17六年级奥数专题十七：操作问题

六年级奥数专题十七 操作问题六年级奥数专题十七 操作问题 关键词关键词 自然数 操作 奥数 倍数 变换 这种 连续 年级 过程 出现 所谓操作问题 实际上是对某个事物按一定要求进行的一种变换 这种变换可以具体执行 例如 对任意一个自然数 是奇数就加 1 是偶数就除以 2 这就是一次操作 是可以具 体执行的 操作问题往往是求连续进行这种操作后可能得到的结果 例 1 对于任意一个自然数 n 当 n 为奇数时 加上 121 当 n 为偶数时 除以 2 这 算一次操作 现在对 231 连续进行这种操作 在操作过程中是否可能出现 100 为什么 讨论 同学们碰到这种题 可能会 具体操作 一下 得到 这个过程还可以继续下去 虽然一直没有得到 100 但也不能肯定得不到 100 当然 连续操作下去会发现 数字一旦重复出现后 这一过程就进入循环 这时就可以肯定不会 出现 100 因为这一过程很长 所以这不是好方法 解 因为 231 和 121 都是 11 的倍数 2 不是 11 的倍数 所以在操作过程中产生的数 也应当是 11 的倍数 100 不是 11 的倍数 所以不可能出现 由例 1 看出 操作问题不要一味地去 操作 而要找到解决问题的窍门 例 2 对任意两个不同的自然数 将其中较大的数换成这两数之差 称为一次变换 如 对 18 和 42 可进行这样的连续变换 18 42 18 24 18 6 12 6 6 6 直到两数相同为止 问 对 12345 和 54321 进行这样的连续变换 最后得到的两个相同的数是几 分析与解 如果两个数的最大公约数是 a 那么这两个数之差与这两个数中的任何一 个的最大公约数也是 a 因此在每次变换的过程中 所得两数的最大公约数始终不变 所 以最后得到的两个相同的数就是它们的最大公约数 因为 12345 和 54321 的最大公约数 是 3 所以最后得到的两个相同的数是 3 注 这个变换的过程实际上就是求两数最大公约数的辗转相除法 例 3 右图是一个圆盘 中心轴固定在黑板上 开始时 圆盘上每个数字所对应的黑板 处均写着 0 然后转动圆盘 每次可以转动 90 的任意整数倍 圆盘上的四个数将分别正 对着黑板上写数的位置 将圆盘上的数加到黑板上对应位置的数上 问 经过若干次后 黑板上的四个数是否可能都是 999 解 不可能 因为每次加上的数之和是 1 2 3 4 10 所以黑板上的四个数之和永远是 10 的整数倍 999 4 3996 不是 10 的倍数 所以黑板上的四个数不可都是 999 例 4 在左下图中 对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加 1 或减 1 这算作一 次操作 经过若干次操作后 左下图变为右下图 问 右下图中 A 格中的数字是几 分析与解 每次操作都是在相邻的两格 我们将相邻的两格染上不同的颜色 见右图 因为每次操作总是一个黑格与一个白格的数字同时加 1 或减 1 所以所有黑格内的数字 之和与所有白格内的数字之和的差保持不变 因为原题左图的这个差是 13 所以原题右图 的这个差也是 13 由 A 12 12 13 解得 A 13 例 5 将 1 10 十个数随意排成一排 如果相邻两个数中 前面的数大于后面的数 那 么就交换它们的位置 如此操作下去 直到前面的数都小于后面的数为止 当 1 10 十个 数如下排列时 需交换多少次 8 5 2 6 10 7 9 1 4 3 分析与解 为了不打乱仗 我们按照一定的方法来交换 例如 从最大的数 10 开始 交换 将 10 交换到它应在的位置后 再依次对 9 8 7 实施交换 直至按从小到大排 列为止 因为 10 后面有 5 个比它小的数 所以对 10 连续交换 5 次 10 到了最右边 而其它 各数的前后顺序没有改变 再看 9 9 后面有 3 个比它小的数 需交换 3 次 9 到了右边第 二位 排在 10 前面 再依次对 8 7 6 实施这样的交换 10 后面有 5 个比它小的数 我们说 10 有 5 个逆序 9 后面有 3 个比它小的数 我们 说 9 有 3 个逆序 类似地 8 7 6 5 4 3 2 依次有 7 3 3 4 1 0 1 个逆序 因为每个数要交换的次数就是它的逆序数 所以需交换 5 3 7 3 3 4 1 0 1 27 次 例 6 右图是一个 5 6 的方格盘 先将其中的任意 5 个方格染黑 然后按以下规则继续 染色 如果某个格至少与两个黑格都有公共边 那么就将这个格染黑 这样操作下去 能否将整个方格盘都染成黑色 分析与解 以一个方格的边长为 1 开始时 5 个黑格的总周长不会超过 4 5 20 以后 每染一个格 因为这个格至少与两个黑格都有公共边 所以染黑后所有黑格的总周长不会 增加 左下图中 A 与 4 个黑格有公共边 染黑后 黑格的总周长将减少 4 下中图中 A 与 3 个黑格有公共边 染黑后 黑格的总周长将减少 2 右下图中 A 与 2 个黑格有公 共边 染黑后 黑格的总周长不变 也就是说按照这种方法染色 所有黑格的总周长永远 不会超过 20 而 5 6 方格盘的周长是 22 所以不能将整个方格盘染成黑色 小精灵儿童 网站 练习 17 1 黑板上写着 1 15 共 15 个数 每次任意擦去两个数 再写上这两个数的和减 1 例 如 擦掉 5 和 11 要写上 15 经过若干次后 黑板上就会只剩下一个数 这个数是几 2 在黑板上任意写一个自然数 然后用与这个自然数互质并且大于 1 的最小自然数替 换这个数 称为一次操作 问 最多经过多少次操作 黑板上就会出现 2 3 口袋里装有 101 张小纸片 上面分别写着 1 101 每次从袋中任意摸出 5 张小纸片 然后算出这 5 张小纸片上各数的和 再将这个和的后两位数写在一张新纸片上放入袋中 经过若干次这样的操作后 袋中还剩下一张纸片 这张纸片上的数是几 4 在一个圆上标出一些数 第一次先把圆周二等分 在两个分点分别标上 2 和 4 第 二次把两段半圆弧分别二等分 在分点标上相邻两分点两数的平均数 3 见右图 第三 次把四段弧再分别二等分 在四个分点分别标上相邻两分点两数的平均数 如此下去 当 第 8 次标完后 圆周上所有标出的数的总和是多少 5 六个盘子中各放有一块糖 每次从任选的两个盘子中各取一块放入另一个盘子中 这样至少要做多少次 才能把所有的糖都集中到一个盘子中 6 将 1 10 十个数随意排成一排 如果相邻两个数中 前