高数一知识点

1 第一章第一章 第三章第三章 一 极限一 极限 数列极限lim n n x 函数极限 lim x f x lim x f x lim x f x 0 lim xx f x 0 lim xx f x 0 lim xx f x 求极限 主要方法 1 00 sin1 lim1 lim 1 lim 1 x x xxx x exe xx 等价无穷小替换 P76 当时 0 x 2 sin tan arcsin arctan 1 1 cos ln 1 1 2 1 ln 0 1 0 x x xxxxxxxx xxxxex axa axx 代换时要注意 只有乘积因子才可以代换 3 洛必达法则 只有可以直接用罗比达法则 00 0 0 0 1 0 0 0 幂指函数求极限 幂指函数求极限 lim ln lim v x v xu x u xe 或 令 两边取对数 若 则 v xyu x ln ln yv xu x lim ln v xu xa lim v x a u xe 结合变上限函数求极限 结合变上限函数求极限 二 连续二 连续 0 0 lim xx f xf x 左 右连续 00 00 lim lim xxxx f xf xf xf x 函数连续函数既左连续又右连续 闭区间上连续函数性质 最值 有界 零点 结合证明题 介值 推论 三 导数三 导数 0 000 0 0 0 limlim xxx f xf xf xxf x fx xxx A A A 左导数 0 000 0 0 0 limlim xxx f xf xf xxf x fx xxx A A A 2 右导数 0 000 0 0 0 limlim xxx f xf xf xxf x fx xxx A A A 微分 yAxzdyAdxy dx 可导连续 可导可微 可导既左可导又右可导 求导数 复合函数链式法则 dydy du yf uug xfu g x dxdu dx yf g xyfg xg xfg xf g x 隐函数求导法则 两边对求导 注意 是的函数 xy y x 3 参数方程求导 dydy dxt xtyt dxdtdtt 2 2 dt ddy d ydtt dt dx dx dxt dt 四 导数的应用四 导数的应用 罗尔定理和拉格朗日定理 证明题 单调性 导数符号 极值 第一充分条件和第二充分条件 最值 3 凹凸性 二阶导数符号 拐点 曲线上的点 二维坐标 曲线在该点两侧有不同 凹凸性 第四章第四章 不定积分不定积分 原函数原函数 不定积分 F xf x f x dxF xC 基本性质基本性质 或 d f x dxf x dx d f x dxf x dx 或 F x dxF xc dF xF xC 分项积分 dxdxd f xg xf xg xx d d k f xxkf xx 基本积分公式基本积分公式 1 2 dk xkxC 1 1 1d 1 xxxC 3 3 4 1 ln dxxC x dx xx eeC 5 6 x ln d x x a aC a dcossinx xxC 7 8 dsincosx xxC 2 sectadnx xxC 9 10 2 dcsccotx xxC dsxec tansecxxxC 11 12 dxcsc cotcscxxxC 2 arcsin 1 dx xC x 13 2 arctan 1 dx xC x 除了上述基本公式之外 还有几个常用积分公式 1 2 tanln cos xdxxC cotln sin xdxxC 3 4 secln sectan xdxxxC cscln csccot xdxxxC 5 6 22 11 arctan x dxC axaa 22 arcsin dxx C a ax 7 8 22 11 ln 2 xa dxC xaaxa 2 2222 arcsin 22 axx ax dxaxC a 9 22 22 ln dx xxaC xa 求不定积分的方法求不定积分的方法 1 直接积分法 恒等变形 利用不定积分的性质 直接使用基本积分公式 2 换元法 第一类换元法 凑微分法 d fxxxf u duF uCFxC 第二类换元法 变量代换法 注意回代 ddf xxftttF tCFxC 换元的思想 dd xtftt dttx f xxftttg t dtF tCFxC 主要有幂代换 三角代换 倒代换 3 分部积分法 uv dxudvuvvduuvu vdx 的优先选取顺序为 指数函数 三角函数 幂函数 v 4 第五章第五章 定积分定积分 一 概念一 概念 1 定义 01 1 lim max n b iii ai n i f x dxfxx 2 性质 设 在区间上可积 则定积分有以下的性质 xf xg ba 1 abdx b a 2 b a b a b a dxxgndxxfmdxxgnxmf 3 b c c a b a dxxfdxxfdxxf 4 若在上 则 a b 0 xf0 b a dxxf 推论 1 若在上 则 a b f xg x bb aa f x dxg x dx 推论 2 b a b a dxxfdxxf ab 5 若函数在区间上可积 且 则 xf ba Mxfm abMdxxfabm b a 6 定积分中值定理 设在区间上连续 则存在 使 xf ba ba abfdxxf b a 3 积分上限函数及其性质 x a f t dt 1 或 xfdttf dx d x a xfdttf x a 2 如果 则 0 x dttfx 0 x dttfx xxf 3 如果 x x xf t dt 则 x x xf t dt fxxfxx 4 广义积分 1 无穷限积分 a f x dx lim t at f x dx 收敛 极限存在 发散 极限不存在 5 b dxxf lim b tt f x dx 收敛 极限存在 发散 极限不存在 收敛的充分必要条件是反常积分 同时收敛 dxxf 0 f x dx 0 f x dx 并且在收敛时 有 dxxf 0 f x dx 0 f x dx 2 瑕积分 为瑕点 a lim bb aa ta f x dxf x dx 收敛 极限存在 发散 极限不存在 为瑕点 b lim bb aa tb f x dxf x dx 收敛 极限存在 发散 极限不存在 为瑕点 则收敛 与均收敛 并且在收敛时 有c b a dxxf c a dxxf b c dxxf b a dxxf c a dxxf b c dxxf 二 计算二 计算 一 定积分的计算 1 微积分基本公式 设函数在区间上连续 且 则 xf ba xfxF 牛顿 莱布尼兹 N L 公式 aFbFdxxf b a 2 换元法 设函数在区间上连续 函数满足 xf ba tx 在区间上可导 且连续 t 当时 则 a b t bax dtttfdxxf b a 3 分部积分法 或 bb b a aa uv dxuvu vdx bb b a aa udvuvvdu 4 偶倍奇零 设函数在区间上连续 则 xf aa 0 0 2 a a a fxf x f x dx f x dxfxf x 5 22 00 cossin xdxxdx nn 12 2 12 2 2 2 12 kn kn k k k k 6 6 分段函数的定积分 二 与积分上限函数相关的计算 三 广义积分的计算 依据定义先求原函数 再求极限 三 定积分的应用三 定积分的应用 一 几何应用 1 平面图形的面积 1 直角坐标 b a dd dx bb aa Af xxAf xg xx 上曲线 下曲线 或 dy dydy ddd ccc AyAyy 右曲线 左曲线 2 参数方程 若与及 x 轴所围成的面积 xt yt xa xb Att dt 分别是曲边的起点的横坐标与终点的横坐标的参数值 3 极坐标 由曲线所围的曲边扇形 rr 的面积 2 1 2 Ard 2 旋转体的体积 1 直角坐标 由曲线与轴所围曲边梯形绕轴旋转一 yf x xa xb ab xx 周的旋转体的体积 22 bb aa Vfx dxfx dx 由曲线与轴所围曲边梯形绕轴旋转一周 xyyc yd cd yy 的旋转体的体积 22 dd cc Vy dyy dy 2 参数方程 由与及 x 轴所围成的图形绕 x 由旋转一周的旋转 xt yt xa xb 体的体积 2 Vtt dt 3 平面曲线的弧长 积分限从小到大 1 直角坐标 2 1 b a sfxdx 2 参数方程 22 sx ty tdt 3 极坐标 22 srrd 二 物理应用 步骤 建立坐标系 选择积分变量 求出功的微元或压力微元 求定积分 7 xO a a x y 2a O x y O aa a O x y a a a 阿基米德螺线 心形线 cos1 ar 双纽线 摆线 2cos 22 ar cos1 sin ay ax 第六章第六章 微分方程微分方程 一一 内容小结 内容小结 一 概念 微分方程 阶 通解 特解 初始条件 初值问题 线性相关 线性无关 二 解的结构 齐次线性 0 yP x yQ x y 非齐次线性 yP x yQ x yf x 1 是 的解 则也是 的解 若线性无关 则 12 yy 1122 yC yC y 12 yy 为 的通解 1122 yC yC y 2 是 的解 则是对应齐次线性方程的解 12 yy 12 yy 是 的通解 是 的解 则是 的通解Y y Yy 三 解方程 判别类型 确定解法 一阶 二阶 二 一阶微分方程求解二 一阶微分方程求解 8 1 可分离变量方程 或 或 yf x g y g y dyf x dx 1122 0Mx Ny dyMx Ny dx 解法 先分离变量 两边再同时积分 2 齐次方程 则 y yf x 解法 令 y u x yuxu 或者 解法 dxx f dyy 令 x u y dxdu u dydy 3 一阶线性微分方程 齐次线性 0 P x dx yP x yyCe 非齐次线性 P x dxP x dx yP x yQ xyeQ x edx C 三 二阶微分方程求解三 二阶微分方程求解 一 可降阶情形 1 yf x 2 不显含 y 的二阶方程 yf x y 解法 ypyppf x p 令则原方程化为 3 不显含 x 的二阶方程 yf y y 解法 dpdp ypyppf y p dydy 令则原方程化为 二 二阶线性微分方程 1 二阶常系数齐次线性微分方程 其中为常数 0 ypyqy p q 特征方程 2 0rprq 特征根 12 rr 且为实根 则微分方程通解为