高考数学集合总复习-数列-综合应用

数列的综合应用数列的综合应用 答案答案 自主梳理 1 4 n 1 或 n 2 自我检测 1 C 2 B 3 C 4 C 5 B 6 9 19 课堂活动区 例 1 解题导引 1 等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点 特别是 等差 等比数列的通项公式 前 n 项和公式以及等差中项 等比中项问题是历年命题的热 点 2 利用等比数列前 n 项和公式时注意公比 q 的取值 同时对两种数列的性质 要熟悉 它们的推导过程 利用好性质 可降低题目的思维难度 解题时有时还需利用条件联立方 程求解 解 1 由已知得 Error 解得 a2 2 设数列 an 的公比为 q 由 a2 2 可得 a1 a3 2q 2 q 又 S3 7 可知 2 2q 7 2 q 即 2q2 5q 2 0 解得 q1 2 q2 1 2 由题意得 q 1 q 2 a1 1 故数列 an 的通项为 an 2n 1 2 由 1 得 a3n 1 23n bn ln a3n 1 ln 23n 3nln 2 又 bn 1 bn 3ln 2 bn 是等差数列 Tn b1 b2 bn ln 2 n b1 bn 2 3n n 1 2 故 Tn ln 2 3n n 1 2 变式迁移 1 D 设 a1 a2 a3 a4的公差为 d 则 a1 2d 4 又 0 a1 2 所以 1 d4 故 2 正 确 a4 a3 d 5 所以 b4 2a4 32 故 3 正确 又 a2 a4 2a3 8 所以 b2b4 2a2 a4 28 256 故 4 正确 例 2 解题导引 这是一道数列 函数 不等式的综合题 利用函数关系式求通项 an 观察 Tn特点 求出 Tn 由 an再求 bn从而求 Sn 最后利用不等式知识求出 m 解 1 an 1 f an 1 an 2 an 3 3 an 2 3an 3 2 3 an 是以 为公差的等差数列 2 3 又 a1 1 an n 2 3 1 3 2 Tn a1a2 a2a3 a3a4 a4a5 a2na2n 1 a2 a1 a3 a4 a3 a5 a2n a2n 1 a2n 1 a2 a4 a2n 4 3 4 3 n 5 3 4n 3 1 3 2 2n2 3n 4 9 3 当 n 2 时 bn 1 an 1an 1 2 3n 1 3 2 3n 1 3 9 2 1 2n 1 1 2n 1 又 b1 3 9 2 1 1 3 Sn b1 b2 bn 9 2 1 1 3 1 3 1 5 1 2n 1 1 2n 1 9 2 1 1 2n 1 9n 2n 1 Sn 对一切 n N 成立 m 2 001 2 即 9n 2n 1 m 2 001 2 又 递增 9n 2n 1 9 2 1 1 2n 1 且 9n 2n 1 9 2 m 2 001 2 9 2 即 m 2 010 最小正整数 m 2 010 变式迁移 2 解 1 设等比数列 an 的首项为 a1 公比为 q 依题意 有 2 a3 2 a2 a4 代入 a2 a3 a4 28 得 a3 8 a2 a4 20 Error 解之 得Error 或Error 又 an 单调递增 Error an 2n 2 bn 2n log 2n n 2n 1 2 Sn 1 2 2 22 3 23 n 2n 2Sn 1 22 2 23 3 24 n 1 2n n 2n 1 得 Sn 2 22 23 2n n 2n 1 n 2n 1 2n 1 n 2n 1 2 2 1 2n 1 2 由 Sn n m an 1 0 即 2n 1 n 2n 1 2 n 2n 1 m 2n 1 0 对任意正整数 n 恒成立 m 2n 1 2 2n 1对任意正整数 n m 1 m 1 1 2n 即 m 的取值范围是 1 例 3 解 依题意 第 1 个月月余款为 a1 10 000 1 20 10 000 20 10 300 11 500 第 2 个月月底余款为 a2 a1 1 20 a1 20 10 300 依此类推下去 设第 n 个月月底的余款为 an元 第 n 1 个月月底的余款为 an 1元 则 an 1 an 1 20 an 20 10 300 1 18an 300 下面构造一等比数列 设 1 18 则 an 1 x 1 18an 1 18x an 1 x an x an 1 1 18an 0 18x 0 18x 300 x 即 1 18 5 000 3 an 1 5 000 3 an 5 000 3 数列 an 是一个等比数列 公比为 1 18 首项 a1 11 500 5 000 3 5 000 3 5 000 3 29 500 3 an 1 18n 1 5 000 3 29 500 3 a12 1 1811 5 000 3 29 500 3 a12 1 1811 62 396 6 元 5 000 3 29 500 3 即到年底该职工共有资金 62 396 6 元 纯收入有 a12 10 000 1 25 62 396 6 12 500 49 896 6 元 变式迁移 3 解 1 设中低价房的面积形成的数列为 an 由题意可知 an 是等差数列 其中 a1 250 d 50 则 an 250 n 1 50 50n 200 Sn 250n 50 25n2 225n n n 1 2 令 25n2 225n 4 750 即 n2 9n 190 0 而 n 是正整数 n 10 到 2020 年底 该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4 750 万平方米 2 设新建住房面积形成数列 bn 由题意可知 bn 是等比数列 其中 b1 400 q 1 08 则 bn 400 1 08 n 1 由题意可知 an 0 85bn 即 50n 200 400 1 08 n 1 0 85 当 n 5 时 a50 85b6 满足上述不等式的最小正整数 n 为 6 到 2016 年底 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85 课后练习区 1 C 2 B 3 B 4 B 5 D 6 3 7 21 8 107 9 解 1 f 1 a f x x 1 分 1 3 1 3 a1 f 1 c c 1 3 a2 f 2 c f 1 c 2 9 a3 f 3 c f 2 c 2 27 又数列 an 成等比数列 a1 c a2 2 a3 4 81 2 27 2 3 1 3 c 1 2 分 公比 q an n 1 2 n n N 3 a2 a1 1 3 2 3 1 3 1 3 分 Sn Sn 1 Sn Sn 1 Sn Sn 1 n 2 4 SnSn 1 分 又 bn 0 0 1 SnSnSn 1 数列 构成一个首项为 1 公差为 1 的等差数列 Sn 1 n 1 1 n Sn n2 Sn 当 n 2 bn Sn Sn 1 n2 n 1 2 2n 1 又当 n 1 时 也适合上式 bn 2n 1 n N 6 分 2 Tn 1 b1b2 1 b2b3 1 b3b4 1 bnbn 1 1 1 3 1 3 5 1 5 7 1 2n 1 2n 1 1 2 1 1 3 1 2 1 3 1 5 1 2 1 5 1 7 10 分 1 2 1 2n 1 1 2n 1 1 2 1 1 2n 1 n 2n 1 由 Tn 得 n n 2n 1 1 000 2 009 1 000 9 满足 Tn 的最小正整数为 112 12 分 1 000 2 009 10 解 设乙企业仍按现状生产至第 n 个月所带来的总收益为 An 万元 技术改造后 生产至第 n 个月所带来的总收益为 Bn 万元 依题意得 An 45n 3 5 2n 1 43n n2 4 分 当 n 5 时 Bn 16 3 2 5 1 3 2 1 16 4 n 5 400 81n 594 8 3 2 分 当 n 5 时 Bn An n2 38n 594 令 n2 38n 594 0 即 n 19 2 955 解得 n 12 至少经过 12 个月 改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收 益 12 分 11 解 1 令 x n y 1 得到 f n 1 f n f 1 f n 2 1 2 分 f n 是首项为 公比为 的等比数列 1 2 1 2 即 f n n 5 分 1 2 2 记 Sn a1 a2 a3 an an n f n n n 6 分 1 2 S