简谐振动模型

第二讲第二讲 简谐振动模型简谐振动模型 教学目标教学目标 1 掌握简谐振动模型一弹簧振子 2 学习计算简谐振动模型单摆的周期 知识点一知识点一 弹簧振子弹簧振子 1 定义 物体和弹簧所组成的系统 条件 理想化 物体看成质点 忽略弹簧质量 忽略摩擦力 2 回复力 指向平衡位置的合外力提供 回复力 左图 弹簧弹力提供回复力 小球的平衡位置为 O 在 AB 两点间做简谐振动 振幅为 OA 0B 右图 弹簧弹力和重力的合力提供回复力 3 周期 由振子质量和弹簧的劲度系数共同决定 与振幅无关 2 m T K 运动规律包含振幅与周期 例 如图所示 是一弹簧振子 设向右方向为正 O 为平衡位置 则下列说法不正确的是 A A O 位移为负值 速度为正值 B O B 时 位移为正值 加速度为负值 C B O 时 位移为负值 速度为负值 D O A 时 位移为负值 加速度为正值 例 弹簧振子做简谐运动的振动图像如图 2 所示 在 t1 至 t2 这段时间内 A 振子的速度方向和加速度方向都不变 B 振子的速度方向和加速度方向都改变 C 振子的速度方向改变 加速度方向不变D 振子的速度方向不变 加速度方向改变 例 同一个弹簧振子从平衡位置被分别拉开 5cm 和 2cm 松手后均作简谐运动 则它们的振幅之比 A1 A2 最 大加速度之比 a1 a2 振动周期之比 T1 T2 回复力 例 如图所示 物体 A 放在物体 B 上 B 与弹簧相连 它们在光滑水平面上一起做简谐运动 当弹簧伸长到最长时开 始记时 t 0 取向右为正方向 A 所受静摩擦力 f 随时间 t 变化的图象正确的是 例 如图所示 斜面体 M 放在粗糙水平面上 弹簧的一端固定在墙面上 另一端与放在斜面上的物块 m 相连 弹簧的轴线与斜面平行 若物块在斜面上做简谐振动 斜面体保持静止 则斜面体对物块的摩擦力 f 与时间 t 的关 系图象应是下图中的哪一个 例 光滑的水平面上放有质量分别为和两木块 下方木块与一劲度系数为的弹簧相连 弹簧的另一端mm 2 1 固定在墙上 如图所示 已知两木块之间的最大静摩擦力为 为使这两个木块组成的系统能像一个整体一样地振 动 系统的最大振幅为 A B C D 针对训练 质量为 M 的物体 B 上放一质量为 m 的物体 A B 与弹簧相连 如图所示 它们一起在光滑的水平面 上做简谐振动 振动过程中 A B 之间无相对运动 设弹簧的劲度系数为 K 当物体离开平衡位置的位移是 x 时 A B 间摩擦力的大小是多少 针对训练 如图所示 物体 A 置于物体 B 上 一轻质弹簧一端固定 另一端与 B 相连 在弹性限度范围内 A 和 B 一起在光滑水平面上作往复运动 不计空气阻力 始终保持相对静止 则下列说法正确的是 A A 和 B 均作简谐运动 B 作用在 A 上的静摩擦力大小与弹簧的形变量成正比 C B 对 A 的静摩擦力对 A 做功 而 A 对 B 的静磨擦力对 B 不做功 D B 对 A 的静摩擦力始终对 A 做正功 而 A 对 B 的静摩擦力始终对 B 做负功 针对训练 如图所示 斜面体 M 的底面粗糙 斜面光滑 放在粗糙水平面上 弹簧的一端固定在墙面上 另一 端与放在斜面上的物块 m 相连 弹簧的轴线与斜面平行 若物块在斜面上做简谐运动 斜面体保持静止 则地面 对斜面体的摩擦力 f 与时间 t 的关系图象应是下图中的哪一个 振幅与对称性 例 劲度系数为 k 的轻质弹簧 下端挂一个质量为 m 的小球 小球静止时距地面高为 h 用力向下拉小球 使小 球与地面接触 而后从静止放开小球 弹簧始终在弹性限度以内 则下列说法中不正确的是 A 球在运动过程中距地面的最大高度为 2h B 球在上升过程中势能不断减小 C 球距地面高度为 h 时 速度最大 D 球在运动过程中的最大加速度是 kh m 例 如图所示 B 与弹簧固定 A 放在 B 上 A B 的质量分别为 1kg 2kg 现用力 F 向下压 A 平衡后 撤去 F 要使 AB 在上升的过程中不分离 F 最大值为 A 10N B 20N C 30N D 40N 例 如图甲所示 劲度系数为 k 的轻弹簧竖直放置 下端固定在水平地面上 一质量为 m 的小球 从离弹簧上 端高 h 处自由下落 接触弹簧后继续向下运动 若以小球开始下落的位置 O 点为坐标原点 设竖直向下为正方向 小球的速度 v 随时间 t 变化的图象如图乙所示 其中 OA 段为直线 AB 段是与 OA 相切于 A 点的曲线 BC 是平滑 的曲线 则关于小球的运动过程 下列说法正确的是 A 0 AA ahx B 0 BB a k mg hx C ga k mg hx CC 2 D ga k mg hx CC 2 例 如图所示 质量为 m 的小球放在劲度为 k 的轻弹簧上 使小球上下振动而又始终未脱离弹簧 试求 1 最大振幅 A 是多大 2 在这个振幅下弹簧对小球的最大弹力 Fm 是多大 答 例 如图所示 两木块质量分别为 m 和 M 用劲度系数为 k 的轻弹簧连在一起 放在水平面上 将木块 1 压下 一段距离后释放 它就上下振动 在振动过程中木块 2 刚好始终不离开地面 即它对地面的最小压力为零 求 1 木块 1 的最大加速度 2 木块 2 对地面的最大压力 例 质量为 M 的托盘内放有质量为 m 的物块开始时手托住托盘 弹簧的劲度系数为 K 弹簧处于自然长 现放 手让托盘向下运动 则当系统运动到最低点时的加速度和物块对托盘的压力 针对训练 如图所示 弹簧下端挂一质量为 m 的物体 物体在竖直方向上做振幅为 A 的简谐运动 当物体振动 到最高点时 弹簧正好为原长 则物体在振动过程中 A 物体在最低点时的弹力大小应为 2mg B 弹簧的弹性势能和物体动能总和不变 C 弹簧的最大弹性势能等于 2mgA D 物体的最大动能应等于 mgA 针对训练 如图所示 质量分别为 mA 2 kg 和 mB 3 kg 的 A B 两物块 用劲度系数为 k 的轻弹簧相连后竖直 放在水平面上 今用大小为 F 45 N 的力把物块 A 向下压而使之处于静止 突然撤去压力 则 A 物块 B 有可能离开水平面 B 物块 B 不可能离开水平面 C 只要 k 足够小 物块 B 就可能离开水平面 D 只要 k 足够大 物块 B 就可能离开水平面 m M 1 2 针对训练 如图所示 质量为 m 的木块放在弹簧上 与弹簧一起在竖直方向上做简谐运动 振幅为 A 1 物体对弹簧的最大压力是物体重力的 1 5 倍 则物体对弹簧的最小压力是多大 2 物体对弹簧的最大压力是物体重力的 2 倍 则物体对弹簧的最小压力是多大 针对训练 如图所示 竖直悬挂的亲弹簧下端系着两物体 A B 系统静止时弹簧 伸长 15cm 若剪断 AB 间的细绳 A 做简谐振动 其最大加速度和振幅是多少 针对训练 如图所示 在质量为 m0的无下底的木箱顶部用一轻弹簧悬挂质量均为 m m0 m 的 A B 两物体 箱 子放在水平地面上 平衡后剪断 A B 间的连线 A 将做简谐运动 当 A 运动到最高点时 木箱对地面的压力为 A m0g B m0 m g C m0 m g D m0 2m g 振动与动能定理 例 如图所示 一水平弹簧振子在光滑水平面上的 B C 两点间做简谐振动 O 为平衡位置 已知振子由完全相 同的 P Q 两部分组成 彼此拴接在一起 当振子运动到 B 点的瞬间 将 P 拿走 则以后 Q 的运动和拿走 P 之前 比较有 A Q 的振幅增大 通过 O 点时的速率增大 B Q 的振幅减小 通过 O 点时的速率减小 C Q 的振幅不变 通过 O 点时的速率增大 D Q 的振幅不变 通过 O 点时的速率减小 例 如图所示为一个竖直放置的弹簧振子物体沿竖直方向在 A B 之间做简谐振动 O 点为平衡位置 A 点位置 恰好为弹簧的原长 物体由 C 点运动到 D 点 C D 两点未在图上标出 的过程中 弹簧的弹性势能增加了 3 0J 重力势能减少了 2 0J 对于这段过程有如下说法正确的是 A 物体的动能增加 1 0J B C 点的位置可能在平衡位置以上 C D 点的位置可能在平衡位置以上 D 物体经过 D 点时的运动方向可能指向平衡位置 针对训练 如图所示 一根轻弹簧左端固定 右端系一物块 物块置于摩擦不能忽略的水平面上 现将弹簧压缩 到 A 点后释放 物块运动到 B 点时速度变为零 O 为弹簧处于自然长度时的位置 AB 距离为 x 物块从 A 到 B 的过程中 弹簧弹力的大小 F 物块加速度的大小 a 物块速度的大小 物块和弹簧组成的系统机械能 E 随物块 的位移 x 变化的图像可能是 x x x a x o o oo 2 0 x 2 0 x 2 0 x 2 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x FE ABC D m B A m A O B 针对训练 如图所示 水平桌面上的轻质弹簧一端固定 另一端与小物块相连 弹簧处于自然长度时物块位于 O 点 图中未标出 物块的质量为 m AB a 物块与桌面间的动摩擦因数为 现用水平向右的力将物块从 O 点拉至 A 点 拉力做的功为 W 撤去拉力后物块由静止向左运动 经 O 点到达 B 点时速度为零 重力加速度为 g 则上述过 程中 A 物块在 A 点时 弹簧的弹性势能等于 1 2 Wmga B 物块在 B 点时 弹簧的弹性势能小于 3 2 Wmga C 经 O 点时 物块的动能等于Wmga D 物块动能最大时弹簧的弹性势能小于物块在 B 点时弹簧的弹性势能 知识点二 单摆 定义 在细线的一端挂上一个小球 另一端固定在悬点上 如果线的伸缩和质量可以忽略 球的直径比线长短得多 这样的装置叫做单摆 这是一种理想化的模型 一般情况下细线 杆 下接一个小球的装置都可作为单摆 振幅 OA OB 回复力 重力的分力 L 为悬点到球心间的距离 g L T 2 运动规律 例 一单摆做小角度摆动 其振动图象如图所示 以下说法正确的是 A t1 时刻摆球速度最大 悬线对它的拉力最小 B t2 时刻摆球速度为零 悬线对它的拉力最小 C t3 时刻摆球速度为零 悬线对它的拉力最大 D t4 时刻摆球速度最大 悬线对它的拉力最大 例 如图所示 单摆摆球的质量为 m 做简谐运动的周期为 T 摆球从最大位移 A 处由静止开始释放 摆球运动 到最低点 B 时的速度为 v 则 A 摆球从 A 运动到 B 的过程中重力做的功为B 摆球从 A 运动到 B 的过程中重力的平均功率为 2 2 mv T mv2 C 摆球运动到 B 时重力的瞬时功率是 mgv D 摆球运动到 B 时重力的瞬时功率是零 例 图甲是利用沙摆演示简谐运动图象的装置 当盛沙的漏斗下面的薄木板被水平匀速拉出时 做简谐运动的漏 斗漏出的沙在板上形成的曲线显示出沙摆的振动位移随时间的变化关系 已知木板被水平拉动的速度为 20cm s 图 乙所示的一段木板的长度为 0 80m 则这次实验沙摆的摆长为 取 g 2 A 0 56m B 0 65m C 1 00m D 2 25m 例 如图 两个单摆摆长相等 平衡时两摆球刚好接触 现在将摆球 A 在两摆球所在的平面内向左拉开一小角度 后释放 碰撞后两个摆球各自做简谐运动 以 mA 和 mB 分别表示两球质量 则 A 如果 mA mB 下一次碰撞将发生在平衡位置右侧 B 如果 mA mB 下一次碰撞将发生在平衡位置左侧 C 无论两摆球的质量关系如何 下一次碰撞都不可能发生在平衡位置右侧 D 无论两摆球的质量关系如何 下一次碰撞都不可能发生在平衡位置左侧 例 如下图所示 AC 为一段很短的光滑圆弧轨道 其所对圆心角小于 5 D 为 AC 上的一点 现将同一小球先后从 C D 两点由静止释放 到达 A 点的速度分别为 1 2 所用时间为 t1 t2 则应有 A 1 2 t1 t2 B 1 2 t1 t2 C 1 2 t1 t2 D 1 2 t1 t2 针对训练 一单摆的摆长为 40cm 摆球在 t 0 时刻正从平衡位置向右运动 若 g 取 10 m s2 则在 1s 时摆球的运动情况是 A 正向左做减速运动 加速度正在增大 B 正向左做加速运动 加速度正在减小 C 正向右做减速运动 加速度正在增大 D 正向右做加速运动 加速度正在减小 针对训练 如图所示 长度相等的两根悬线分别挂着刚性小球 a 和 b 它们的质量分别为 m1和 m2 a 的悬线与竖 直方向的夹角为 2 b 的悬线与竖直方向的夹有为 4 把两个小球由静止同时释放 那么 A 两个小球第一次碰撞的位置在悬点的正下方 B 两个小球第二次碰撞的位置在悬点的右方 C 两个小球第二次碰撞的位置在悬点的右方 D 两个小球第二次碰撞的位置在悬点的左方 针对训练 一块涂有碳黑的玻璃板质量为 2 在拉力 F 作用下由静止开始竖直向上作匀变速直线运动 一个装有水平振针的振动频率为 5Hz 的同定电动音叉在玻璃板上画出了如图所示的曲线 测得 OA 1cm OB 4cm OC 9cm 则外力 F N 针对训练 如下图所示 将单摆小球从静止释放的同时 高出悬点 O 的另一小球 B 做自由落体运动 结果它们 同时到达跟单摆的平衡位置 C 等高处 已知摆长为 l 偏角 10 求 B 球的初位置与单摆悬点之间的高度差 h 摆长与周期 例 有一个秒摆 摆球的质量为 50 克 当摆球的质量增加到 100 克时 它的周期是 秒 当摆长增加 3 倍时 它的振动频率是 赫兹 例 如图所示 是 A B 两单摆做简谐振动的振动图像 那么 根据图中数据可得 A 摆的摆长 L1 cm 两摆的摆长之比 L1 L2 最大摆角之比 1 2 例 如图甲 图乙所示 A B 两小球质量相等 悬挂两球的线长也 相同 A 在竖直平面内摆动 最大摆角为 B 作匀速圆锥摆运动 锥的 顶角为 2 10 则 A B 两球运动的周期之比 T1 T2以及在图示位置 时细线中的拉力之比 FA FB为 A B C D 针对训练 将一单摆向左拉至水平标志线上 从静止释放 当摆球运动到最低点时 摆线碰到障碍物 摆球继续向右摆 动 用频闪照相机拍到如图所示的单摆运动过程的频闪照片 以下说法正确的是 A 摆线碰到障碍物前后的摆长之比为 9 4B 摆线碰到障碍物前后的摆长之比为 3 2 C 摆线经过最低点时 线速度不变 半径减小 摆线张力变大 D 摆线经过最低点时 角速度变大 半径减小 摆线张力不变大 针对训练 做简谐振动的单摆摆长不变 若摆球质量增加为原来的 4 倍 摆球经过平衡位置时速度减小为原来的 1 2 则单摆振动的 A 频率 振幅都不变 B 频率 振幅都改变 C 频率不变 振幅改变 D 频率改变 振幅不变 针对训练 有一秒摆 悬点为 O 在 O 点正下方 O 处有一钉子 如图甲所示 摆球从平衡位置向左摆时摆线碰到钉 子摆长改变 从平衡位置向右摆时又变为原摆的长度 其振动图象如图乙所示 g 2 A 此摆的周期为 2 s B 悬点离钉子的距离为 0 75 m C 碰到钉子瞬间 摆球的速度大小不变D 碰钉子后 摆球的角速度增大 重力加速度与周期 例 一只计时准确的摆钟从甲地拿到了乙地 它的钟摆摆动加快了 则下列对此 现象的分析及调准方法的叙述正确的是 A g 甲 g 乙 将摆长适当增长 B g 甲 g 乙 将摆长适当缩短 C g 甲 g 乙 将摆长适当增长 D g 甲 g 乙 将摆长适当缩短 例 两个摆长相同的单摆 摆球质量之比是 4 1 在不同地域振动 当甲摆振动 4 次的同时 乙摆恰振动 5 次 则甲 乙二摆所在地区重力加速度之比为多少 例 某人在山脚下 设与海平面等高 测得一单摆的周期为 T0 在山顶上测得此单摆的周期变化了 T 设山脚处 地球的半径为 R 则此山高度为 例 将一个摆长为 L 摆球质量为 m 的单摆从海平面移到离海平面高度为 h 的山上 已知海平面的重力加速度为 g 地球半径为 R 试求 周期如何变化 为什么 变大 重力加速度变小 此时其周期为多少 等效重力加速度与周期 例 把地球上的一个秒摆 周期等于 2s 的摆称为秒摆 拿到月球上去 它的振动周期变为多少 已知地球质量 M 地 5 98 1024kg 半径 R 地 6 4 106m 月球质量 M 月 7 34 1022kg 半径 R 月 1 74 106m 例 我国探月的嫦娥工程已启动 在不久的将来 我国宇航员将登上月球 假如宇航员在月球上测得摆长为 L 的 单摆做小弧振动的周期为 T