知识点166两点间的距离公式(解答)

1 已知两点 P1 2 3 P2 4 5 求 P1 P2两点的距离 考点 两点间的距离公式 分析 求两点的长度的问题可以转化为解直角三角形的问题 此题能顺利求出 P1P2的长的关键是过 P1 P2两点分别作 x 轴 y 轴的垂线 构造出 Rt P1AP2 然后利用勾股定理求解 解答 解 如图所示 过 P1 P2分别作 x 轴 y 轴的垂线相交于 A 点 则 A 点的坐标为 A 2 5 P1A 5 3 8 P2A 2 4 6 P1P2 10 点评 本题的点的距离的问题欲求 P1与 P2之间的距离 就是要求线段 P1P2的长 过 P1作 x 轴的垂 线 过 P2作 y 轴的垂线 设两条线段交于 A 点 则 P1AP2是直角三角形 根据勾股定理 得 P1P2 2 当 m 为何值时 点 P 3m 1 m 2 到 y 轴的距离是到 x 轴距离的 3 倍 求出此时点 P 到原点的 距离 考点 两点间的距离公式 分析 点 P 3m 1 m 2 到 y 轴的距离是到 x 轴距离的 3 倍 即横坐标的绝对值是纵坐标的绝对值 的 3 倍 就得到一个关于 m 的方程 化简就可以求出 m 的值 解答 解 根据题意得到 3m 1 3 m 2 两边平方 解得 m 因而 P 的坐标是 则 OP 点评 已知点 P 3m 1 m 2 到 y 轴的距离是到 x 轴距离的 3 倍就可以得到关于 m 的方程 转化为 方程问题就是解决本题的关键 3 在直角坐标系中 ABC 满足 C 90 AC 2 BC 1 点 A C 分别在 x 轴 y 轴上 当 A 点 从原点开始在正 x 轴上运动时 点 C 随着在正 y 轴上运动 1 当 A 在原点时 求原点 O 到点 B 的距离 OB 2 当 OA OC 时 求原点 O 到点 B 的距离 OB 3 求原点 O 到点 B 的距离 OB 的最大值 并确定此时图形应满足什么条件 考点 两点间的距离公式 坐标与图形性质 专题 计算题 分析 1 根据勾股定理即可求解 2 当 OA OC 时 如图 OAC 是等腰直角三角形 过点 B 作 BE OA 于 E 过点 C 作 CD OC 且 CD 与 BE 交于点 D 再根据两点间的距离公式即可求解 3 取 AC 的中点 E 连接 OE BE 在 Rt AOC 中 OE 是斜边 AC 上的中线 所 以 证明当 O E B 在一条直线上时 OB 取到最大值时即可求解 解答 解 1 当 A 点在坐标原点时 如图 AC 在 y 轴上 BC y 轴 所以 目的是从特殊情况理解题意 考察勾股定理的基本应用与计算 2 当 OA OC 时 如图 OAC 是等腰直角三角形 AC 2 所以 1 2 45 过点 B 作 BE OA 于 E 过点 C 作 CD OC 且 CD 与 BE 交于点 D 则 3 90 ACD 90 90 45 45 又 BC 1 所以 因此 3 解法一 如图所示 设 ACO 过 C 作 CD OC 由于 BCA 90 所以 BCD 由 AC 2 BC 1 可以得 B 点的坐标 为 B cos sin 2cos 则 l2 OB2 cos2 sin 2cos 2 cos2 sin2 4sin cos 4cos2 1 2sin2 4cos2 3 2sin2 2 2cos2 1 3 2sin2 2cos2 当时 所以 解法二 如图 取 AC 的中点 E 连接 OE BE 在 Rt AOC 中 OE 是斜边 AC 上的中线 所以 在 ACB 中 BC 1 所以 若点 O E B 不在一条直线上 则 若点 O E B 在一条直线上 则 所以当点 O E B 在一条直线上时 OB 取到最大值 最大值是 当 O E B 在一条直线上时 OB 取到最大值时 从下图可见 OE 1 CEB 45 但 CE OE 1 点评 本题考查了两点间的距离公式及坐标与图形的性质 难度较大 主要是巧妙地利用了线段的 基本性质 两点间线段最短 一般地说 线段基本性质常用来求最小值 即线段 AB 长为定值时 AC BC 的最小值为 AB 此时 C 在 AB 上 这是线段基本性质的一种应用 而另一种应用往往为人 们所忽视 如果两条线段 AC 和 CB 在 C 点接在一起 AC m 与 CB n 都是定长 那么 AC BC 的最 大值为 m n 此时 C A B 三点共线 4 在平面直角坐标系中 O 为原点 1 点 A 的坐标为 3 4 求线段 OA 的长 2 点 B 的坐标为 2 2 点 C 的坐标为 5 6 求线段 BC 的长 考点 两点间的距离公式 专题 代数几何综合题 分析 1 利用两点间的距离公式 d 求解 2 在直角三角形中 根据勾股定理解答 解答 解 1 3 分 2 如图 CM 6 2 4 BM 5 2 3 则由勾股定理 得 6 分 点评 本题考查了两点间的距离公式 解答此类题目 需熟记两点间的距离公式 d 5 在直角坐标平面内 已知点 C 在 x 轴上 它到点 A 2 1 和点 B 3 4 的距离相等 求点 C 的坐标 考点 两点间的距离公式 专题 计算题 分析 设点 C 的坐标为 x 0 根据两点间的距离公式列式求解即可 两点间的距离公式 d 解答 解 设点 C 坐标为 x 0 1 分 利用两点间的距离公式 得 1 分 根据题意 得 AC BC AC2 BC2 即 x 2 2 1 x 3 2 16 2 分 解得 x 10 1 分 所以 点 C 的坐标是 10 0 1 分 点评 本题考查了两点间的距离公式 熟记公式与熟练解方程是解答本题的关键 6 在 x 轴上有一点 P 它与点 A 0 3 B 4 1 的距离相等 求点 P 的坐标 考点 两点间的距离公式 专题 计算题 分析 设点 P 的坐标为 a 0 根据两点间的距离公式列式求解即可 两点间的距离公式 d 解答 解 设点 P 的坐标为 a 0 A 0 3 B 4 1 AP BP AP BP 两边平方得 a2 9 a 4 2 1 即 8a 8 解得 a 1 点 P 的坐标是 1 0 点评 本题考查了两点间的距离公式 熟记公式是解题的关键 7 已知 如图 平面内两点 A B 的坐标分别为 4 1 1 2 1 求 A B 两点之间的距离 2 画出点 C 使得点 C 到 A B 两点的距离相等 且点 C 到 AOB 两边的距离相等 无需写画法 保留画图痕迹 考点 两点间的距离公式 作图 复杂作图 分析 1 根据两点间的距离公式进行计算 即 A x y B a b 则 AB 2 根据到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上和到角两边距离相等的点在角的平 分线上 解答 解 1 AB 2 点评 此题综合考查了两点间的距离的求法以及线段垂直平分线的性质和角平分线的性质 8 已知点 A 在 x 轴上 点 A 与点 B 1 3 的距离是 5 求点 A 的坐标 考点 两点间的距离公式 专题 计算题 分析 设点 A 的坐标为 x 0 根据两点间的距离公式列式求解即可 两点间的距离公式 d 解答 解 设点 A 的坐标为 x 0 1 分 根据题意 得 2 分 x 1 2 42 1 分 x1 5 x2 3 1 分 经检验 x1 5 x2 3 都是原方程的根 点 A 的坐标为 5 0 或 3 0 2 分 点评 本题考查了两点间的距离公式 数量掌握两点间的距离公式并熟练地解方程进行检验是解答 本题的关键 9 已知点 A 的坐标为 1 2 点 B 的坐标为 4 1 在 x 轴上求一点 C 使得点 C 到 A B 两点 的距离相等 考点 两点间的距离公式 专题 计算题 作图题 分析 根据题意 连接 AB 作 AB 的垂直平分线 交 x 轴于点 C 已知点 A 的坐标为 1 2 点 B 的坐标为 4 1 所以 可求得 AC BC 点 C 就是所求的点 解答 解 由图 已知点 A 的坐标为 1 2 点 B 的坐标为 4 1 连接 AB 作 AB 的垂直平分线 交 x 轴于点 C AC BC AC BC 点 C 就是所求的点 点评 本题主要考查了两点间的距离公式和线段的垂直平分线 掌握线段垂直平分线上的点到线段 两端点的距离相等 10 2009 滨州 根据题意 解答下列问题 1 如图 已知直线 y 2x 4 与 x 轴 y 轴分别交于 A B 两点 求线段 AB 的长 2 如图 类比 1 的求解过程 请你通过构造直角三角形的方法 求出两点 M 3 4 N 2 1 之间的距离 3 如图 P1 x1 y1 P2 x1 y2 是平面直角坐标系内的两点 求证 考点 两点间的距离公式 专题 计算题 证明题 分析 1 根据直线 y 2x 4 与 x 轴 y 轴交点的特点 与 x 轴相交时 y 0 求得 x 的值 与 y 轴 相交时 x 0 求得 y 的值 2 3 通过构造直角三角形的方法 解得 MN 与 P1P2的值 解答 解 1 由 y 0 得 x 2 所以点 A 的坐标为 2 0 故 OA 2 1 分 同理可得 OB 4 2 分 所以在 Rt AOB 中 AB 3 分 2 作 MP x 轴 NP y 轴 MP 交 NP 于点 P 4 分 则 MP NP P 点坐标为 3 1 5 分 故 PM 4 1 5 PN 3 2 5 6 分 所以在 Rt MPN 中 MN 7 分 注 若直