高中数学典型例题解析三角函数3

高中数学辅导网 京翰教育 第三章第三章 基本初等函数基本初等函数 三角函数 三角函数 3 1 任意角三角函数任意角三角函数 一 知识导学一 知识导学 1 角 角可以看成由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的几何图形 角的三要素是 顶点 始边 终边 角可以任意大小 按旋转的方向分类有正角 负角 零 角 2 弧度制 任一已知角 的弧度数的绝对值 r l 其中l是以 作为圆心角时所对圆 弧的长 r为圆的半径 规定 正角的弧度数为正数 负角的弧度数为负数 零角的弧度数 为零 用 弧度 做单位来度量角的制度叫做弧度制 3 弧度与角度的换算 rad 2360 rad1745 0 180 1 1 30 57 180 rad 用弧度为单位表示角的大小时 弧度 rad 可以省略不写 度 不可省略 4 弧长公式 扇形面积公式 rl 2 2 1 2 1 rlrS 扇形 其中l为弧长 r为圆的半 径 圆的周长 面积公式是弧长公式和扇形面积公式中当 2 时的情形 5 任意角的三角函数定义 设 是一个任意大小的角 角 终边上任意一点 P 的坐标是 yx 它与原点的距离是 0 rr 那么角 的正弦 余弦 正切 余切 正割 余割 分别是 y r x r y x x y r x r y csc sec cot tan cos sin 这六个函数统 称为三角函数 6 三角函数的定义域 三角函数定义域 xysin R xycos R xytan Zkkxx 2 xycot Zkkxx 高中数学辅导网 京翰教育 xysec Zkkxx 2 xycsc Zkkxx 7 三角函数值的符号 各三角函数值在第个象限的符号如图所示 各象限注明的函数为正 其余为负值 可以简记为 一全 二正 三切 四余 为正 二 疑难知识导析二 疑难知识导析 1 在直角坐标系内讨论角 1 角的顶点在原点 始边在x轴的正半轴上 角的终边在第几象 限 就称这个角是第几象限角 或说这个角属于第几象限 它的前 提是 角的顶点为原点 角的始边为x轴的非负半轴 否则不能如此 判断某角为第几象限 若角的终边落在坐标轴上 就说这个角不属于任何象限 2 与 角终边相同的角的集合表示 Zkk 360 其中 为任意角 终边相同的角不一定相等 相等的角终边一 定相同 终边相同的角有无数多个 它们相差 360整数倍 2 值得注意的几种范围角的表示法 0 90间的角 指 900 第一象限角 可表示为 Zkkk 90360360 小于 90 的角 可表示为 90 3 在弧度的定义中 r l 与所取圆的半径无关 仅与角的大小有关 4 确定三角函数的定义域时 主要应抓住分母为零时比值无意义这一关键 当终边在坐标 轴上时点 P 坐标中必有一个为 0 5 根据三角函数的定义可知 1 一个角的三角函数值只与这个角的终边位置有关 即 角 与 360Zkk 的同名三角函数值相等 2 ryrx 故有 1sin 1cos 这是三角函数中最基本的一组不等关系 6 在计算或化简三角函数关系式时 常常需要对角的范围以及相应三角函数值的正负情况 进行讨论 因此 在解答此类问题时要注意 1 角的范围是什么 2 对应角的三角函 数值是正还是负 3 与此相关的定义 性质或公式有哪些 三 经典例题导讲三 经典例题导讲 例例 1 1 若 A B C 是ABC 的三个内角 且 2 CCBA 则下列结论中正确的个数 是 CAsinsin CAcotcot CAtantan CAcoscos A 1 B 2 C 3 D 4 错解错解 CA CAsinsin CAtantan 故选 B 错因错因 三角形中大角对大边定理不熟悉 对函数单调性理解不到位导致应用错误 高中数学辅导网 京翰教育 正解正解 法 1CA 在ABC 中 在大角对大边 ACacsinsin 法 2 考虑特殊情形 A 为锐角 C 为钝角 故排除 B C D 所以选 A 例例 2 2 已知 角的终边关于y轴对称 则 与 的关系为 错解错解 角的终边关于y轴对称 22 k2 zk 错因错因 把关于y轴对称片认为关于y轴的正半轴对称 正解正解 角的终边关于y轴对称 22 Zkk 即 2zkk 说明说明 1 若 角的终边关于x轴对称 则 与 的关系为 2Zkk 2 若 角的终边关于原点轴对称 则 与 的关系为 12 Zkk 3 若 角的终边在同一条直线上 则 与 的关系为 Zkk 例例 3 3 已知 5 4 2 cos 5 3 2 sin 试确定 的象限 错解错解 0 5 4 2 cos 0 5 3 2 sin 2 是第二象限角 即 2 2 2zkkk 从而 244zkkk 故 是第三象限角或第四象限角或是终边在y轴负半轴上的角 错因错因 导出 2 是第二象限角是正确的 由0 5 4 2 cos 0 5 3 2 sin 即可确定 而题中 5 4 2 cos 5 3 2 sin 不仅给出了符号 而且给出了具体的函数值 通过其值可进 一步确定 2 的大小 即可进一步缩小 2 所在区间 正解正解 0 5 4 2 cos 0 5 3 2 sin 2 是第二象限角 又由 4 3 sin 2 2 5 3 2 sin 知zkkk 2 24 3 2 zkkk 24 2 3 4 故 是第四象限角 例例 4 4 已知角 的终边经过 0 3 4 aaaP 求 cot tan cos sin的值 高中数学辅导网 京翰教育 错解错解 ayxrayax5 3 4 22 3 4 3 4 cot 4 3 4 3 tan 5 4 5 4 cos 5 3 5 3 sin a a a a a a a a 错因错因 在求得r的过程中误认为a 0 正解正解 若0 a 则ar5 且角 在第二象限 3 4 3 4 cot 4 3 4 3 tan 5 4 5 4 cos 5 3 5 3 sin a a a a a a a a 若0 a 则ar5 且角 在第四象限 3 4 3 4 cot 4 3 4 3 tan 5 4 5 4 cos 5 3 5 3 sin a a a a a a a a 说明说明 1 给出角的终边上一点的坐标 求角的某个三解函数值常用定义求解 2 本题由于所给字母a的符号不确定 故要对a的正负进行讨论 例例 5 5 1 已知 为第三象限角 则 2 是第 象限角 2是第 象限角 2 若4 则 是第 象限角 解解 1 是第三象限角 即Zkkk 2 3 22 Zkkk 4 3 22 Zkkk 34224 当k为偶数时 2 为第二象限角 当k为奇数时 2 为第四象限角 而 2的终边落在第一 二象限或y轴的非负半轴上 2 因为 4 2 3 所以 为第二象限角 点评点评 为第一 二象限角时 2 为第一 三象限角 为第三 四象限角时 2 为第 二 四象限角 但是它们在以象限角平分线为界的不同区域 例例 6 6 一扇形的周长为 20cm 当扇形的圆心角 等于多少时 这个扇形的面积最大 最 大面积是多少 解解 设扇形的半径为rcm 则扇形的弧长cmrl 220 扇形的面积25 5 220 2 1 2 rrrS 所以当cmr5 时 即2 10 r l cml 时 2 max 25cmS 点评点评 涉及到最大 小 值问题时 通常先建立函数关系 再应用函数求最值的方法确定 最值的条件及相应的最值 高中数学辅导网 京翰教育 例例 7 7 已知 是第三象限角 化简 sin1 sin1 sin1 sin1 解解 原式 2 2 2 2 sin1 sin1 sin1 sin1 cos sin2 cos sin1sin1 又 是第三象限角 0cos 所以 原式 tan2 cos sin2 点评 点评 三角函数化简一般要求是 1 尽可能不含分母 2 尽可能不含根式 3 尽 可能 使三角函数名称最少 4 尽可能求出三角函数式的值 本题的关健是如何应用基本关系 式脱去根式 进行化简 例例 8 8 若角 满足条件0sincos 02sin 则 在第 象限 A 一 B 二 C 三 D 四 解解 0cos 0sin sincos 0cossin 0sincos 02sin 角在第二象限 故选 B 例 9 已知 coscos 且0tan 1 试判断 cos sin sin cos 的符号 2 试判断 coslg sin 的符号 解解 1 由题意 0cos1 0sin1 0 cos sin 0 sin cos 所以0 cos sin sin cos 2 由题意知 为第二象限角 1cossin 所以0 coslg sin 四 典型习题导练四 典型习题导练 1 已知钝角 的终边经过点 4sin 2sinP 且5 0cos 则 的值为 A 2 1 arctanB 1arctan C 2 1 arctan D 4 3 2 角 的终边与角 的终边关于 y 轴对称 则 为 A B C 2k 1 k Z D k k Z 3 若 sin tg 0 k Z 则角 的集合为 A 2k 2 2k 2 B 2k 2 2k 2 高中数学辅导网 京翰教育 C 2k 2 2k 2 k2 D 以上都不对 4 当 0 x 时 则方程 cos cosx 0 的解集为 A 6 5 6 B 3 2 3 C 3 D 3 2 5 下列四个值 sin3 cos3 tg3 ctg3 的大小关系是 A cos3 tg3 ctg3 sine B sin3 cos3 tg3 ctg3 C cot3 tan3 cos3 sin3 D sin3 tan3 cos3 cot3 6 已知 x 0 2 则下面四式 中正确命题的序号是 sinx x tgx sin cosx cosx cos sinx sin3x cos3x 1 cos sinx sin cosx cosx 7 有以下四组角 1 k 2 k 3 2k 4 k k z 其中终边相 2 2 2 2 同的是 A 1 和 2 B 1 2 和 3 C 1 2 和 4 D 1 2 3 和 4 8 若角 的终边过点 sin30 cos30 则 sin 等于 A B C D 1 2 1 2 9 函数 y 1 3 cos 2 x 的定义域是 值域是 10 若点 P 在第一象限 则在 2 内的取值范围是 A B C D 3 2 三角函数基本关系式与诱导公式三角函数基本关系式与诱导公式 一 知识导学一 知识导学 1 同角三角函数的基本关系式 平方关系 1cossin 22 商数关系 cos sin tan 倒数关系 1cottan 同角三角函数的基本关系式可用图表示 1 三个阴影部分三角形上底边平方和等于 1 的平方 2 对角为倒数关系 3 每个三角函数为相邻两函数的积 高中数学辅导网 京翰教育 2 诱导公式 zk 角 函数正弦余弦记忆口诀 k2 sin cos sin cos sin cos sin cos 2 sin cos 函数名不变 符号看象限 2 cos sin 2 cos sin 2 3 cos sin 2 3 cos sin 函数名不变 符号看象限 诱导公式可将 负角正化 大角小化 钝角锐化 3 诱导公式解决常见题型 1 求值 已知一个角的某个三角函数 求这个角其他三角函数 2 化简 要求是能求值则求值 次数 种类尽量少 尽量化去根式 尽可能不含分 母 二 疑难知识导析二 疑难知识导析 1 三角变换的常见技巧 1 的代换 cossin cossin cossin 三个式子 据方程思想 知一可求其二 因为其间隐含着平方关系式1cossin 22 2 在进行三角函数化简和三角等式证明时 细心观察题目的特征 灵活恰当地选用公式 一般思路是将切割化弦 尽量化同名 同次 同角 3 已知角 的某个三角函数值 求角 的其余 5 种三角函数值时 要注意公式的合理选 择 在利用同角公式中的平方关系并要开方时 要根据角的范围来确定符号 常要对角的范 围进行讨论 解决此类问题时 要细心求证角的范围 三 典型例题导讲三 典型例题导讲 例例 1 已知 cot0 5 1 cossin 则 错解错解 两边同时平方 由 与 5 1 cossin 25 12 cossin 得 5 7 cossin 25 49 cossin4 cos sin cossin4coscossin2sin cos sin 2 222 cot 5 3 cos 5 4 sin 进而可求 解得 4 3 cot 高中数学辅导网 京翰教育 或 cot 5 4 cos 5 3 sin 进而可求 解得 3 4 cot 错因错因 没有注意到条件 0 时 由于0cossin 所以 cossin 的值为正而导致错误 正解 正解 0 5 1 cossin 两边同时平方 有联立 与 5 1 cossin0 25 12 cossin 求出 5 3 cos 5 4 sin 4 3 cot 例例 2 若 sinA asinB cosA bcosB A B 为锐角且 a 1 0 b 1 求 tanA 的值 错解错解 由 BbA BaA coscos sinsin 得 tan A b a tan B 错因错因 对题目最终要求理解错误 不清楚最后结论用什么代数式表示 正解正解 由 BbA BaA coscos sinsin 2 2得 a2sin2B b2cos2B 1 cos2B 22 2 1 ba a sin2B 22 2 1 ba b tan 2B 1 1 2 2 a b B 为锐角 tan B 1 1 2 2 a b 得 tan A b a tan B 1 1 2 2 a b b a 例例 3 05 年高考重庆卷 若函数 2 cos 2 sin 2 sin 4 2cos1 xx a x x xf 的最大值为 2 试确定常数 a 的值 15 4 44 1 1 1 sin sin 44 1 sin 2 cos 2 1 2 cos 2 sin cos4 cos2 2 2 2 2 a a a x a x a x xx a x x xf 解之得 由已知有 满足其中角 解 高中数学辅导网 京翰教育 点评点评 本试题将三角函数 2 诱导公式有机地溶于式子中 考查了学生对基 础知识的掌握程度 这就要求同学们在学习中要脚踏实地 狠抓基础 例例 4 05 年高考北京卷 已知tan 2 2 求 1 tan 4 的值 2 6sincos 3sin2cos 的值 解解 1 tan 2 2 2 2tan 2 24 2 tan 1 43 1tan 2 所以 tantan tan1 4 tan 41tan 1tantan 4 4 1 1 3 4 7 1 3 2 由 I tan 3 4 所以 6sincos 3sin2cos 6tan1 3tan2 4 6 1 7 3 4 6 3 2 3 点评点评 本题设计简洁明了 入手容易 但对两角和与差的三角函数 同角间的基本关系式 要求熟练应用 运算准确 例例 5 化简 4 14 cos 4 14 sin zn nn 错解错解 原式 4 cos 4 sin nn 4 cos 4 sin 4 cos 4 2 sin 0 4 cos 4 cos 错因错因 对三角函数诱导公式不完全理解 不加讨论而导致错误 正解正解 原式 4 cos 4 sin nn 1 当 12zkkn 时 原式 4 2sin k 4 2cos k 4 sin 4 cos 4 cos 4 cos 0 2 当 2zkkn 时 原式 4 2sin k 4 2cos k 4 sin 4 cos 0 高中数学辅导网 京翰教育 例例 6 05 年高考江苏卷 若 3 1 6 sin 则 2 3 2 cos A 9 7 B 3 1 C 3 1 D 9 7 错解错解 2 3 2 cos 2 3 cos 2 3 cos 1 2 6 sin 2 9 7 错因错因 诱导公式应用符号错 正解正解 2 3 2 cos 2 3 cos 2 3 cos 1 2 6 sin 2 9 7 故选 A 例例 7 05 年高考福建卷 已知 5 1 cossin 0 2 xxx 1 求 sinx cosx 的值 2 求 xx xxxx cottan 2 cos 2 cos 2 sin2 2 sin3 22 的值 解法一解法一 1 由 25 1 coscossin2sin 5 1 cossin 22 xxxxxx平方得 即 25 49 cossin21 cos sin 25 24 cossin2 2 xxxxxx 又 0cossin 0cos 0sin 0 2 xxxxx 故 5 7 cossin xx 2 x x x x x x xx xxxx sin cos cos sin 1sin 2 sin2 cottan 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin3 222 125 108 5 1 2 25 12 sincos2 cossin xxxx 解法二解法二 1 联立方程 1cossin 5 1 cossin 22 x xx 由 得 cos 5 1 sinxx 将其代入 整理得 012cos5cos25 2 xx 5 4 cos 5 3 sin 0 2 5 4 cos 5 3 cos x x xxx 或 故 高中数学辅导网 京翰教育 5 7 cossin xx 2 xx xxxx cottan 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin3 22 x x x x x x sin cos cos sin 1sin 2 sin2 2 125 108 5 3 5 4 2 5 4 5 3 sincos2 cossin xxxx 点评点评 本小题主要考查三角函数的基本公式 三角恒等变换 三角函数在各象限符号等基 本知识 以及推理和运算能力 例例 8 8 1 化简 1csc cos 2 2 cos2 csc2 sin2 sec2 1 2 设 sin 且 sin2 0 2 1 4 求 sin tan 解解 原式 cos2 csc2 sin2 tan2 cos2 cot2 cos2 sin2 cos2 csc2 1 cot2 csc2 2 解 由 sin cos sin2 0 2k 2 2k 2 1 4 1 4 k 0 的图像与 x 轴在原点右侧的第一个交点为 N 6 0 又 f 2 x f 2 x f 0 0 求这个函数的解析式 解解 f 2 x f 2 x f x 关于 x 2 对称 又 x 轴在原点右侧的第一个交点为 N 6 0 4 T 6 2 4 即T 16 T 2 8 将 N 6 0 代入 f x sin 8 x 得 sin 4 3 0 得 2k 4 或 2k 4 5 k Z f 0 0 2k