高一必修二经典立体几何专项练习题

高一必修二经典立体几何专项练习题高一必修二经典立体几何专项练习题 空间中直线与平面 平面与平面之间的位置关系空间中直线与平面 平面与平面之间的位置关系 1 直线与平面有三种位置关系 1 直线在平面内 有无数个公共点 2 直线与平面相交 有且只有一个公共点 3 直线在平面平行 没有公共点 指出 直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 可用 a 来表示 a a A a 2 2 2 直线 平面平行的判定及其性质直线 平面平行的判定及其性质 2 2 1 直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定 1 直线与平面平行的判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行 则该直线与此平面平行 简记为 线线平行 则线面平行 线线平行 则线面平行 符号表示 a b a a b 2 2 2 平面与平面平行的判定平面与平面平行的判定 1 两个平面平行的判定定理 一个平面内的两条交直线与另一个平面平行 则 这两个平面平行 符号表示 a b abp a b 2 判断两平面平行的方法有三种 1 用定义 2 判定定理 3 垂直于同一条直线的两个平面平行 2 2 3 2 2 4 直线与平面 平面与平面平行的性质直线与平面 平面与平面平行的性质 1 直线与平面平行的性质定理 一条直线与一个平面平行 则过这条直线的任 一平面与此平面的交线与该直线平行 简记为 线面平行则线线平行 线面平行则线线平行 符号表示 a a a b b 作用 利用该定理可解决直线间的平行问题 2 两个平面平行的性质定理 如果两个平行的平面同时与第三个平面相交 那 么它们的交线平行 符号表示 aab b 作用 可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2 3 直线 平面垂直的判定及其性质 2 3 1 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定 1 定义 如果直线 L 与平面 内的任意一条直线都垂直 我们就说直线 L 与 平面 互相垂直 记作 L 直线 L 叫做平面 的垂线 平面 叫做直线 L 的垂面 如图 直线与平面垂直时 它们唯一公共点 P 叫做垂足 P a L 2 直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直 则该直线与此平面垂直 注意点 a 定理中的 两条相交直线 这一条件不可忽视 b 定理体现了 直线与平面垂直 与 直线与直线垂直 互相转化 的数学思想 2 3 2 平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定 1 二面角的概念 表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l B 2 二面角的记法 二面角 l 或 AB 3 两个平面互相垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线 则这两个平 面垂直 2 3 3 2 3 4 直线与平面 平面与平面垂直的性质直线与平面 平面与平面垂直的性质 1 直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 2 两个平面垂直的性质定理 两个平面垂直 则一个平面内垂直于交线的直 线与另一个平面垂直 17 本题 15 分 如图 ABCD 是正方形 O 是正方形的中心 PO底面 ABCD E 是 PC 的中点 求证 1 PA 平面 BDE 2 平面 PAC平面 BDE D AB C O E P 16 本题 10 分 如图所示 在直三棱柱中 分别为 111 CBAABC 90ABC 1 CCBC MN 的中点 1 BB 11C A 求证 11 ABCCB平面 求证 1 ABCMN平面 18 本题 12 分 已知四棱锥 P ABCD 底面 ABCD 是 边长为的菱形 又 60 AaABCDPD底面 且 PD CD 点 M N 分别是棱 AD PC 的中点 1 证明 DN 平面 PMB 2 证明 平面 PMB平面 PAD 3 求点 A 到平面 PMB 的距离 N M B P D C A 16 本题 10 分 如图所示 在直三棱柱中 111 CBAABC 分别为 90ABC 1 CCBC MN 1 BB 的中点 11C A 求证 11 ABCCB平面 求证 1 ABCMN平面 解析 在直三棱柱中 111 CBAABC 侧面 底面 且侧面 底面 CCBB 11 ABCCCBB 11 ABCBC 90 即 ABCBCAB 平面 ABCCBB 11 平面 2 分 1 CBCCBB 11 ABCB 1 1 BCCC 1 CCBC 11 BCC B是正方形 11 CBBC 4 分 11 ABCCB平面 取的中点 连 5 分 1 ACFBFNF 在 中 是中点 11C AANF 又 1 AANF 1 2 1 AANF 6 分 1 AABM 1 2 1 AABM BMNF BMNF 故四边形是平行四边形 8 分BMNFBFMN 而 面 平面 面 10 分BF 1 ABCMN 1 ABC MN 1 ABC 18 本题 12 分 已知四棱锥 P ABCD 底面 ABCD 是 边长为的菱形 又 60 Aa 且 PD CD 点 M N 分别是棱 AD PC 的中点 ABCDPD底面 1 证明 DN 平面 PMB 2 证明 平面 PMB平面 PAD 3 求点 A 到平面 PMB 的距离 解析 1 证明 取 PB 中点 Q 连结 MQ NQ 因为 M N 分别是棱 AD PC 中点 所以 QN BC MD 且 QN MD 于是 DN MQ PMBDN PMBDN PMBMQ MQDN 平面 平面 平面 4 分 2 MBPD ABCDMB ABCDPD 平面 平面 又因为底面 ABCD 是 边长为的菱形 且 M 为中点 60 AaAD 所以 又所以 ADMB PADMB平面 8 分 PADPMB PMBMB PADMB 平面平面 平面 平面 3 因为 M 是 AD 中点 所以点 A 与 D 到平面 PMB 等距离 过点 D 作于 H 由 2 平面 PMB平面 PAD 所PMDH 以 PMBDH平面 故 DH 是点 D 到平面 PMB 的距离 5 5 2 5 2 a a a a DH 1717 本题 15 分 证明 1 O 是 AC 的中点 E 是 PC 的中点 OE AP 4 分 又 OE平面 BDE PA平面 BDE PA 平面 BDE 7 分 2 PO底面 ABCD POBD 10 分 又 ACBD 且 ACPO O BD平面 PAC 而 BD平面 BDE 13 分 平面 PAC平面 BDE 15 分 当点为对角线的中点时 点的坐标是 因为点在线段上 设 当时 的最小值为 即点在棱的中点时 有最小值 因为在对角线上运动 是定点 所以