数学必修二第二章经典测试题(含答案)

必修二第二章综合检测题必修二第二章综合检测题 一 选择题 1 若直线 a 和 b 没有公共点 则 a 与 b 的位置关系是 A 相交 B 平行 C 异面 D 平行或异面 2 平行六面体 ABCD A1B1C1D1中 既与 AB 共面也与 CC1共 面的棱的条数为 A 3 B 4 C 5 D 6 3 已知平面 和直线 l 则 内至少有一条直线与 l A 平行 B 相交 C 垂直 D 异面 4 长方体 ABCD A1B1C1D1中 异面直线 AB A1D1所成的角 等于 A 30 B 45 C 60 D 90 5 对两条不相交的空间直线 a 与 b 必存在平面 使得 A a b B a b C a b D a b 6 下面四个命题 其中真命题的个数为 若直线 a b 异面 b c 异面 则 a c 异面 若直线 a b 相交 b c 相交 则 a c 相交 若 a b 则 a b 与 c 所成的角相等 若 a b b c 则 a c A 4 B 3 C 2 D 1 7 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别是线段 A1B1 B1C1上的不与端点重合的动点 如果 A1E B1F 有下面四个 结论 EF AA1 EF AC EF 与 AC 异面 EF 平面 ABCD 其中一定正确的有 A B C D 8 设 a b 为两条不重合的直线 为两个不重合的平面 下列命题中为真命题的是 A 若 a b 与 所成的角相等 则 a b B 若 a b 则 a b C 若 a b a b 则 D 若 a b 则 a b 9 已知平面 平面 l 点 A A l 直线 AB l 直线 AC l 直线 m n 则下列四种位置关系中 不一定成立的是 A AB m B AC m C AB D AC 10 已知正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别为 BB1 CC1 的中点 那么直线 AE 与 D1F 所成角的余弦值为 A B C D 4 5 3 5 3 4 3 5 11 已知三棱锥 D ABC 的三个侧面与底面全等 且 AB AC BC 2 则以 BC 为棱 以面 BCD 与面 BCA 为面的 3 二面角的余弦值为 A B C 0 D 3 3 1 3 1 2 12 如图所示 点 P 在正方形 ABCD 所在平面外 PA 平面 ABCD PA AB 则 PB 与 AC 所成的角是 A 90 B 60 C 45 D 30 2 填空题 3 13 下列图形可用符号表示为 14 正方体 ABCD A1B1C1D1中 二面角 C1 AB C 的平面角 等于 15 设平面 平面 A C B D 直线 AB 与 CD 交 于点 S 且点 S 位于平面 之间 AS 8 BS 6 CS 12 则 SD 16 将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A BD C 有如下四个结论 AC BD ACD 是等边三角形 AB 与平面 BCD 成 60 的角 AB 与 CD 所成的角是 60 其中正确结论的序号是 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 如下图 在三棱柱 ABC A1B1C1中 ABC 与 A1B1C1都 为正三角形且 AA1 面 ABC F F1分别是 AC A1C1的中点 求证 1 平面 AB1F1 平面 C1BF 2 平面 AB1F1 平面 ACC1A1 18 如图所示 在四棱锥 P ABCD 中 PA 平面 ABCD AB 4 BC 3 AD 5 DAB ABC 90 E 是 CD 的中点 1 证明 CD 平面 PAE 2 若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的 角相等 求四棱锥 P ABCD 的体积 19 如图所示 边长为 2 的等边 PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面 BC 2 M 为 BC 的中点 2 1 证明 AM PM 2 求二面角 P AM D 的大小 20 如图 棱柱 ABC A1B1C1的侧面 BCC1B1是菱形 B1C A1B 1 证明 平面 AB1C 平面 A1BC1 2 设 D 是 A1C1上的点 且 A1B 平面 B1CD 求 A1D DC1的 值 21 如图 ABC 中 AC BC AB ABED 是边长为 1 的正方形 2 2 平面 ABED 底面 ABC 若 G F 分别是 EC BD 的中点 1 求证 GF 底面 ABC 2 求证 AC 平面 EBC 3 求几何体 ADEBC 的体积 V 22 如下图所示 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 AC 3 BC 4 AB 5 AA1 4 点 D 是 AB 的中点 1 求证 AC BC1 2 求证 AC1 平 面 CDB1 3 求异面直线 AC1与 B1C 所成角的余弦值 必修二第二章综合检测题必修二第二章综合检测题 1 D 2 C AB 与 CC1为异面直线 故棱中不存在同时与 两者平行的直线 因此只有两类 第一类与 AB 平行与 CC1相交的有 CD C1D1 与 CC1平行且与 AB 相交的有 BB1 AA1 第二类与两者都相交的只有 BC 故共有 5 条 3 C 当直线 l 与平面 斜交时 在平面 内不存在与 l 平行的 直线 A 错 当 l 时 在 内不存在直线与 l 异面 D 错 当 l 时 在 内不存在直线与 l 相交 无论哪种情形在平面 内 都有无数条直线与 l 垂直 4 D 由于 AD A1D1 则 BAD 是异面直线 AB A1D1所成 的角 很明显 BAD 90 5 B 对于选项 A 当 a 与 b 是异面直线时 A 错误 对于选 项 B 若 a b 不相交 则 a 与 b 平行或异面 都存在 使 a b B 正确 对于选项 C a b 一定有 a b C 错误 对于选项 D a b 一定有 a b D 错误 6 D 异面 相交关系在空间中不能传递 故 错 根据等 角定理 可知 正确 对于 在平面内 a c 而在空间中 a 与 c 可以平行 可以相交 也可以异面 故 错误 7 D 如图所示 由于 AA1 平面 A1B1C1D1 EF 平面 A1B1C1D1 则 EF AA1 所以 正确 当 E F 分别是线段 A1B1 B1C1的中点时 EF A1C1 又 AC A1C1 则 EF AC 所以 不正确 当 E F 分别不是线段 A1B1 B1C1的中点时 EF 与 AC 异面 所以 不正确 由于平面 A1B1C1D1 平面 ABCD EF 平面 A1B1C1D1 所以 EF 平面 ABCD 所以 正确 8 D 选项 A 中 a b 还可能相交或异面 所以 A 是假命题 选项 B 中 a b 还可能相交或异面 所以 B 是假命题 选项 C 中 还可能相交 所以 C 是假命题 选项 D 中 由于 a 则 a 或 a 则 内存在直线 l a 又 b 则 b l 所以 a b 9 C 如图所示 AB l m AC l m l AC m AB l AB 10 3 5 11 C 取 BC 中点 E 连 AE DE 可证 BC AE BC DE AED 为二面角 A BC D 的平面角 又 AE ED AD 2 AED 90 故选 C 2 12 B 将其还原成正方体 ABCD PQRS 显见 PB SC ACS 为正三角形 ACS 60 13 AB14 45 如图所示 正方体 ABCD A1B1C1D1中 由于 BC AB BC1 AB 则 C1BC 是二面角 C1 AB C 的平面角 又 BCC1是等腰直角三角形 则 C1BC 45 15 9 如下图所示 连接 AC BD 则直线 AB CD 确定一个平面 ACBD AC BD 则 解得 SD 9 AS SB CS SD 8 6 12 SD 16 如图所示 取 BD 中点 E 连接 AE CE 则 BD AE BD CE 而 AE CE E BD 平面 AEC AC 平面 AEC 故 AC BD 故 正确 设正方形的边长为 a 则 AE CE a 2 2 由 知 AEC 90 是直二面角 A BD C 的平面角 且 AEC 90 AC a ACD 是等边三角形 故 正确 由题意及 知 AE 平面 BCD 故 ABE 是 AB 与平面 BCD 所成的角 而 ABE 45 所以 不正确 分别取 BC AC 的中点为 M N 连接 ME NE MN 则 MN AB 且 MN AB a ME CD 且 1 2 1 2 ME CD a 1 2 1 2 EMN 是异面直线 AB CD 所成的角 在 Rt AEC 中 AE CE a AC a 2 2 NE AC a MEN 是正三角形 EMN 60 故 正 1 2 1 2 确 17 1 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 F F1分别是 AC A1C1的中点 B1F1 BF AF1 C1F 又 B1F1 AF1 F1 C1F BF F 平面 AB1F1 平面 C1BF 2 在三棱柱 ABC A1B1C1中 AA1 平面 A1B1C1 B1F1 AA1 又 B1F1 A1C1 A1C1 AA1 A1 B1F1 平面 ACC1A1 而 B1F1 平面 AB1F1 平面 AB1F1 平面 ACC1A1 18 1 如图所示 连接 AC 由 AB 4 BC 3 ABC 90 得 AC 5 又 AD 5 E 是 CD 的中点 所以 CD AE PA 平面 ABCD CD 平面 ABCD 所以 PA CD 而 PA AE 是平面 PAE 内的两条相交直线 所以 CD 平面 PAE 2 过点 B 作 BG CD 分别与 AE AD 相交于 F G 连接 PF 由 1 CD 平面 PAE 知 BG 平面 PAE 于是 BPF 为直线 PB 与平面 PAE 所成的角 且 BG AE 由 PA 平面 ABCD 知 PBA 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的 角 AB 4 AG 2 BG AF 由题意 知 PBA BPF 因为 sin PBA sin BPF 所以 PA BF PA PB BF PB 由 DAB ABC 90 知 AD BC 又 BG CD 所以四边 形 BCDG 是平行四边形 故 GD BC 3 于是 AG 2 在 Rt BAG 中 AB 4 AG 2 BG AF 所以 BG 2 BF 于是 PA BF AB2 AG25 AB2 BG 16 2 5 8 5 5 8 5 5 又梯形 ABCD 的面积为 S 5 3 4 16 所以四棱锥 1 2 P ABCD 的体积为 V S PA 16 1 3 1 3 8 5 5 128 5 15 19 解析 1 证明 如图所示 取 CD 的中点 E 连接 PE EM EA PCD 为正三角形 PE CD PE PDsin PDE 2sin60 3 平面 PCD 平面 ABCD PE 平面 ABCD 而 AM 平面 ABCD PE AM 四边形 ABCD 是矩形 ADE ECM ABM 均为直角三角形 由勾股定理可求 得 EM AM AE 3 EM2 AM2 AE2 AM EM 36 又 PE EM E AM 平面 PEM AM PM 2 解 由 1 可知 EM AM PM AM PME 是二面角 P AM D 的平面角 tan PME 1 PME 45 PE EM 3 3 二面角 P AM D 的大小为 45 20 1 因为侧面 BCC1B1是菱形 所以 B1C BC1 又已知 B1C A1B 且 A1B BC1 B 所以 B1C 平面 A1BC1 又 B1C 平面 AB1C 所以平面 AB1C 平面 A1BC1 2 设 BC1交 B1C 于点 E 连接 DE 则 DE 是平面 A1BC1与平面 B1CD 的交线 因为 A1B 平面 B1CD A1B 平面 A1BC1 平面 A1BC1 平面 B1CD DE 所以 A1B DE 又 E 是 BC1的中点 所以 D 为 A1C1的中点 即 A1D DC1 1 21 解 1 证明 连接 AE 如下图所示 ADEB 为正方形 AE BD F 且 F 是 AE 的中点 又 G 是 EC 的中点 GF AC 又 AC 平面 ABC GF 平面 ABC GF 平面 ABC 2 证明 ADEB 为正方形 EB AB 又 平面 ABED 平面 ABC 平面 ABED 平面 ABC AB EB 平面 ABED BE 平面 ABC BE AC 又 AC BC AB CA2 CB2 AB2 AC BC 2 2 又 BC BE B AC 平面 BCE 3 取 AB 的中点 H 连 GH BC AC AB 2 2 2 2 CH AB 且 CH 又平面 ABED 平面 ABC 1 2 GH 平面 ABCD V 1 1 3 1 2 1 6 22 解析 1 证明 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 底面三边长 AC 3 BC 4 AB 5 AC BC