识记解题模板 妙解高考难题

识记解题模板 妙解高考难题 由一道高考题谈数列通项公式的求法 摘要 摘要 由递推公式求数列的通项公式是高考 模拟考常考和必考的一个难 点 往往以压轴题形式出现 由于求通项公式时渗透多种数学思想和方法 因 此求解过程中往往显得方法多 灵活度大 技巧性强 除了我们常见的观察法 定义法和公式法之外 而在高考中比较有难度的数列题目都是非观察法 定义 法和公式法所能解决问题的 结合近几年的高考和模拟考试情况 对数列由递 推公式求通项公式的方法进行了归纳总结 希望能起到抛砖引玉的效果 2011 年高考已经尘埃落定 但对于广东卷高考数学的数列题 见例 8 的 讨论却远未停止 究其原因 无外乎认为题目太难 超出考纲 让学生无从下 手 大大影响了全省的平均分和打击了学生的考试心理 其实这道题目并不算 难 因为这道题是 2006 年江西高考理科 22 题 见例 9 的改编 对于递推公式确定的数列的求解 通常可以通过递推公式的变换 转化为 等差数列或等比数列问题 有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列 我将 这种转化方法称之为辅助数列法 在实际的教学中 为了减轻学生在考试中思 考难度 我将辅助数列法归纳成四个常见的解题模板 模板一 1 nfaa nn 形如 n 2 3 4 且可求 1 nn aaf n 1 2 1 fff n 则用累加法求 有时若不能直接用 可变形成这种形式 然后用这种方法求 n a 解 例 1 2010 年深圳一模理科 19 在数列 中 1 n a 1 a 1 2n nn aa nN 求 n a 解 n 1 时 1以上 n 1 个等式累加得 1 a 21 2 32 3 43 1 1 22 2 2 2n nn naa aa aa aa 时 故 且也 21 1 22 2n n aa 1 2 1 2 1 2 n 22 n 1 2221 nn n aa 1 1a 满足该式 21 n n a nN 例 2 2009 年高考全国卷一理科 20 在数列 n nnn n a n aaa 2 1 1 1 1 11 中 设 的通项公式 求数列 n n n b n a b 解 由已知得 n nn n a n a ab 2 1 1 1 1 11 且 即 n nn b 2 1 b 1 从而 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2312 nbbbbbb n nn 于是 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 112 1 nbb nn n 故所求的通项公式 1 2 1 2 n n b 模板二 1 n n a f n a 形如 n 2 3 4 且可求 则 1 n n a f n a 1 2 1 fff n 用累乘法求 有时若不能直接用 可变形成这种形式 然后用这种方法求解 n a 例 3 2010 年福州市二模文科 18 在数列 中 1 n a 1 a 1nn ana 求 n a 解 由已知得 分别取 n 1 2 3 n 1 代入该式得 n 1 个 1n n a n a 等式累乘 即 1 2 3 n 1 n 1 所以时 324 1231 n n aaaa aaaa 故 1 1 n a n a 1 n an 且 1 也适用该式 1 0 a 1 n an nN 模板三 构造常见数列法 一 构造等比数列法 原数列 既不等差 也不等比 若把 中每一项添上一个数或一个式 n a n a 子构成新数列 使之等比 从而求出 该法适用于递推式形如 或 n a 1n a n bac 或 其中 b c 为不相等的常数 为一次式 1n a n baf n 1n a n n bac f n 例 4 06 福建理 22 已知数列 满足 1 求 n a 1 a 1n a 21 n a nN 数列 的通项公式 n a 解 构造新数列 其中 p 为常数 使之成为公比是的系数 2 的 n ap n a 等比数列 即 整理得 使之满足 p 1 1n ap 2 n ap 1n a 2 n ap 1n a 21 n a 即是首项为 2 q 2 的等比数列 1 n a 1 1a 1 n a 1 2 2n n a21 n 例 5 07 全国理 21 设数列 的首项 n a 1 0 1 a n 2 3 4 n a 1 3 2 n a 求 的通项公式 n a 解 构造新数列 使之成为的等比数列 n ap 1 2 q 即 整理得 满足 n ap 1 1 2 n ap n a 1 13 22 n ap n a 1 3 2 n a 得 p 1 即新数列首项为 的 3 2 p 3 2 1 n a 1 1a 1 2 q 等比数列 故 11 n a 1 1a 1 1 2 n n a 1 1a 1 1 2 n 二 构造等差数列法 数列 既不等差 也不等比 递推关系式形如 那 n a 1 1 n nn ababf n 么把两边同除以后 想法构造一个等差数列 从而间接求出 1n b n a 例 6 2010 年石家庄一模 数列 满足且 n a 1 221 n nn aa 2 n 4 81a 求 是否存在一个实数 使此数列为等差数列 若 1 1 a 2 a 3 a 2 2 n n a 存在求出的值及 若不存在 说明理由 n a 解 由 81 得 33 又 33 得 13 1 4 a 4 3 221a 3 a 3 a 3 2 221a 2 a 又 13 5 2 a 2 1 221a 1 a 假设存在一个实数 使此数列为等差数列 2 2 n n a 即 该数为常数 1 1 22 nn nn aa 1 2 2 nn n aa 21 2 n n 1 1 2n 即为首项 d 1 的等差数列 1 1 2 n n a 1 1 1 2 2 a 2 n 1 1 2 n n a 1 1n n a 1 21 n n 例 7 2010 年德州二模理科 20 数列 中 5 且 n a 1 a 1 331 n nn aa n 2 3 4 试求数列 的通项公式 n a 解 构造一个新数列 为常数 使之成为等差数列 即 3 n n a 1 1 33 nn nn aa d 整理得 3 让该式满足 取 1 33n nn aad 1 331 n nn aa 33 nn d 得 d 1 即是首项为 公差 d 1 的等21 1 2 3 n n a 1 1 1 3 2 32 a 差数列 故 1 31 2 1 1 322 n n a nn n a 11 3 22 n n 模板四 形如采用取倒数法为非零常数 dc da ca a n n n 1 形如倒数 得 令 为非零常数 dc da ca a n n n 1 cac d a nn 111 1 1 n n b a 从而转化为型 进而采用构造等比数列的方法求出通项公式 今 1nn bpbq 年广东高考题的数列题就必须采用此法才能得以求解 例 8 2011 年全国高考广东卷 20 设 数列满足 0 b n aba 1 22 1 1 na nba a n n n 2 n 1 求数列的通项公式 n a 解 1 22 1 1 na nba a n n n 22 1 1 na ba n a n nn ba n ba n nn 112 1 当 b 2 时 则 2 11 1 nn a n a n 为公差的等差数列 为首项 是以 2 1 2 1 n a n 2 2 1 1 2 1 n n an a n 即 当且时 0 b2 b ba n bba n nn 2 11 2 2 1 1 当 1n 时 2 2 2 1 bbba n n 为公比的等比数列为首项 是以 bbbba n n 2 2 2 2 1 n n bbba n 2 2 1 2 1 n nn n n n bb b bbba n 2 2 2 1 2 2 nn n n b bbn a 2 2 综上所述 2 2 20 2 2 b bb b bbn a nn n n 且 例 9 06 江西理 22 已知数列 满足 且 n a 1 3 2 a 1 1 3 21 n n n na a an 2n 求数列 的通项公式 nN n a 解 把原式变形成 两边同除以得 11 2 1 3 nnnn a anana 1nn a a 即 构造新数列 使其成为公比 q 的 1 112 33 nn nn aa n n a 1 3 等比数列 即整理得 满足 式使 1 11 3 nn nn a