PA B 大小的余弦值为 14 分 3 3 19 解 1 函数的定义域为 1 分 f x 1 2 分 221 21 11 x x fxx xx 则使的的取值范围为 1x 0fx x 1 2 故函数的单调递增区间为 4 分 f x 1 2 2 方法方法 1 2 2ln11f xxx 6 分 2 3012ln10f xxxaxax 令 12ln1g xxax 且 23 1 11 x g x xx 1x 由 03 03g xxg xx 得 得1 在区间内单调递减 在区间内单调递增 9 分 g x 2 3 3 4 故在区间内恰有两个相异实根 12 分 2 30f xxxa 2 4 2 0 3 0 4 0 g g g 即解得 30 42ln20 52ln30 a a a 2ln352ln24a 数学试题 理科 第 8 页 共 9 页 综上所述 的取值范围是 14 分a 2ln35 2ln24 方法方法 2 2 2ln11f xxx 6 分 2 3012ln10f xxxaxax 即 令 2ln11axx 2ln11h xxx 且 23 1 11 x h x xx 1x 由 03 03h xxh xx 得1得 在区间内单调递增 在区间内单调递减 9 分 h x 2 3 3 4 又 23h 32ln24h 42ln35h 24hh 故在区间内恰有两个相异实根 2 30f xxxa 2 4 43hah 即 12 分2ln352ln24a 综上所述 的取值范围是 14 分a 2ln35 2ln24 20 解法一 1 由已知得 椭圆C的左顶点为 2 0 A 上顶点为 0 1 2 1Dab 故椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y 4 分 2 直线 AS 的斜率k显然存在 且0k 故可设直线AS的方程为 2 yk x 从而 10 16 33 k M 5 分 由 2 2 2 1 4 yk x x y 得 2222 14 16164kxk xk 0 7 分 设 11 S x y则得 2 1 2 28 14 k x k 从而 1 2 4 14 k y k 21 世纪教育网 9 分 2 1 2 28 2 14 k x k 即 2 22 284 1414 kk S kk 又 2 0 B 由 1 2 4 10 3 yx k x 得 10 3 1 3 x y k 101 33 N k 11 分 故 161 33 k MN k 12 分 数学试题 理科 第 9 页 共 9 页 又 1611618 0 2 33333 kk kMN kk 当且仅当 161 33 k k 即 1 4 k 时等号成立 1 4 k 时 线段MN的长度取最小值 8 3 14 分 21 解 1 由题可得 1 分 2fxx 所以曲线在点处的切线方