重庆一中学年上学期高二年级期末考试数学试卷(理科)

1 重庆一中高二年级期末考试数学试卷 理科 重庆一中高二年级期末考试数学试卷 理科 一 选择题 每小题 5 分 共 50 分 1 抛物线 2 2xy 的焦点到准线的距离为 A 1 B 1 2 C 1 4 D 1 8 2 双曲线 2 2 1 2 x y 的渐近线方程为 A 2yx B 2yx C 2 2 yx D 1 2 yx 3 直线0 xya 与圆 22 2xy 相切 则a的值为 A 2 B 2 B 2 2 D 4 4 三角形ABC中 90 3 1BABBC 以边AB所在直线为旋转 轴 其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 A B 2 C 3 D 3 5 已知直线 m n和平面 满足 mn m 则 An nB或 n C n 或 n D n 6 设aR 则 1a 是 直线 1 20laxy 与直线 2 1 40lxay 平行的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 2 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 7 已知点 P x y在椭圆 2 2 1 4 x y 上 则 22 3 2 4 xxy 的最大值为 A 2 B 1 C 2 D 7 8 方程 22 1lg10 xxy 所表示的曲线的图形是 9 记动点P是棱长为 1 的正方体 1111 ABCD ABC D的对角线 1 BD上一点 记 1 1 D P D B 当APC 为钝角时 则 的取值范围为 A 0 1 B 1 1 3 C 1 0 3 D 1 3 10 过双曲线 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左焦点 0 cF 作圆 222 ayx 的切 线 切点为E 延长FE交抛物线cxy4 2 于点P 若E为线段FP的中 点 则双曲线的离心率为 A 5 B 2 5 C 15 D 2 15 二 填空题 每小题 5 分 共 25 分 11 已知向量 1 2 3 a 1 0 bx 且ab 则x 12 双曲线 2 2 2 1 0 x ya a 的右焦点到它的渐近线的距离为 13 某四棱锥的三视图如图所示 该四棱锥的表面积是 3 14 过抛物线 2 4yx 焦点的直线与抛物线交于 A B两点 8AB 则 线段AB的中点横坐标为 15 椭圆 22 1 169 xy 的左右焦点分别为 12 F F 过焦点 1 F的直线交该椭 圆于 A B两点 若 2 ABFA的内切圆面积为 A B两点的坐标分别为 1122 x yxy 则 12 yy 的值为 三 解答题 共 75 分 16 如图 已知四棱锥PABCD 的底面是正方形 PA 底面ABCD 且PAAD 点M N分别为侧棱PD PC的中点 1 求证 CD 平面AMN 2 求证 AM 平面PCD 17 已知抛物线C 2 2ypx 的焦点为圆 22 230 xyx 的圆心 直 4 线 1 2 2 l yx 与C交于不同的两点 A B 1 求C的方程 2 求弦长 AB 18 已知椭圆 2 2 1 4 x Cy 左右焦点分别为 12 F F 1 若C上一点P满足 12 90FPF 求 12 FPF 的面积 2 直线l交C于点 A B 线段AB的中点为 1 1 2 求直线l的方程 19 如图所示 在长方体 1111 ABCDABC D 中 1ABAD 1 2AA M是棱 1 CC上一点 1 若M为 CC1的中点 求异面直线 A1M 和 C1D1所成的角的正切 值 2 是否存在这样的M 使得平面 ABM 平面 A1B1M 若存在 求出CM的值 若不存在 请说明理由 5 20 已知离心率为 3 2 的椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 过点 2 1M O为 坐标原点 平行于OM的直线l交椭圆于C不同的两点 A B 1 求椭圆的C方程 2 证明 若直线 MA MB的斜率分别为 1 k 2 k 求证 1 k 2 k 0 21 设双曲线 C 1 2 2 2 y x 的左 右顶点分别为 A1 A2 垂直于x 轴的直线 m 与双曲线 C 交于不同的两点 P Q 1 若直线 m 与x轴正半轴的交点为 T 且1 21 QAPA 求点 T 的坐标 2 求直线 A1P 与直线 A2Q 的交点 M 的轨迹 E 的方程 3 过点 F 1 0 作直线l与 中的轨迹 E 交于不同的 两点 A B 设FBFA 若 1 2 TBTA 求 T 为 1 中的点 的取值范围 数数 学学 试试 题题 卷 理科 卷 理科 1 10ACBAC ADDBD 6 11 1 2 12 1 13 16 21 14 3 15 8 7 7 16 1 证明 M N分别为侧棱PD PC的中点 CDMN CDAMNCDAMN MNAMN A A面面 面 2 PAAD AMPD MPD 为中点 PACD CDDACDPAD CDAM PAADA AMPAD 面 又PDCDD AM 平面 PCD 17 解 1 22 1 4xy 圆心 1 0 1 2 2 p p 所以C的方程为 2 4yx 2 2 1 2 2 4y y x x 消去y 2 2040 xx 222 121212 11 44 30ABkxxkxxx x 18 解 1 由第一定义 12 24PFPFa 即 22 1212 216PFPFPF PF 由勾股定理 22 2 12 2 12PFPFc 所以 12 2PF PF 12 12 1 1 2 F PF SPF PF 2 设 1122 A x yB xy 满足 2 2 1 1 1 4 x y 2 2 2 2 1 4 x y 两式作差 1212 1212 0 4 xxxx yyyy 将 12 2xx 12 1yy 代入 得 12 12 0 2 xx yy 可得 12 12 1 2 AB yy k xx 直线方程为 7 1 1 2 yx 19 解 1 C1D1 A1B1 B1A1M 即为直线 A1M 和 C1D1所成的角 1 11 11 B M tanB A M2 A B 2 建立坐标系 0 0 0 A 1 0 0 B 1 0 0 2 A 1 1 0 2 B 1 1 M 在平面ABM上选择向量 1 0 0 AB 1 1 AM 设法向量 1 nx y z 由 1 1 0 0 AB n AM n A A 解得 0 0 x xyz 取1z 得 2 0 1 n 在平面 11 AB M上选择向量 11 1 0 0 AB 1 1 1 2 AM 设法向量 2 nx y z 由 112 12 0 0 AB n AM n A A 解得 0 2 0 x xyz 取1z 得 2 0 2 1 n 由 12 0n n A 2 10 解得1 所以1 CM 20 解 设椭圆C的方程为 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 由题意得 2 8 1 14 2 3 2 2 22 222 b a ba cba a c 椭圆方程为 1 28 22 yx 由直线OMl 可设mxyl 2 1 将式子代入椭圆C得 0422 22 mmxx 设 2211 yxByxA 则 2 21 mxx 42 2 21 mxx 设直线MA MB的斜率分别为 1 k 2 k 则 2 1 1 1 1 x y k 2 1 2 2 2 x y k 下面只需证明 0 21 kk 事实上 8 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 21 x mx x mx kk 4 2 4 1 2 1 2 1 1 2121 21 21 xxxx xx m xx m m 10 4 2 242 42 2 mm m 21 解 1 由题 得 0 2 0 2 21 AA 设 0000 yxQyxP 则 2 2 002001 yxQAyxPA 由 3 121 2 0 2 0 2 0 2 021 yxyxQAPA即 又 00 yxP在双曲线上 则 1 2 2 0 2 0 y x 联立 解得 2 0 x 由题意 2 0 00 xx 点 T 的坐标为 2 0 2 设直线 A1P 与直线 A2Q 的交点 M 的坐标为 x y 由 A1 P M 三点共线 得 2 2 00 xyyx 由 A2 Q M 三点共线 得 2 2 00 xyyx 联立 解得 2 2 00 x y y x x 00 yxP在双曲线上 2 2 2 2 1 2 y x x 轨迹 E 的方程为 0 0 1 2 2 2 yxy x 3 容易验证直线l的斜率不为 0 故可设直线l的方程为1 2 1 2 2 y x kyx 代入中 得 0 24 2 22 kyyk 9 设 00 212211 yyyxByxA且 则由根与系数的关系 得 2 2 2 21 k k yy 2 2 2 21 k yy FBFA 有 0 2 1 且 y y 将 式平方除以 式 得 2 4 2 1 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 k k k k y y y y 由 5111 2 1 220 22 7 2 0 7 2 0 2 4 2 1 22 2 2 kk k k 4 2 2 21212211 yyxxTBTAyxTByxTA 又 2 1 4 2 4 2 2 2 2 2121 2 21 k k yykxx k k yy 故 2 21 2 21 2 4 yyx