高中数学导数题型总结

导数导数 经典例题剖析经典例题剖析 考点一 求导公式 考点一 求导公式 例 1 是的导函数 则的值是 fx 3 1 21 3 f xxx 1 f 考点二 导数的几何意义 考点二 导数的几何意义 例 2 已知函数的图象在点处的切线方程是 则 yf x 1 1 Mf 1 2 2 yx 1 1 f f 例 3 曲线在点处的切线方程是 32 242yxxx 13 考点三 导数的几何意义的应用 考点三 导数的几何意义的应用 例 4 已知曲线 C 直线 且直线 与曲线 C 相切于点xxxy23 23 kxyl l 求直线 的方程及切点坐标 00 y x0 0 xl 考点四 函数的单调性 考点四 函数的单调性 例 5 已知在 R 上是减函数 求的取值范围 13 23 xxaxxfa 例 6 设函数在及时取得极值 32 2338f xxaxbxc 1x 2x 1 求 a b 的值 2 若对于任意的 都有成立 求 c 的取值范围 0 3 x 2 f xc 点评 本题考查利用导数求函数的极值 求可导函数的极值步骤 求导数 xf xf 求的根 将的根在数轴上标出 得出单调区间 由在各 0 xf 0 xf xf 区间上取值的正负可确定并求出函数的极值 xf 例 7 已知为实数 求导数 2 若 求a axxxf 4 2 xf 01 f 在区间上的最大值和最小值 xf 2 2 解析 1 axaxxxf44 23 423 2 axxxf 2 04231 af 2 1 a 14343 2 xxxxxf 令 即 解得或 则和在区间 0 xf 0143 xx1 x 3 4 x xf xf 上随的变化情况如下表 2 2 x x2 1 2 1 3 4 1 3 4 2 3 4 2 xf 0 0 xf 0增函数极大值减函数极小值增函数0 所以 在区间上的最大值为 最 2 9 1 f 27 50 3 4 f xf 2 2 27 50 3 4 f 小值为 2 9 1 f 答案 1 2 最大值为 最小值为 423 2 axxxf 27 50 3 4 f 2 9 1 f 点评 本题考查可导函数最值的求法 求可导函数在区间上的最值 要先 xf ba 求出函数在区间上的极值 然后与和进行比较 从而得出函数的最 xf ba af bf 大最小值 考点七 导数的综合性问题 考点七 导数的综合性问题 例 8 设函数为奇函数 其图象在点处的切线与直线 3 f xaxbxc 0 a 1 1 f 垂直 导函数的最小值为 1 求 的值 670 xy fx12 abc 2 求函数的单调递增区间 并求函数在上的最大值和最小值 f x f x 1 3 解析 1 为奇函数 即 f x fxf x 33 axbxcaxbxc 的最小值为 又直线0c 2 3fxaxb 12 12b 的斜率为 因此 670 xy 1 6 1 36fab 2a 12b 0c 2 列表如下 3 212f xxx 2 6126 2 2 fxxxx x 2 2 2 2 2 2 fx 0 0 f x增函数极大减函数极小增函数 所以函数的单调增区间是和 f x 2 2 1 10f 在上的最大值是 最小值是 2 8 2f 3 18f f x 1 3 3 18f 2 8 2f 答案 1 2 最大值是 最小值是2a 12b 0c 3 18f 2 8 2f 点评 本题考查函数的奇偶性 单调性 二次函数的最值 导数的应用等基础知识 以 及推理能力和运算能力 导数强化训练导数强化训练 一 选择题 1 已知曲线的一条切线的斜率为 则切点的横坐标为 A 2 4 x y 1 2 A 1B 2C 3D 4 2 曲线在点 1 1 处的切线方程为 B 13 23 xxy A B C D 43 xy23 xy34 xy54 xy 3 函数在处的导数等于 D 1 1 2 xxy1 x A 1B 2C 3D 4 4 已知函数的解析式可能为 A 31 xfxxf则处的导数为在 A B 1 3 1 2 xxxf 1 2 xxf C D 2 1 2 xxf1 xxf 5 函数 已知在时取得极值 则 D 93 23 xaxxxf xf3 xa A 2 B 3 C 4 D 5 6 函数是减函数的区间为 D 32 31f xxx 2 2 0 0 2 7 若函数的图象的顶点在第四象限 则函数的图象是 A cbxxxf 2 xf 8 函数在区间上的最大值是 A 23 1 2 3 f xxx 0 6 A B C D 32 3 16 3 129 9 函数的极大值为 极小值为 则为 A xxy3 3 mnnm A 0 B 1 C 2D 4 10 三次函数在内是增函数 则 A xaxxf 3 x A B C D 0 a0 a1 a 3 1 a 11 在函数的图象上 其切线的倾斜角小于的点中 坐标为整数的点的个数xxy8 3 4 是 D A 3B 2C 1D 0 12 函数的定义域为开区间 导函数在内的图象如图所示 则函数 xf ba x f ba 在开区间内有极小值点 A xf ba x y o A x y o D x y o C x y o B a b x y xfy O a b x y xfy O A 1 个 B 2 个 C 3 个D 4 个 二 填空题 13 曲线在点处的切线与轴 直线所围成的三角形的面积为 3 xy 1 1x2 x 14 已知曲线 则过点 改为在点 的切线方程是 3 14 33 yx 2 4 P 2 4 P 15 已知是对函数连续进行 n 次求导 若 对于任意 n fx f x 65 f xxx xR 都有 0 则 n 的最少值为 n fx 16 某公司一年购买某种货物 400 吨 每次都购买吨 运费为 4 万元 次 一年的总存x 储费用为万元 要使一年的总运费与总存储费用之和最小 则 吨 4xx 三 解答题 17 已知函数 当时 取得极大值 7 当时 取得 cbxaxxxf 23 1 x3 x 极小值 求这个极小值及的值 cba 18 已知函数 93 23 axxxxf 1 求的单调减区间 xf 2 若在区间 2 2 上的最大值为 20 求它在该区间上的最小值 xf 19 设 点 P 0 是函数的图象的一个公共点 0 ttcbxxgaxxxf 23 与 两函数的图象在点 P 处有相同的切线 1 用 表示 tcba 2 若函数在 1 3 上单调递减 求 的取值范围 xgxfy t 20 设函数 已知是奇函数 32 f xxbxcx xR g xf xfx 1 求 的值 bc 2 求的单调区间与极值 g x 21 用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架 要求长方体的长与宽之比为 2 1 问该长方体的长 宽 高各为多少时 其体积最大 最大体积是多少 22 已知函数在区间 内各有一个极值点 32 11 32 f xxaxbx 11 13 1 求的最大值 2 4ab 1 当时 设函数在点处的切线为 若 在点处 2 48ab yf x 1 1 Af llA 穿过函数的图象 即动点在点附近沿曲线运动 经过点时 yf x A yf x A 从 的一侧进入另一侧 求函数的表达式 l f x 强化训练答案 强化训练答案 1 A 2 B 3 D 4 A 5 D 6 D 7 A 8 A 9 A 10 A 11 D 12 A 四 填空题 13 14 15 7 16 20 3 8 044 xy 五 解答题 17 解 baxxxf 23 2 据题意 1 3 是方程的两个根 由韦达定理得023 2 baxx 3 31 3 2 31 b a 9 3 ba cxxxxf 93 23 71 f2 c 极小值 252393333 23 f 极小值为 25 9 3 ba2 c 18 解 1 令 解得 9 63 2 xxxf0 x f 31 xx或 所以函数的单调递减区间为 xf 3 1 2 因为 218128 2 aaf 2218128 2 aaf 所以因为在 1 3 上 所以在 1 2 上单调递增 又由 2 2 ff0 x f xf 于在 2 1 上单调递减 因此和分别是在区间上的最大值和最 xf 2 f 1 f xf 2 2 小值 于是有 解得2022 a 2 a 故 因此 2 93 23 xxxxf 7 2931 1 f 即函数在区间上的最小值为 7 xf 2 2 19 解 1 因为函数 的图象都过点 0 所以 xf xgt0 tf 即 因为所以 0 3 att 0 t 2 ta 0 0 2 abccbttg 所以即 又因为 在点 0 处有相同的切线 所以 xf xgt tgtf 而 23 2 3 22 btatbxxgaxxf 所以 将代入上式得 因此故 2 ta tb 3 tabc 2 ta tb 3 tc 2 3 23 223223 txtxttxxyttxxtxxgxfy 当时 函数单调递减 0 3 txtxy xgxfy 由 若 若0 y tx t t 3 0 则 3 0 t xtt 则 由题意 函数在 1 3 上单调递减 则 xgxfy 所以 3 3 1 3 3 1 t tt t 或 3 9 3 3 3 tt t t或即或 又当时 函数在 1 3 上单调递减 39 t xgxfy 所以 的取值范围为t 3 9 20 解 1 从而 32 f xxbxcx 2 32fxxbxc 是一 322 32 g xf xfxxbxcxxbxc 32 3 2 xbxcb xc 个奇函数 所以得 由奇函数定义得 0 0g 0c 3b 2 由 知 从而 由此可知 3 6g xxx 2 36g xx 和是函数是单调递增区间 2 2 g x 是函数是单调递减区间 2 2 g x 在时 取得极大值 极大值为 在时 取得极小值 极小值为 g x2x 4 2 g x2x 4 2 21 解 设长方体的宽为 m 则长为 m 高为xx2 2 3 0 m 35 4 4 1218 xx x h 故长方体的体积为 2 3 06935 42 3322 xmxxxxxV 从而 1 18 35 4 1818 2 xxxxxxV 令 解得 舍去 或 因此 0 xV0 x1 x1 x 当时 当时 10 x 0 xV 2 3 1 x 0 xV 故在处取得极大值 并且这个极大值就是的最大值 1 x xV xV 从而最大体积 此时长方体的长为 2 m 高为 1 5 m 332 1619 mxVV 答 当长方体的长为 2 m 时 宽为 1 m 高为 1 5 m 时 体积最大 最大体积为 3 3m 22 解 1 因为函数在区间 内分别有一个极值点 所以 32 11 32 f xxaxbx 11 13 在 内分别有一个实根 2 fxxaxb 0 11 13 设两实根为 则 且 于是 12 xx 12 xx 2 21 4xxab 21 04xx 且当 即 时等号成 2 044ab 2 0416ab 1 1x 23x 2a 3b 立 故的最大值是 16 2 4ab 2 解法一 由知在点处的切线 的方程是 1 1fab f x 1 1 f l 即 1 1 1 yffx 21 1 32 yab xa 因为切线 在点处空过的图象 l 1 Af x yf x 所以在两边附近的函数值异号 则 21 1 32 g xf xab xa 1x 不是的极值点 1x g x 而 且 g x 32 1121 1 3232 xaxbxab xa 22 1 1 1 1 g xxaxbabxaxaxxa 若 则和都是的极值点 11 a 1x 1xa g x 所以 即 又由 得 故 11 a 2a 2 48ab 1b 32 1 3 f xxxx 解法二 同解法一得 21 1 32 g xf xab xa 2 133 1 1 2 322 a xxxa 因为切线 在点处穿过的图象 所以在两边附近的函