高中物理复习——弹簧专题

1 一 一 轻弹簧轻弹簧 类问题类问题 在中学阶段 凡涉及的弹簧都不考虑其质量 称之为 轻弹簧 是一种常见的理想化 物理模型 由于 轻弹簧 质量不计 选取任意小段弹簧 其两端所受张力一定平衡 否则 这小段弹簧的加速度会无限大 故轻弹簧中各部分间的张力处处相等 均等于弹簧两端的受 力 弹簧一端受力为 另一端受力一定也为 若是弹簧秤 则弹簧秤示数为 FFF 例 1 如图 3 7 1 所示 一个弹簧秤放在光滑的水平面上 外 壳质量不能忽略 弹簧及挂钩质量不计 施加弹簧上水平方向m 的力和称外壳上的力 且 则弹簧秤沿水平方向的 1 F 2 F 12 FF 加速度为 弹簧秤的读数为 解析 以整个弹簧秤为研究对象 利用牛顿运动定律得 即 12 FFma 12 FF a m 仅以轻质弹簧为研究对象 则弹簧两端的受力都 所以弹簧秤的读数为 1 F 1 F 说明 作用在弹簧秤外壳上 并没有作用在弹簧左端 弹簧左端的受力是由外壳内侧提 2 F 供的 答案 12 FF a m 1 F 二 质量不可忽略的弹簧二 质量不可忽略的弹簧 例 2 如图 3 7 2 所示 一质量为 长为的均质弹ML 簧平放在光滑的水平面 在弹簧右端施加一水平力使弹簧F 向右做加速运动 试分析弹簧上各部分的受力情况 解析 弹簧在水平力作用下向右加速运动 据牛顿第二 定律得其加速度 取弹簧左部任意长度为研究对象 设其质量为得弹簧上的弹力 F a M xm 为 x xFx TmaMF LML 答案 x x TF L 三 弹簧的弹力不能突变弹簧的弹力不能突变 弹簧弹力瞬时弹簧弹力瞬时 问题问题 弹簧 尤其是软质弹簧 弹力与弹簧的形变量有关 由于弹簧两端一般与物体连接 因 弹簧形变过程需要一段时间 其长度变化不能在瞬间完成 因此弹簧的弹力不能在瞬间发 生突变 即可以认为弹力大小和方向不变 与弹簧相比较 轻绳和轻杆的弹力可以突变 例 3 如图 3 7 3 所示 木块与用轻弹簧相连 竖直放在木块上 ABC 三者静置于地面 的质量之比是 1 2 3 设所有接触面都光滑 当沿ABC 水平方向迅速抽出木块的瞬时 木块和的加速度分别是 与CAB A a B a 解析 由题意可设的质量分别为 以木块为研究对象 ABC 23mm m A 抽出木块前 木块受到重力和弹力一对平衡力 抽出木块的瞬时 木CAC 块受到重力和弹力的大小和方向均不变 故木块的瞬时加速度为 0 以木AA 块为研究对象 由平衡条件可知 木块对木块的作用力 AB CB3 CB Fmg 以木块为研究对象 木块受到重力 弹力和三力平衡 抽出木块的瞬时 木BB CB FC 块受到重力和弹力的大小和方向均不变 瞬时变为 0 故木块的瞬时合外力为 竖B CB FC3mg 直向下 瞬时加速度为 1 5g 答案 0 说明 区别于不可伸长的轻质绳中张力瞬间可以突变 例 4 如图 3 7 4 所示 质量为的小球用水平弹簧连接 并m 用倾角为的光滑木板托住 使小球恰好处于静止状态 当 0 30AB 图 3 7 4 图 3 7 2 图 3 7 1 图 3 7 3 2 突然向下撤离的瞬间 小球的加速度为 AB A 0 B 大小为 方向竖直向下 2 3 3 g C 大小为 方向垂直于木板向下 2 3 3 g D 大小为 方向水平向右 2 3 3 g 解析 末撤离木板前 小球受重力 弹簧拉力 木板支持力GF 作用而平衡 如图 3 7 5 所示 有 N F cos N mg F 撤离木板的瞬间 重力和弹力保持不变 弹簧弹力不能突变 GF 而木板支持力立即消失 小球所受和的合力大小等于撤之前的 N FGF 三力平衡 方向与相反 故加速度方向为垂直木板向下 大 N F N F 小为 2 3 cos3 N Fg ag m 答案 C 四 弹簧长度的变化问题四 弹簧长度的变化问题 设劲度系数为的弹簧受到的压力为时压缩量为 弹簧受到的拉力为时伸长k 1 F 1 x 2 F 量为 此时的 号表示弹簧被压缩 若弹簧受力由压力变为拉力 弹簧长度将 2 x 1 F 2 F 由压缩量变为伸长量 长度增加量为 由胡克定律有 1 x 2 x 12 xx 11 Fkx 22 Fkx 则 即 2121 FFkxkx Fk x 说明 弹簧受力的变化与弹簧长度的变化也同样遵循胡克定律 此时表示的物理意义是x 弹簧长度的改变量 并不是形变量 例 5 如图 3 7 6 所示 劲度系数为的轻质弹簧两端分别与质量为 1 k 的物块 1 2 拴接 劲度系数为的轻质弹簧上端与物块 2 拴接 1 m 2 m 2 k 下端压在桌面上 不拴接 整个系统处于平衡状态 现将物块 1 缓慢地竖 直上提 直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面 在此过程中 物块 2 的重 力势能增加了 物块 1 的重力势能增加了 解析 由题意可知 弹簧长度的增加量就是物块 2 的高度增加量 2 k 弹簧长度的增加量与弹簧长度的增加量之和就是物块 1 的高度增加 2 k 1 k 量 由物体的受力平衡可知 弹簧的弹力将由原来的压力变为 0 弹簧的弹力 2 k 12 mmg 1 k 将由原来的压力变为拉力 弹力的改变量也为 所以 弹簧的伸长 1 m g 2 m g 12 mmg 1 k 2 k 量分别为 和 12 1 1 mmg k 12 2 1 mmg k 故物块 2 的重力势能增加了 物块 1 的重力势能增加了 2 212 2 1 m mmg k 2 112 12 11 m mmg kk 答案 2 212 2 1 m mmg k 2 112 12 11 m mmg kk 五 弹簧形变量可以代表物体的位移五 弹簧形变量可以代表物体的位移 弹簧弹力满足胡克定律 其中为弹簧的形变量 两端与物体相连时亦即物Fkx xx 图 3 7 5 图 3 7 6 3 体的位移 因此弹簧可以与运动学知识结合起来编成习题 例 6 如图 3 7 7 所示 在倾角为的光滑斜面上有两个用轻质 弹簧相连接的物块 其质量分别为 弹簧的劲度系AB AB mm 数为 为一固定挡板 系统处于静止状态 现开始用一恒力kC 沿斜面方向拉使之向上运动 求刚要离开时的加速度FABCA 和从开始到此时的位移 重力加速度为 aAdg 解析 系统静止时 设弹簧压缩量为 弹簧弹力为 分析 1 x 1 F 受力可知 A 11 sin A Fkxm g 解得 1 sin A m g x k 在恒力作用下物体向上加速运动时 弹簧由压缩逐渐变为伸长状态 设物体刚要FAB 离开挡板时弹簧的伸长量为 分析物体的受力有 解得C 2 xB 2 sin B kxm g 2 sin B m g x k 设此时物体的加速度为 由牛顿第二定律有 Aa 2 sin AA Fm gkxm a 解得 sin AB A Fmmg a m 因物体与弹簧连在一起 弹簧长度的改变量代表物体的位移 故有 即AA 12 dxx sin AB mmg d k 答案 sin AB mmg d k 六 弹力变化的运动过程分析六 弹力变化的运动过程分析 弹簧的弹力是一种由形变决定大小和方向的力 注意弹力的大小与方向时刻要与当时的 形变相对应 一般应从弹簧的形变分析入手 先确定弹簧原长位置 现长位置及临界位置 找出形变量与物体空间位置变化的几何关系 分析形变所对应的弹力大小 方向 弹性x 势能也是与原长位置对应的形变量相关 以此来分析计算物体运动状态的可能变化 结合弹簧振子的简谐运动 分析涉及弹簧物体的变加速度运动 往往能达到事半功倍的 效果 此时要先确定物体运动的平衡位置 区别物体的原长位置 进一步确定物体运动为简 谐运动 结合与平衡位置对应的回复力 加速度 速度的变化规律 很容易分析物体的运动 过程 例7 如图3 7 8所示 质量为的物体用一轻弹簧与下方地面上质量mA 也为的物体相连 开始时和均处于静止状态 此时弹簧压缩量为mBAB 一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮 一端连接物体 另一端握在手 0 xAC 中 各段绳均刚好处于伸直状态 物体上方的一段绳子沿竖直方向且足A 够长 现在端施加水平恒力使物体从静止开始向上运动 整个过程弹CFA 簧始终处在弹性限度以内 1 如果在端所施加的恒力大小为 则在物体刚要离开地面时物体C3mgB 的速度为多大 A 2 若将物体的质量增加到 为了保证运动中物体始终不离开地面 则最大不超B2mBF 过多少 解析 由题意可知 弹簧开始的压缩量 0 mg x k 物体刚要离开地面时弹簧的伸长量也是 B 0 mg x k 1 若 在弹簧伸长到时 物体离开地面 此时弹簧弹性势能与施力前相等 3Fmg 0 xB 所做的功等于物体增加的动能及重力势能的和 FA 图 3 7 7 图 3 7 8 4 即 得 2 0 1 22 2 Fxmgxmv 0 2 2vgx 2 所施加的力为恒力时 物体不离开地面 类比竖直弹簧振子 物体在竖直方向 0 FBA 上除了受变化的弹力外 再受到恒定的重力和拉力 故物体做简谐运动 A 在最低点有 式中为弹簧劲度系数 为在最低点物体的加速度 001 Fmgkxma k 1 aA 在最高点 物体恰好不离开地面 此时弹簧被拉伸 伸长量为 则 B 0 2x 002 2 kxmgFma 而 简谐运动在上 下振幅处 解得 0 kxmg 12 aa 0 3 2 mg F 也可以利用简谐运动的平衡位置求恒定拉力 物体做简谐运动的最低点压缩量为 0 FA 0 x 最高点伸长量为 则上下运动中点为平衡位置 即伸长量为所在处 由 0 2x 0 0 2 x mgkF 解得 0 3 2 mg F 答案 0 2 2gx 3 2 mg 说明 区别原长位置与平衡位置 和原长位置对应的形变量与弹力大小 方向 弹性势能相 关 和平衡位置对应的位移量与回复大小 方向 速度 加速度相关 八 弹力做功与弹性势能的变化问题八 弹力做功与弹性势能的变化问题 弹簧伸长或压缩时会储存一定的弹性势能 因此弹簧的弹性势能可以与机械能守恒规律 综合应用 我们用公式计算弹簧势能 弹簧在相等形变量时所具有的弹性势能相 2 1 2 P Ekx 等一般是考试热点 弹簧弹力做功等于弹性势能的减少量 弹簧的弹力做功是变力做功 一般可以用以下四 种方法求解 1 因该变力为线性变化 可以先求平均力 再用功的定义进行计算 2 利用图线所包围的面积大小求解 Fx 3 用微元法计算每一小段位移做功 再累加求和 4 根据动能定理 能量转化和守恒定律求解 由于弹性势能仅与弹性形变量有关 弹性势能的公式高考中不作定量要求 因此 在求 弹力做功或弹性势能的改变时 一般从能量的转化与守恒的角度来求解 特别是涉及两个物 理过程中的弹簧形变量相等 时 往往弹性势能的改变可以抵消或替代求解 例 10 如图 3 7 13 所示 挡板固定在足够高的水平桌面上 P 物块和大小可忽略 它们分别带有和的电荷量 质AB A Q B Q 量分别为和 两物块由绝缘的轻弹簧相连 一个不可伸长的 A m B m 轻绳跨过滑轮 一端与连接 另一端连接轻质小钩 整个装置B 处于场强为 方向水平向左的匀强电场中 开始时静止 已知弹簧的劲度系数为EAB 不计一切摩擦及 间的库仑力 所带电荷量保持不变 不会碰到滑轮 kABABB 1 若在小钩上挂质量为的物块并由静止释放 可使物块对挡板的压力恰为零 MCAP 但不会离开 求物块下降的最大距离 PCh 2 若的质量为 则当刚离开挡板时 的速度多大 C2MAPB 解析 通过物理过程的分析可知 当物块刚离开挡板时 弹力恰好与所受电场APA 力平衡 弹簧伸长量一定 前后两次改变物块质量 在第 2 问对应的物理过程中 弹C 簧长度的变化及弹性势能的改变相同 可以替代求解 图 3 7 13 5 设开始时弹簧压缩量为 由平衡条件 可得 1 x 1B kxQ E 1 B Q E x k 设当刚离开挡板时弹簧的伸长量为 由 可得 A 2 x 2A kxQ E 2 A Q E x k 故下降的最大距离为 C 12 hxx 由 三式可得 AB E hQQ k 2 由能量守恒定律可知 物块下落过程中 重力势能的减少量等于物块电势能的CCB 增量和弹簧弹性势能的增量以及系统动能的增量之和 当的质量为时 有 CM B MgHQ EhE 弹 当的质量为时 设刚离开挡板时的速度为 则有 C2MABv 2 1 2 2 2 BB MgHQ EhEMmv 弹 由 三式可得刚离开时的速度为 APB 2 2 AB B MgE QQ v kMm 答案 1 2 AB E hQQ k 2 2 AB B MgE QQ v kMm 例 11 如图 3 7 14 所示 质量为的物体经一轻质弹簧与下方地面上 1 mA 的质量为的物体相连 弹簧的劲度系数为 物体都处于静止状态 一 2 mBkAB 不可伸长的轻绳一端绕过轻滑轮连接物体 另一端连接一轻挂钩 开始时各A 段绳都处于伸直状态 物体上方的一段绳沿竖直方向 现给挂钩挂一质量为A 的物体并从静止释放 已知它恰好能使物体离开地面但不继续上升 2 mCB 若将物体换成另一质量为的物体 仍从上述初始位置由静止释C 12 mm D 放 则这次物体刚离地时物体的速度大小是多少 已知重力加速度为BDg 解析 开始时物体静止 设弹簧压缩量为 则有 AB 1 x 11 kxm g 悬挂物体并释放后 物体向下 物体向上运动 设物体刚要离地时弹簧伸长量为CCAB 有 2 x 22 kxm g 不再上升表明此时物体的速度均为零 物体己下降到其最低点 与初状态相比 BA CC 由机械能守恒得弹簧弹性势能的增加量为 212112 Em g xxm g xx 物体换成物体后 物体离地时弹簧势能的增量与前一次相同 由能量关系得 CDB 联立上式解得题中所求速度为 22 2112112112 11 22 mm vmvmm g xxm g xxE 2 112 12 2 2 m mmg v mm k 答案 2 112 12 2 2 m mmg v mm k 说明 研究对象的选择 物理过程的分析 临界条件的应用 能量转化守恒的结合往往在 一些题目中需要综合使用 九 弹簧弹力的双向性九 弹簧弹力的双向性 弹簧可以伸长也可以被压缩 因此弹簧的弹力具有双向性 亦即弹力既可能是推力又可 能是拉力 这类问题往往是一题多解 例 12 如图 3 7 15 所示 质量为的质点与三根相同的轻弹簧相连 m 静止时相邻两弹簧间的夹角均为 已知弹簧对质点的作用力均 0 120ab 图 3 7 14 图 3 7 15 6 为 则弹簧对质点作用力的大小可能为 Fc A B 0Fmg C D Fmg mgF 解析 由于两弹簧间的夹角均为 弹簧对质点作用力的合力仍为 弹簧 0 120ab F 对质点有可能是拉力 也有可能是推力 因与的大小关系不确定 故上述四个选ab Fmg 项均有可能 正确答案 ABCD 答案 ABCD 十 弹簧振子十 弹簧振子 弹簧振子的位移 速度 加速度 动能和弹性势能之间存在着特殊关系 弹簧振子类问 题通常就是考查这些关系 各物理量的周期性变化也是考查的重点 十一 弹簧串 并联组合十一 弹簧串 并联组合 弹簧串联或并联后劲度系数会发生变化 弹簧组合的劲度系数可以用公式计算 高中 物理不要求用公式定量分析 但弹簧串并联的特点要掌握 弹簧串联时 每根弹簧的弹力相 等 原长相同的弹簧并联时 每根弹簧的形变量相等 例 14 如图 3 7 17 所示 两个劲度系数分别为的轻弹簧竖直悬挂 12 kk 下端用光滑细绳连接 并有一光滑的轻滑轮放在细线上 滑轮下端挂一重为 的物体后滑轮下降 求滑轮静止后重物下降的距离 G 解析 两弹簧从形式上看似乎是并联 但因每根弹簧的弹力相等 故两弹 簧实为串联 两弹簧的弹力均 可得两弹簧的伸长量分别为 2 G 1 1 2 G x k 两弹簧伸长量之和 故重物下降的高度为 2 2 2 G x k 12 xxx 12 12 24 G kkx h k k 答案 12 12 4 G kk k k 十三 物体沿弹簧螺旋运动十三 物体沿弹簧螺旋运动 例 16 如图 3 7 19 所示 长度为的光滑钢丝绕成高度为的弹簧 将LH 弹簧竖直放置 一中间有孔的小球穿过钢丝并从弹簧的最高点由静止释放 A 求经多长时间小球沿弹簧滑到最低点 B 解析 小球沿光滑弹簧下滑时机械能守恒 可以假想在不改变弹簧上各 处倾角的条件下将弹簧拉成一条倾斜直线 如图 3 7 20 所示 小球沿此直 线下滑的时间与题中要求的时间相等 小球沿直线下滑的加速度为 sinag 由几何知识可得 由位移公式可知 联立上式解得 sin H L 2 1 2 Lat 2 tL gH 答案 2 L gH 弹簧类模型中的最值问题弹簧类模型中的最值问题 在高考复习中 常常遇到有关 弹簧类 问题 由于弹簧总是与其他物体直接或间接 地联系在一起 弹簧与其 关联物 之间总存在着力 运动状态 动量 能量方面的联系 因此学生普遍感到困难 本文就此类问题作一归类分析 一 最大 最小拉力问题一 最大 最小拉力问题 图 3 7 17 图 3 7 18 图 3 7 20 图 3 7 19 7 例 1 一个劲度系数为 k 600N m 的轻弹簧 两端分别连接着质量均为 m 15kg 的物体 A B 将它们竖直静止地放在水平地面上 如图 1 所示 现加一竖直向上的外力 F 在物体 A 上 使物体 A 开始向上做匀加速运动 经 0 5s B 物体刚离开地面 设整个加速过程弹 簧都处于弹性限度内 且 g 10m s2 求此过程中所加外力的最大和最小值 图 1 解析 开始时弹簧弹力恰等于 A 的重力 弹簧压缩量 0 5s 末 B 物 l mg k m 025 体刚要离开地面 此时弹簧弹力恰等于 B 的重力 故对 A 物体有 llm 025 代入数据得 刚开始时 F 为最小且2 1 2 2 lat am s 4 2 B 物体刚要离开地面时 F 为最大且有FmaNN min 15460 解得 Fmgmgma max FmgmaN max 2360 二 最大高度问题二 最大高度问题 例 2 如图 2 所示 质量为 m 的钢板与直立弹簧的上端连接 弹簧下端固定在地面上 平衡时弹簧的压缩量为 一物体从钢板正上方距离为的 A 处自由下落打在钢板上 x03 0 x 并立即与钢板一起向下运动 但不粘连 它们到达最低点后又向上运动 已知物块质量也 为 m 时 它们恰能回到 O 点 若物体质量为 2m 仍从 A 处自由下落 则物块与钢板回到 O 点 时还有向上的速度 求物块向上运动到达的最高点与 O 点的距离 图 2 8 解析 物块碰撞钢板前作自由落体运动 设表示物块与钢板碰撞时的速度 则 v0 vgx 00 6 物块与钢板碰撞后一起以 v1速度向下运动 因碰撞时间极短 碰撞时遵循动量守恒 即 mvmv 01 2 刚碰完时弹簧的弹性势能为 当它们一起回到 O 点时 弹簧无形变 弹性势能为Ep 0 根据机械能守恒有 Em vmgx p 1 2 22 1 2 0 设表示质量为 2m 的物块与钢板碰撞后开始向下运动的速度 由动量守恒有 v2 23 02 mvmv 碰撞后 当它们回到 O 点时具有一定速度 v 由机械能守恒定律得 Em vmgxm v p 1 2 33 1 2 3 2 2 0 2 当质量为 2m 的物块与钢板一起回到 O 点时两者分离 分离后 物块以 v 竖直上升 其 上升的最大高度 h v g 2 2 解 式可得 h x 0 2 三 最大速度 最小速度问题三 最大速度 最小速度问题 例 3 如图 3 所示 一个劲度系数为 k 的轻弹簧竖直立于 水平地面上 下端固定于地面 上端与一质量为 m 的平板 B 相连而处于静止状态 今有另 一质量为 m 的物块 A 从 B 的正上方 h 高处自由下落 与 B 发生碰撞而粘在一起 已知它们 共同向下运动到速度最大时 系统增加的弹性势能与动能相等 求系统的这一最大速度 v 图 3 9 解析 A 下落到与 B 碰前的速度 v1为 vgh 1 2 A B 碰后的共同速度 v2为 mvmm v 12 B 静止在弹簧上时 弹簧的压缩量为 x0 且 mgkx 0 A B 一起向下运动到最大速度 v 时的位移为 x 此时 A B 的加速度为 0 即有 2 0 mgk xx 由机械能守恒得 2 1 2 2 1 2 2 2 22 mgxm vm vEp Em v p 1 2 2 2 解 得 v mg k gh 2 1 4 例 4 在光滑水平面内 有 A B 两个质量相等的木块 中间用轻质mmkg AB 2 弹簧相连 现对 B 施一水平恒力 F 如图 4 所示 经过一段时间 A B 的速度等于 5m s 时 恰好一起做匀加速直线运动 此过程恒力做功为 100J 当 A B 恰好一起做匀加速运动时 撤除恒力 在以后的运动过程中求木块 A 的最小速度 图 4 解析 当撤除恒力 F 后 A 做加速度越来越小的加速运动 弹簧等于原长时 加速度 等于零 A 的速度最大 此后弹簧压缩到最大 当弹簧再次回复原长时速度最小 根据动 量守恒得 2mvmvmv AB 根据机械能守恒得 100 1 2 1 2 22 mvmv AB 由以上两式解得木块 A 的最小速度 v 0 四 最大转速和最小转速问题四 最大转速和最小转速问题 例 5 有一水平放置的圆盘 上面放一个劲度系数为 k 的轻弹簧 其一端固定于轴 O 上 10 另一端系着质量为 m 的物体 A 物体 A 与盘面间最大静摩擦力为 Ffm 弹簧原长为 L 现将 弹簧伸长后置于旋转的桌面上 如图 5 所示 问 要使物体相对于桌面静止 圆盘转 L 速 n 的最大值和最小值各是多少 图 5 解析 当转速 n 较大时 静摩擦力与弹簧弹力同向 即 k LFmnLL fm 2 1 2 n k LF m LL fm 1 1 2 当转速 n 较小时 静摩擦力与弹簧弹力反向 即 k LFmnLL fm 2 2 2 n k LF m LL fm 2 1 2 所以圆盘转速 n 的最大值和最小值分别为 1 2 k LF m LL