自相关函数与偏自相关函数

1 自相关函数与偏自相关函数自相关函数与偏自相关函数 上一节介绍了随机过程的几种模型 实际中单凭对时间序列的观察很难确定其属于哪一 种模型 而自相关函数和偏自相关函数是分析随机过程和识别模型的有力工具 1 自相关函数定义 在给出自相关函数定义之前先介绍自协方差函数概念 由第一节知随机过程 t x 中的 每一个元素 t x t 1 2 都是随机变量 对于平稳的随机过程 其期望为常数 用 表 示 即 t E x 1 2 t 随机过程的取值将以 为中心上下变动 平稳随机过程的方差也是一个常量 2 tx Var x 1 2 t 2 x 用来度量随机过程取值对其均值 的离散程度 相隔 k 期的两个随机变量 t x与 t k x 的协方差即滞后 k 期的自协方差自协方差 定义为 ktt ktt k Cov x xE xx 自协方差序列 k 0 1 2 k 称为随机过程 t x 的自协方差函数 当 k 0 时 2 0 tx Var x 自相关系数定义 tt k k tt k Cov x x Var xVar x 因为对于一个平稳过程有 2 tt kx Var xVar x 所以 22 0 tt kkk k xx Cov x x 当 k 0 时 有 0 1 以滞后期 k 为变量的自相关系数列 k 0 1 2 k 称为自相关函数 因为 kk 即 t kt Cov xx tt k Cov x x 自相关函数是零对称的 所以实际研究中只给出自相关 函数的正半部分即可 2 2 自回归过程的自相关函数 1 平稳 AR 1 过程的自相关函数 AR 1 过程 11ttt xxu 1 已知 0 t E x why 用 t k x 同乘上式两侧 t x t k x 11tt ktt k x xu x 上式两侧同取期望 k 11k 其中 0 tt k E u x why 由于 xt ut 1 ut 1 12 ut 2 所以 xt k ut k 1 ut k 1 12 ut k 2 而 ut是白噪音与其 t k 期及以前各项都不相关 两侧同除 0 得 2 111210 k kkk 因为 o 1 所以有 k 1 k 0k 对于平稳序列有 所以当 1为正时 自相关函数按指数衰减至零 当 1为负 时 自相关函数正负交错地指数衰减至零 见下图 因为对于经济时间序列 1一般为正 所以第一种情形常见 指数衰减至零的表现形式说明随着时间间隔的加长 变量之间的关系 变得越来越弱 2 0 2 4 6 8 2468101214 8 4 0 4 2468101214 1 0 1 情形即非平稳和强非平稳过程的自相关函数如下图 3 4 3 2 1 0 1 2 3 4 2468101214 1 5 1 0 0 5 0 0 0 5 1 0 1 5 2468101214 1 1 强非平稳过程 1 随机游走过程 2 AR p 过程的自相关函数 用 t k x k 同乘平稳的 p 阶自回归过程 1122tttptpt xxxxu 的两侧 得 1122t ktt ktt ktpt ktpt kt xxxxxxxxxu 对上式两侧分别求期望得 k 1122kkpkp k 0 用 0分别除上式的两侧得 Yule Walker 方程 k 1 k 1 2 k 2 p k p k 0 令 2 12 1 1 1 p p pi i LLLLG L 其中 L 为 k 的滞后算子 这里 1 i G i 1 2 p 是特征方程 0L 的根 为保证随机过程的平稳性 要求1 i G 则 12 12 10 p iipi GGG 也即 12 12 kkkkp iiipi GGGG 可证 1122 kkk kpp AGAGA G 其中 Ai i 1 p 为待定常数 提示 可把 式代入到 Yule Walker 方程中证明 由 式知道会遇到如下几种情形 当 i G为实数时 式中的 k ii AG将随着 k 的增加而几何衰减至零 称为指数衰减 当 i G和 j G表示一对共轭复数时 设 i Gabi j Gabi 22 ba R 则 i G j G的极座标形式是 cossin i GRi cossin j GRi 4 若 AR p 过程平稳 则1 i G 所以必有 R 2 4 ARMA 1 1 过程的自相关函数 ARMA 1 1 过程的自相关函数 k 从 1开始指数衰减 1的大小取决于 1和 1 1 的符号取决于 1 1 若 1 0 指数衰减是平滑的 或正或负 若 1 0 相关函数为 正负交替式指数衰减 6 对于 ARMA p q 过程 p q 2 时 自相关函数的表现形式比较复杂 可能是指数衰 减 正弦衰减或二者的混合衰减 5 相关图 correlogram 或估计的自相关函数 样本自相关函数 对于一个有限时间序列 x1 x2 xT 用样本平均数 x T 1 T t t x 1 估计总体均值 用样本方差 s2 2 1 1 T t t xx T 估计总体方差 x2 当用样本矩样本矩估计随机过程的自相关函数 则称其为相关图或估计的自相关函数 记为 rk 0 C Ck k 0 1 2 K K 1 时 0 kk 所以 AR 1 过程的偏自相关函数特征是在 k 1 出现峰值 11 1 然后截尾 0 8 0 6 0 4 0 2 0 0 0 2 0 4 0 6 0 8 2468101214 0 8 0 6 0 4 0 2 0 0 0 2 0 4 0 6 0 8 2468101214 11 0 11 2 时 0 kk 偏自相关函数在滞后期 2 以后有截尾特性 9 对于 AR p 过程 当 k p 时 0 kk 当 k p 时 0 kk 偏自相关函数在滞后期 p 以后有截尾特性 因此可用此特征识别 AR p 过程的阶数 对于 MA 1 过程 t x t u 1 ut 1 有 1 1 1 L t x t u 1 1 L 12 L2 t x t u t x 1