(精品)一元二次方程解法及其配套练习_精心整理_方法全面_例题经典_练习给力!

一元二次方程解法及其配套练习一元二次方程解法及其配套练习 定义 定义 只含有一个未知数 一元 并且未知数的最高次数是 2 二次 的方 程 叫做一元二次方程 一般地 任何一个关于 x 的一元二次方程 经过整理 都能化成如下形 式 ax2 bx c 0 a 0 这种形式叫做一元二次方程的一般形式一般形式 一个一元二次方程经过整理化成 ax2 bx c 0 a 0 后 其中 ax2是二 次项 a 是二次项系数 bx 是一次项 b 是一次项系数 c 是常数项 解法一解法一 直接开方法直接开方法 适用范围 适用范围 可解部分一元二次方程 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法 用直接开平 方法解形如 x m 2 n n 0 的方程 其解为 x m n 我们已经讲了 x2 9 根据平方根的意义 直接开平方得 x 3 如果 x 换 元为 2t 1 即 2t 1 2 9 我们也可以用直接开方法来解方程 例例 1 解方程 1 2x 1 2 5 2 x 2 6x 9 2 3 x 2 2x 4 1 分析 很清楚 x2 4x 4 是一个完全平方公式 那么原方程就转化为 x 2 2 1 解 2 由已知 得 x 3 2 2 直接开平方 得 x 3 2 即 x 3 2 x 3 2 所以 方程的两根 x1 3 2 x2 3 2 例例 2 市政府计划 2 年内将人均住房面积由现在的 10m2提高到 14 4m 求每年人均住房面积增长率 分析 设每年人均住房面积增长率为 x 一年后人均住房面积就应该 是 10 10 x 10 1 x 二年后人均住房面积就应该是 10 1 x 10 1 x x 10 1 x 2 解 设每年人均住房面积增长率为 x 则 10 1 x 2 14 4 1 x 2 1 44 直接开平方 得 1 x 1 2 即 1 x 1 2 1 x 1 2 所以 方程的两根是 x1 0 2 20 x2 2 2 因为每年人均住房面积的增长率应为正的 因此 x2 2 2 应舍去 所以 每年人均住房面积增长率应为 20 例例 3 如图 在 ABC 中 B 90 点 P 从点 B 开始 沿 AB 边向点 B 以 1cm s 的速度移动 点 Q 从点 B 开始 沿 BC 边向点 C 以 2cm s 的速度移动 如果 AB 6cm BC 12cm P Q 都从 B 点同时出发 几秒后 PBQ 的面积等于 8cm2 B C A Q P 解 设 x 秒后 PBQ 的面积等于 8cm2 则 PB x BQ 2x 依题意 得 1 2 x 2x 8 x2 8 根据平方根的意义 得 x 22 即 x1 22 x2 22 可以验证 22和 22都是方程 1 2 x 2x 8 的两根 但是移动时 间不能是负值 所以 22秒后 PBQ 的面积等于 8cm2 例例 4 某公司一月份营业额为 1 万元 第一季度总营业额为 3 31 万元 求该公司二 三月份营业额平均增长率是多少 分析 设该公司二 三月份营业额平均增长率为 x 那么二月份的营 业额就应该是 1 x 三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的 应是 1 x 2 解 设该公司二 三月份营业额平均增长率为 x 那么 1 1 x 1 x 2 3 31 把 1 x 当成一个数 配方得 1 x 1 2 2 2 56 即 x 3 2 2 2 56 x 3 2 1 6 即 x 3 2 1 6 x 3 2 1 6 方程的根为 x1 10 x2 3 1 因为增长率为正数 所以该公司二 三月份营业额平均增长率为 10 归纳小结 归纳小结 共同特点 把一个一元二次方程 降次 转化为两个一元一次方程 我们 把这种思想称为 降次转化思想 由应用直接开平方法解形如 x2 p p 0 那么 x p转化为应用直接开平方法解形如 mx n 2 p p 0 那么 mx n p 达到降次转化之目的 若 p 0 则方程无 解 配套练习题配套练习题 一 选择题一 选择题 1 若 x2 4x p x q 2 那么 p q 的值分别是 A p 4 q 2 B p 4 q 2 C p 4 q 2 D p 4 q 2 2 方程 3x2 9 0 的根为 A 3 B 3 C 3 D 无实数根 3 用配方法解方程 x2 2 3 x 1 0 正确的解法是 A x 1 3 2 8 9 x 1 3 2 2 3 B x 1 3 2 8 9 原方程无解 C x 2 3 2 5 9 x1 2 3 5 3 x2 25 3 D x 2 3 2 1 x1 5 3 x2 1 3 二 填空题二 填空题 1 若 8x2 16 0 则 x 的值是 2 如果方程 2 x 3 2 72 那么 这个一元二次方程的两根是 3 如果 a b 为实数 满足34a b2 12b 36 0 那么 ab 的值是 三 综合提高题三 综合提高题 1 解关于 x 的方程 x m 2 n 2 某农场要建一个长方形的养鸡场 鸡场的一边靠墙 墙长 25m 另三边用木栏围成 木栏长 40m 1 鸡场的面积能达到 180m2吗 能达到 200m 吗 2 鸡场的面积能达到 210m2吗 3 在一次手工制作中 某同学准备了一根长 4 米的铁丝 由于需要 现在要制成一个矩形方框 并且要使面积尽可能大 你能帮助这名同学制成 方框 并说明你制作的理由吗 解法二解法二 配方法配方法 适用范围 可解全部一元二次方程适用范围 可解全部一元二次方程 引例 引例 要使一块矩形场地的长比宽多 6m 并且面积为 16m2 场地的长和 宽各是多少 列出方程化简后得 x2 6x 16 0 x2 6x 16 0 移项 x2 6x 16 两边加 6 2 2使左边配成 x2 2bx b2的形式 x2 6x 32 16 9 左边写成平方形式 x 3 2 25 降次 x 3 5 即 x 3 5 或 x 3 5 解一次方程 x1 2 x2 8 可以验证 x1 2 x2 8 都是方程的根 但场地的宽不能使负值 所以 场地的宽为 2m 常为 8m 像上面的解题方法 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法 叫配方像上面的解题方法 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法 叫配方 法法 可以看出 配方法是为了降次 把一个一元二次方程转化为两个一元 一次方程来解 配方法解一元二次方程的一般步骤 配方法解一元二次方程的一般步骤 1 现将已知方程化为一般形式 2 化二次项系数为 1 3 常数 项移到右边 4 方程两边都加上一次项系数的一半的平方 使左边配成一个完全 平方式 5 变形为 x p 2 q 的形式 如果 q 0 方程的根是 x p q 如 果 q 0 方程无实根 用配方法解一元二次方程小口诀用配方法解一元二次方程小口诀 二次系数化为一 常数要往右边移 一次系数一半方 两边加上最相当 例例 1 用配方法解下列关于 x 的方程 1 x2 8x 1 0 2 x2 2x 1 2 0 分析 1 显然方程的左边不是一个完全平方式 因此 要按前面的 方法化为完全平方式 2 同上 解 略 例例 2 如图 在 Rt ACB 中 C 90 AC 8m CB 6m 点 P Q 同时由 A B 两点出发分别沿 AC BC 方向向点 C 匀速移动 它们的 速度都是 1m s 几秒后 PCQ 的面积为 Rt ACB 面积的一半 B C A Q P 分析 设 x 秒后 PCQ 的面积为 Rt ABC 面积的一半 PCQ 也是直 角三角形 根据已知列出等式 解 设 x 秒后 PCQ 的面积为 Rt ACB 面积的一半 根据题意 得 1 2 8 x 6 x 1 2 1 2 8 6 整理 得 x2 14x 24 0 x 7 2 25 即 x1 12 x2 2 x1 12 x2 2 都是原方程的根 但 x1 12 不合题意 舍去 所以 2 秒后 PCQ 的面积为 Rt ACB 面积的一半 例例 3 解下列方程 1 2x2 1 3x 2 3x2 6x 4 0 3 1 x 2 2 1 x 4 0 分析 我们已经介绍了配方法 因此 我们解这些方程就可以用配方法 来完成 即配一个含有 x 的完全平方 解 略 例例 4 用配方法解方程 6x 7 2 3x 4 x 1 6 分析 因为如果展开 6x 7 2 那么方程就变得很复杂 如果把 6x 7 看为一个数 y 那么 6x 7 2 y2 其它的 3x 4 1 2 6x 7 1 2 x 1 1 6 6x 7 1 6 因此 方程就转化为 y 的方程 像这样的转 化 我们把它称为换元法 解 设 6x 7 y 则 3x 4 1 2 y 1 2 x 1 1 6 y 1 6 依题意 得 y2 1 2 y 1 2 1 6 y 1 6 6 去分母 得 y2 y 1 y 1 72 y2 y2 1 72 y4 y2 72 y2 1 2 2 289 4 y2 1 2 17 2 y2 9 或 y2 8 舍 y 3 当 y 3 时 6x 7 3 6x 4 x 2 3 当 y 3 时 6x 7 3 6x 10 x 5 3 所以 原方程的根为 x1 2 3 x2 5 3 例例 5 求证 无论 y 取何值时 代数式 3 y2 8y 6 恒小于 0 解 略 配套练习题配套练习题 一 选择题一 选择题 1 配方法解方程 2x2 4 3 x 2 0 应把它先变形为 A x 1 3 2 8 9 B x 2 3 2 0 C x 1 3 2 8 9 D x 1 3 2 10 9 2 下列方程中 一定有实数解的是 A x2 1 0 B 2x 1 2 0 C 2x 1 2 3 0 D 1 2 x a 2 a 3 已知 x2 y2 z2 2x 4y 6z 14 0 则 x y z 的值是 A 1 B 2 C 1 D 2 4 将二次三项式 x2 4x 1 配方后得 A x 2 2 3 B x 2 2 3 C x 2 2 3 D x 2 2 3 5 已知 x2 8x 15 0 左边化成含有 x 的完全平方形式 其中正确的是 A x2 8x 4 2 31 B x2 8x 4 2 1 C x2 8x 42 1 D x2 4x 4 11 6 如果 mx2 2 3 2m x 3m 2 0 m 0 的左边是一个关于 x 的完全 平方式 则 m 等于 A 1 B 1 C 1 或 9 D 1 或 9 二 填空题二 填空题 1 方程 x2 4x 5 0 的解是 2 代数式 2 2 2 1 xx x 的值为 0 则 x 的值为 3 已知 x y x y 2 8 0 求 x y 的值 若设 x y z 则原方程 可变为 所以求出 z 的值即为 x y 的值 所以 x y 的值为 4 如果 x2 4x 5 0 则 x 5 无论 x y 取任何实数 多项式 x2 y2 2x 4y 16 的值总是 数 6 如果 16 x y 2 40 x y 25 0 那么 x 与 y 的关系是 三 综合提高题三 综合提高题 1 用配方法解方程 1 9y2 18y 4 0 2 x2 3 23x 2 已知三角形两边长分别为 2 和 4 第三边是方程 x2 4x 3 0 的解 求这 个三角形的周长 3 如果 x2 4x y2 6y 2z 13 0 求 xy z的值 4 新华商场销售某种冰箱 每台进货价为 2500 元 市场调研表明 当销售价为 2900 元时 平均每天能售出 8 台 而当销售价每降 50 元时 平均每天就能多售出 4 台 商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达 5000 元 每台冰箱的定价应为多少元 5 已知 x2 4x y2 6y 13 0 求 22 2xy xy 的值 6 某商场销售一批名牌衬衫 平均每天可售出 20 件 每件赢利 40 元 为了扩大销售 增加盈利 尽快减少库存 商场决定采取适当降价措施 经调查发现 如果每件衬衫每降价一元 商场平均每天可多售出 2 件 若商场平均每天赢利 1200 元 每件衬衫应降价多少元 每件衬衫降价多少元时 商场平均每天赢利最多 请你设计销售方 案 解法三解法三 公式法公式法 适用范围 可解全部一元二次方程适用范围 可解全部一元二次方程 首先 要通过 b 2 4ac 的根的判别式来判断一元二次方程有几个根 1 当 b 2 4ac0 时 x 有两个不相同的实数根 当判断完成后 若方程有根可根属于 2 3 两种情况方程有根则可根据 公式 x b b 2 4ac 2a 来求得方程的根 求根公式的推导求根公式的推导 用配方法解方程 1 ax2 7x 3 0 2 a x2 bx 3 0 3 如果这个一元二次方程是一般形式 ax2 bx c 0 a 0 你能否用 上面配方法的步骤求出它们的两根 请同学独立完成下面这个问题 问题问题 已知 ax2 bx c 0 a 0 试推导它的两个根 x1 2 4 2 bbac a x2 2 4 2 bbac a 这个方程一定有解吗 什么情况下有解 分析 因为前面具体数字已做得很多 我们现在不妨把 a b c 也当成 一个具体数字 根据上面的解题步骤就可以一直推下去 解 移项 得 ax2 bx c 二次项系数化为 1 得 x2 b a x c a 配方 得 x2 b a x 2 b a 2 c a 2 b a 2 即 x 2 b a 2 2 2 4 4 bac a 4a2 0 4a2 0 当 b2 4ac 0 时 2 2 4 4 bac a 0 x 2 b a 2 2 4 2 bac a 2 直接开平方 得 x 2 b a 2 4 2 bac a 即 x 2 4 2 bbac a x1 2 4 2 bbac a x2 2 4 2 bbac a 由上可知 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的根由方程的系数 a b c 而定 因此 1 解一元二次方程时 可以先将方程化为一般形式 ax2 bx c 0 当 b2 4ac 0 时 将 a b c 代入式子 x 2 4 2 bbac a 就得到方程的 根 公式所出现的运算 恰好包括了所学过的六中运算 加 减 乘 除 乘方 开方 这体现了公式的统一性与和谐性 2 这个式子叫做一元二次方程的求根公式 3 利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法 公式的理解 4 由求根公式可知 一元二次方程最多有两个实数根 例例 1 用公式法解下列方程 1 2x2 x 1 0 2 x2 1 5 3x 3 x2 2x 1 2 0 4 4x2 3x 2 0 分析 用公式法解一元二次方程 首先应把它化为一般形式 然后代入 公式即可 补 5 x 2 3x 5 0 例例 2 某数学兴趣小组对关于 x 的方程 m 1 2 2m x m 2 x 1 0 提出了下列问题 1 若使方程为一元二次方程 m 是否存在 若存在 求出 m 并解此 方程 2 若使方程为一元二次方程 m 是否存在 若存在 请求出 你能解决这个问题吗 分析分析 能 1 要使它为一元二次方程 必须满足 m2 1 2 同时还要 满足 m 1 0 2 要使它为一元一次方程 必须满足 2 11 1 2 0 m mm 或 2 10 20 m m 或 10 20 m m 解 解 1 存在 根据题意 得 m2 1 2 m2 1 m 1 当 m 1 时 m 1 1 1 2 0 当 m 1 时 m 1 1 1 0 不合题意 舍去 当 m 1 时 方程为 2x2 1 x 0 a 2 b 1 c 1 b2 4ac 1 2 4 2 1 1 8 9 x 1 91 3 2 24 x1 x2 1 2 因此 该方程是一元二次方程时 m 1 两根 x1 1 x2 1 2 2 存在 根据题意 得 m2 1 1 m2 0 m 0 因为当 m 0 时 m 1 m 2 2m 1 1 0 所以 m 0 满足题意 当 m2 1 0 m 不存在 当 m 1 0 即 m 1 时 m 2 3 0 所以 m 1 也满足题意 当 m 0 时 一元一次方程是 x 2x 1 0 解得 x 1 当 m 1 时 一元一次方程是 3x 1 0 解得 x 1 3 因此 当 m 0 或 1 时 该方程是一元一次方程 并且当 m 0 时 其根为 x 1 当 m 1 时 其一元一次方程的根为 x 1 3 配套练习题配套练习题 一 选择题一 选择题 1 用公式法解方程 4x2 12x 3 得到 A x 36 2 B x 36 2 C x 32 3 2 D x 32 3 2 2 方程2x2 43x 62 0 的根是 A x1 2 x2 3 B x1 6 x2 2 C x1 22 x2 2 D x1 x2 6 3 m2 n2 m2 n2 2 8 0 则 m2 n2的值是 A 4 B 2 C 4 或 2 D 4 或 2 二 填空题二 填空题 1 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的求根公式是 条件是 2 当 x 时 代数式 x2 8x 12 的值是 4 3 若关于 x 的一元二次方程 m 1 x2 x m2 2m 3 0 有一根为 0 则 m 的值是 三 综合提高题三 综合提高题 1 用公式法解关于 x 的方程 x2 2ax b2 a2 0 2 设 x1 x2是一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的两根 1 试推导 x1 x2 b a x1 x2 c a 2 求代数式 a x13 x23 b x12 x22 c x1 x2 的值 3 某电厂规定 该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过 A 千瓦时 那么这户居民这个月只交 10 元电费 如果超过 A 千瓦时 那么这个月除 了交 10 元用电费外超过部分还要按每千瓦时 100 A 元收费 1 若某户 2 月份用电 90 千瓦时 超过规定 A 千瓦时 则超过部分电 费为多少元 用 A 表示 2 下表是这户居民 3 月 4 月的用电情况和交费情况 月份用电量 千瓦时 交电费总金额 元 3 80 25 4 45 10 根据上表数据 求电厂规定的 A 值为多少 解法四解法四 分解因式法分解因式法 适用范围适用范围 可解部分一元二次方程 因式分解法又分 提公因式法 公式法 又分 平方差公式 和 完全平方公式 两种 和 十字相乘法 因式分解法是通过将方程左 边因式分解所得 因式分解的内容在八年级上学期学完 解下列方程 1 2x2 x 0 2 3x2 6x 0 上面两个方程中都没有常数项 左边都可以因式分解 2x2 x x 2x 1 3x2 6x 3x x 2 因此 上面两个方程都可以写成 1 x 2x 1 0 2 3x x 2 0 因为两个因式乘积要等于 0 至少其中一个因式要等于 0 也就是 1 x 0 或 2x 1 0 所以 x1 0 x2 1 2 2 3x 0 或 x 2 0 所以 x1 0 x2 2 因此 我们可以发现 上述两个方程中 其解法都不是用开平方降次 而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式 再使这两个一 次式分别等于 0 从而实现降次 这种解法叫做因式分解法 例例 1 解方程 1 4x2 11x 2 x 2 2 2x 4 分析 1 移项提取公因式 x 2 等号右侧移项到左侧得 2x 4 提取 2 因式 即 2 x 2 再提取公因式 x 2 便可达到分解因式 一边为两个一 次式的乘积 另一边为 0 的形式 解 1 移项 得 4x2 11x 0 因式分解 得 x 4x 11 0 于是 得 x 0 或 4x 11 0 x1 0 x2 11 4 2 移项 得 x 2 2 2x 4 0 x 2 2 2 x 2 0 因式分解 得 x 2 x 2 2 0 整理 得 x 2 x 4 0 于是 得 x 2 0 或 x 4 0 x1 2 x2 4 例例 2 已知 9a2 4b2 0 求代数式的值 22 abab baab 分析 要求的值 首先要对它进行化简 然后从 22 abab baab 已知条件入手 求出 a 与 b 的关系后代入 但也可以直接代入 因计算量比 较大 比较容易发生错误 解 原式 2222 2ababb aba 9a2 4b2 0 3a 2b 3a 2b 0 3a 2b 0 或 3a 2b 0 a b 或 a b 2 3 2 3 当 a b 时 原式 3 2 3 2 2 3 b b 当 a b 时 原式 3 2 3 例例 3 我们知道 x2 a b x ab x a x b 那么 x2 a b x ab 0 就可转化为 x a x b 0 请你用上面的方法解下列方程 1 x2 3x 4 0 2 x2 7x 6 0 3 x2 4x 5 0 分析 二次三项式 x2 a b x ab 的最大特点是 x2项是由 x x 而成 常数项 ab 是由 a b 而成的 而一次项是由 a x b x 交叉相乘而 成的 根据上面的分析 我们可以对上面的三题分解因式 解 1 x2 3x 4 x 4 x 1 x 4 x 1 0 x 4 0 或 x 1 0 x1 4 x2 1 2 x2 7x 6 x 6 x 1 x 6 x 1 0 x 6 0 或 x 1 0 x1 6 x2 1 3 x2 4x 5 x 5 x 1 x 5 x 1 0 x 5 0 或 x 1 0 x1 5 x2 1 上面这种方法 我们把它称为十字相乘法 配套练习题配套练习题 一 选择题一 选择题 1 下面一元二次方程解法中 正确的是 A x 3 x 5 10 2 x 3 10 x 5 2 x1 13 x2 7 B 2 5x 5x 2 2 0 5x 2 5x 3 0 x1 2 5 x2 3 5 C x 2 2 4x 0 x1 2 x2 2 D x2 x 两边同除以 x 得 x 1 2 下列命题 方程 kx2 x 2 0 是一元二次方程 x 1 与方程 x2 1 是同 解方程 方程 x2 x 与方程 x 1 是同解方程 由 x 1 x 1 3 可得 x 1 3 或 x 1 3 其中正确的命题有 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 3 如果不为零的 n 是关于 x 的方程 x2 mx n 0 的根 那么 m n 的值为 A 1 2 B 1 C 1 2 D 1 二 填空题二 填空题 1 x2 5x 因式分解结果为 2x x 3 5 x 3 因式分解的结果是 2 方程 2x 1 2 2x