2018年高三数学试卷(文科)

第 1 页 共 21 页 2018 年高考数学试卷 文科 年高考数学试卷 文科 一 选择题 共一 选择题 共 10 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 50 分 分 1 5 分 设全集 U x R x 0 函数 f x 的定义域为 A 则 UA 为 1 1 A 0 e B 0 e C e D e 2 5 分 设复数 z 满足 1 i z 2i i 为虚数单位 则 z A 1 i B 1 iC 1 i D 1 i 3 5 分 已知 A 1 2 B 4 2 则与反方向的单位向量为 A B C D 3 5 4 5 3 5 4 5 3 5 4 5 3 5 4 5 4 5 分 若 m 0 52 n 20 5 p log20 5 则 A n m pB n p mC m n pD p n m 5 5 分 执行如图所示的程序框图 输出 n 的值为 A 19B 20C 21D 22 6 5 分 已知 p x k q x 1 x 2 0 若 p 是 q 的充分不必要条件 则实数 k 的 取值范围是 A 2 B 2 C 1 D 1 7 5 分 一个总体中有 600 个个体 随机编号为 001 002 600 利用系统抽样方法 抽取容量为 24 的一个样本 总体分组后在第一组随机抽得的编号为 006 则在编号为 051 125 之间抽得的编号为 A 056 080 104 B 054 078 102 C 054 079 104 D 056 081 106 第 2 页 共 21 页 8 5 分 若直线 x 和 x 是函数 y sin x 0 图象的两条相邻对称轴 则 5 4 9 4 的一个可能取值为 A B C D 3 4 2 3 4 9 5 分 如果实数 x y 满足约束条件 则 z 的最大值为 3 6 0 2 0 1 1 1 A B C 2D 3 1 3 1 2 10 5 分 函数 f x 的图象与函数 g x log2 x a a R 的图象恰有 1 1 21 1 一个交点 则实数 a 的取值范围是 A a 1B a C a 1 或 a D a 1 或 a 3 4 3 4 3 4 二 填空题 共二 填空题 共 5 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 25 分 分 11 5 分 已知直线 l x y 4 0 与坐标轴交于 A B 两点 O 为坐标原点 则经过 O A B 三点的圆的标准方程为 12 5 分 某几何体三视图如图所示 则该几何体的体积为 13 5 分 在 0 a a 0 上随机抽取一个实数 x 若 x 满足 0 的概率为 则实 2 1 1 2 数 a 的值为 14 5 分 已知抛物线 y2 2px p 0 上的一点 M 1 t t 0 到焦点的距离为 5 双 曲线 1 a 0 的左顶点为 A 若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行 则实数 a 的值 2 2 2 9 为 第 3 页 共 21 页 15 5 分 已知 f x g x 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数 且 f x g x 2x 若存在 x0 1 2 使得等式 af x0 g 2x0 0 成立 则实数 a 的取值范围是 三 解答题 共三 解答题 共 6 小题 满分小题 满分 75 分 分 16 12 分 已知向量 sinx 1 cosx 函数 f x 3 2 1 求函数 f x 的单调递增区间 2 将函数 f x 的图象向左平移 个单位得到函数 g x 的图象 在 ABC 中 角 8 A B C 所对边分别 a b c 若 a 3 g sinB cosA 求 b 的值 2 6 6 17 12 分 某校举行高二理科学生的数学与物理竞赛 并从中抽取 72 名学生进行成绩分 析 所得学生的及格情况统计如表 物理及格物理不及格合计 数学及格28836 数学不及格162036 合计442872 1 根据表中数据 判断是否是 99 的把握认为 数学及格与物理及格有关 2 从抽取的物理不及格的学生中按数学及格与不及格的比例 随机抽取 7 人 再从抽取 的 7 人中随机抽取 2 人进行成绩分析 求至少有一名数学及格的学生概率 附 x2 11 22 21 12 2 1 2 1 2 P X2 k 0 1500 1000 0500 010 k2 0722 7063 8416 635 18 12 分 在四棱锥 P ABCD 中 PC 底面 ABCD M N 分别是 PD PA 的中点 AC AD ACD ACB 60 PC AC 1 求证 PA 平面 CMN 第 4 页 共 21 页 2 求证 AM 平面 PBC 19 12 分 已知等差数列 an 的首项 a1 2 前 n 项和为 Sn 等比数列 bn 的首项 b1 1 且 a2 b3 S3 6b2 n N 1 求数列 an 和 bn 的通项公式 2 数列 cn 满足 cn bn 1 nan 记数列 cn 的前 n 项和为 Tn 求 Tn 20 13 分 已知函数 f x ex 1 a R 1 1 若函数 g x x 1 f x 在 0 1 上有且只有一个极值点 求 a 的范围 2 当 a 1 时 证明 f x 0 对任意 x 0 1 成立 21 14 分 已知椭圆 E 1 a b 0 的离心率是 点 P 1 在椭圆 E 上 2 2 2 2 3 2 3 2 1 求椭圆 E 的方程 2 过点 P 且斜率为 k 的直线 l 交椭圆 E 于点 Q xQ yQ 点 Q 异于点 P 若 0 xQ 1 求直线 l 斜率 k 的取值范围 3 若以点 P 为圆心作 n 个圆 Pi i 1 2 n 设圆 Pi交 x 轴于点 Ai Bi 且直线 PAi PBi分别与椭圆 E 交于 Mi Ni Mi Ni皆异于点 P 证明 M1N1 M2N2 MnNn 第 5 页 共 21 页 2018 年高考数学试卷 文科 年高考数学试卷 文科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 10 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 50 分 分 1 5 分 设全集 U x R x 0 函数 f x 的定义域为 A 则 UA 为 1 1 A 0 e B 0 e C e D e 分析 先求出集合 A 由此能求出 CUA 解答 解 全集 U x R x 0 函数 f x 的定义域为 A 1 1 A x x e UA x 0 x e 0 e 故选 A 点评 本题考查补集的求法 是基础题 解题时要认真审题 注意补集定义的合理运用 2 5 分 设复数 z 满足 1 i z 2i i 为虚数单位 则 z A 1 i B 1 iC 1 i D 1 i 分析 利用复数的运算法则 共轭复数的定义即可得出 解答 解 1 i z 2i 则 z i 1 2 1 2 1 1 1 故选 B 点评 本题考查了复数的运算法则 共轭复数的定义 考查了推理能力与计算能力 属于 基础题 3 5 分 已知 A 1 2 B 4 2 则与反方向的单位向量为 A B C D 3 5 4 5 3 5 4 5 3 5 4 5 3 5 4 5 第 6 页 共 21 页 分析 与反方向的单位向量 即可得出 解答 解 3 4 与反方向的单位向量 3 4 32 42 3 5 4 5 故选 C 点评 本题考查了向量的坐标运算性质 数量积运算性质 考查了推理能力与计算能力 属于基础题 4 5 分 若 m 0 52 n 20 5 p log20 5 则 A n m pB n p mC m n pD p n m 分析 利用指数函数对数函数的运算性质即可得出 解答 解 m 0 52 n 20 5 1 p log20 5 1 1 42 则 n m p 故选 A 点评 本题考查了指数函数对数函数的运算性质 考查了推理能力与计算能力 属于基础 题 5 5 分 执行如图所示的程序框图 输出 n 的值为 A 19B 20C 21D 22 分析 模拟执行如图所示的程序框图知该程序的功能是 第 7 页 共 21 页 计算 S 1 2 3 n 210 时 n 的最小自然数值 求出即可 解答 解 模拟执行如图所示的程序框图知 该程序的功能是计算 S 1 2 3 n 210 时 n 的最小自然数值 由 S 210 解得 n 20 1 2 输出 n 的值为 20 故选 B 点评 本题考查了程序框图的应用问题 是基础题 6 5 分 已知 p x k q x 1 x 2 0 若 p 是 q 的充分不必要条件 则实数 k 的 取值范围是 A 2 B 2 C 1 D 1 分析 利用不等式的解法 充分不必要条件的意义即可得出 解答 解 q x 1 x 2 0 解得 x 1 或 x 2 又 p x k p 是 q 的充分不必要条件 则实数 k 1 故选 C 点评 本题考查了不等式的解法 简易逻辑的判定方法 考查了推理能力与计算能力 属 于基础题 7 5 分 一个总体中有 600 个个体 随机编号为 001 002 600 利用系统抽样方法 抽取容量为 24 的一个样本 总体分组后在第一组随机抽得的编号为 006 则在编号为 051 125 之间抽得的编号为 A 056 080 104 B 054 078 102 C 054 079 104 D 056 081 106 分析 根据系统抽样的方法的要求 先随机抽取第一数 再确定间隔 解答 解 依题意可知 在随机抽样中 首次抽到 006 号 以后每隔 25 个号抽到一 600 24 个人 则以 6 为首项 25 为公差的等差数列 即所抽取的编号为 6 31 56 81 106 故选 D 第 8 页 共 21 页 点评 本题主要考查系统抽样方法的应用 解题时要认真审题 是基础题 8 5 分 若直线 x 和 x 是函数 y sin x 0 图象的两条相邻对称轴 则 5 4 9 4 的一个可能取值为 A B C D 3 4 2 3 4 分析 根据直线 x 和 x 是函数 y sin x 0 图象的两条相邻对称轴 可 5 4 9 4 得周期 T 利用 x 时 函数 y 取得最大值 即可求出 的取值 5 4 解答 解 由题意 函数 y 的周期 T 2 2 9 4 5 4 函数 y sin x 当 x 时 函数 y 取得最大值或者最小值 即 sin 1 5 4 5 4 可得 5 4 2 k k Z 3 4 当 k 1 时 可得 4 故选 D 点评 本题考查了正弦型三角函数的图象即性质的运用 属于基础题 9 5 分 如果实数 x y 满足约束条件 则 z 的最大值为 3 6 0 2 0 1 1 1 A B C 2D 3 1 3 1 2 分析 作出不等式组对应的平面区域 z 的几何意义是区域内的点到定点 1 1 1 1 第 9 页 共 21 页 的斜率 利用数形结合进行求解即可 解答 解 作出约束条件所对应的可行域 如图阴影 z 3 6 0 2 0 1 1 1 的几何意义是区域内的点到定点 P 1 1 的斜率 由图象知可知 PA 的斜率最大 由 得 A 1 3 1 3 6 0 则 z 2 3 1 1 1 即 z 的最大值为 2 故选 C 点评 本题考查简单线性规划 涉及直线的斜率公式 准确作图是解决问题的关键 属中 档题 10 5 分 函数 f x 的图象与函数 g x log2 x a a R 的图象恰有 1 1 21 1 一个交点 则实数 a 的取值范围是 A a 1B a C a 1 或 a D a 1 或 a 3 4 3 4 3 4 分析 作出 f x 的图象和 g x 的图象 它们恰有一个交点 求出 g x 的恒过定点 坐标 数形结合可得答案 解答 解 函数 f x 与函数 g x 的图象它们恰有一个交点 f x 图 1 1 21 1 象过点 1 1 和 1 2 第 10 页 共 21 页 而 g x 的图象恒过定点坐标为 1 a 0 从图象不难看出 到 g x 过 1 1 和 1 2 它们恰有一个交点 当 g x 过 1 1 时 可得 a 1 恒过定点坐标为 0 0 往左走图象只有一个交点 当 g x 过 1 2 时 可得 a 恒过定点坐标为 0 往右走图象只有一个交 3 4 7 4 点 a 1 或 a 3 4 故选 D 点评 本题考查了分段函数画法和对数函数性质的运用 数形结合的思想 属于中档题 二 填空题 共二 填空题 共 5 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 25 分 分 11 5 分 已知直线 l x y 4 0 与坐标轴交于 A B 两点 O 为坐标原点 则经过 O A B 三点的圆的标准方程为 x 2 2 y 2 2 8 分析 根据题意 求出直线与坐标轴的交点坐标 分析可得经过 O A B 三点的圆的直 径为 AB 圆心为 AB 的中点 求出圆的半径与圆心 代入圆的标准方程即可得答案 解答 解 根据题意 直线 l x y 4 0 与坐标轴交于 4 0 0 4 两点 即 A B 的坐标为 4 0 0 4 经过 O A B 三点的圆 即 AOB 的外接圆 而 AOB 为等腰直角三角形 则其外接圆的直径为 AB 圆心为 AB 的中点 第 11 页 共 21 页 则有 2r AB 4 即 r 2 22 圆心坐标为 2 2 其该圆的标准方程为 x 2 2 y 2 2 8 故答案为 x 2 2 y 2 2 8 点评 本题考查圆的标准方程 注意直角三角形的外接圆的性质 12 5 分 某几何体三视图如图所示 则该几何体的体积为 16 3 分析 由三视图可知 该几何体为一个正方体去掉一个倒立的四棱锥 解答 解 由三视图可知 该几何体为一个正方体去掉一个倒立的四棱锥 该几何体的体积 V 23 1 3 22 2 16 3 故答案为 16 3 点评 本题考查了正方体与四棱锥的三视图 体积计算公式 考查了推理能力与计算能力 属于基础题 13 5 分 在 0 a a 0 上随机抽取一个实数 x 若 x 满足 0 的概率为 则实 2 1 1 2 数 a 的值为 4 分析 求解分式不等式得到 x 的范围 再由测度比为测度比得答案 第 12 页 共 21 页 解答 解 由 0 得 1 x 2 2 1 又 x 0 0 x 2 满足 0 x 2 的概率为 得 a 4 2 1 2 故答案为 4 点评 本题考查几何概型 考查了分式不等式的解法 是基础的计算题 14 5 分 已知抛物线 y2 2px p 0 上的一点 M 1 t t 0 到焦点的距离为 5 双 曲线 1 a 0 的左顶点为 A 若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行 则实数 a 的值 2 2 2 9 为 2 分析 设 M 点到抛物线准线的距离为 d 由已知可得 p 值 由双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行 则 解得实数 a 的值 4 1 3 解答 解 设 M 点到抛物线准线的距离为 d 则丨 MF 丨 d 1 5 则 p 8 2 所以抛物线方程为 y2 16x M 的坐标为 1 4 又双曲线的左顶点为 A a 0 渐近线为 y 3 直线 AM 的斜率 k 由 解得 a 3 4 0 1 4 1 4 1 3 a 的值为 3 故答案为 3 点评 本题考查的知识点是抛物线的简单性质 双曲线的简单性质 是抛物线与双曲线的 综合应用 属于中档题 第 13 页 共 21 页 15 5 分 已知 f x g x 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数 且 f x g x 2x 若存在 x0 1 2 使得等式 af x0 g 2x0 0 成立 则实数 a 的取值范围是 15 4 3 2 分析 根据函数奇偶性 解出奇函数 g x 和偶函数 f x 的表达式 将等式 af x g 2x 0 令 t 2x 2 x 则 t 0 通过变形可得 a t 讨论出右边在 x 1 2 的最大值 2 可以得出实数 a 的取值范围 解答 解 解 g x 为定义在 R 上的奇函数 f x 为定义在 R 上的偶函数 f x f x g x g x 又 由 f x g x 2x 结合 f x g x f x g x 2 x f x 2x 2 x g x 2x 2 x 1 2 1 2 等式 af x g 2x 0 化简为 2x 2 x 22x 2 2x 0 2 1 2 a 2 x 2x x 1 2 2x 2 x 3 2 15 4 则实数 a 的取值范围是 15 4 3 2 故答案为 15 4 3 2 点评 题以指数型函数为载体 考查了函数求表达式以及不等式恒成立等知识点 属于难 题 合理地利用函数的基本性质 再结合换元法和基本不等式的技巧 是解决本题的关 键 属于中档题 三 解答题 共三 解答题 共 6 小题 满分小题 满分 75 分 分 16 12 分 已知向量 sinx 1 cosx 函数 f x 3 2 1 求函数 f x 的单调递增区间 第 14 页 共 21 页 2 将函数 f x 的图象向左平移 个单位得到函数 g x 的图象 在 ABC 中 角 8 A B C 所对边分别 a b c 若 a 3 g sinB cosA 求 b 的值 2 6 6 分析 1 运用向量的加减运算和数量积的坐标表示 以及二倍角公式和正弦公式 由正 弦函数的增区间 解不等式即可得到所求 2 运用图象变换 可得 g x 的解析式 由条件可得 sinA cosA sinB 的值 运用正弦 定理计算即可得到所求值 解答 解 1 向量 sinx 1 cosx 3 2 函数 f x sinx cosx sinx 1 1 2 sin2x sinxcosx sin2x 1 2sin2x sin2x cos2x sin 2x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 4 由 2k 2x 2k k Z 2 4 2 可得 k x k k Z 8 3 8 即有函数 f x 的单调递增区间为 k k k Z 8 3 8 2 由题意可得 g x sin 2 x sin2x 2 2 8 4 2 2 g sinA 2 2 2 6 6 即 sinA cosA 3 3 1 1 3 6 3 在 ABC 中 sinB cosA 0 可得 sinB 6 3 由正弦定理 第 15 页 共 21 页 可得 b 3 3 6 3 3 3 2 点评 本题考查向量数量积的坐标表示和三角函数的恒等变换 考查正弦函数的图象和性 质 以及图象变换 考查解三角形的正弦定理的运用 以及运算能力 属于中档题 17 12 分 某校举行高二理科学生的数学与物理竞赛 并从中抽取 72 名学生进行成绩分 析 所得学生的及格情况统计如表 物理及格物理不及格合计 数学及格28836 数学不及格162036 合计442872 1 根据表中数据 判断是否是 99 的把握认为 数学及格与物理及格有关 2 从抽取的物理不及格的学生中按数学及格与不及格的比例 随机抽取 7 人 再从抽取 的 7 人中随机抽取 2 人进行成绩分析 求至少有一名数学及格的学生概率 附 x2 11 22 21 12 2 1 2 1 2 P X2 k 0 1500 1000 0500 010 k2 0722 7063 8416 635 分析 1 根据表中数据 计算观测值 X2 对照临界值得出结论 2 分别计算选取的数学及格与不及格的人数 用列举法求出基本事件数 计算对应的概率值 解答 解 1 根据表中数据 计算 X2 8 416 6 635 72 28 20 16 8 2 44 28 36 36 648 77 因此 有 99 的把握认为 数学及格与物理及格有关 2 选取的数学及格的人数为 7 2 人 8 25 选取的数学不及格的人数为 7 5 人 设数学及格的学生为 A B 20 28 第 16 页 共 21 页 不及格的学生为 c d e f g 则基本事件为 AB Ac Ad Ae Af Ag Bc Bd Be Bf Bg cd ce cf cg de df dg ef eg fg 共 21 个 其中满足条件的是 AB Ac Ad Ae Af Ag Bc Bd Be Bf Bg 共 11 个 故所求的概率为 P 11 21 点评 本题考查了独立性检验和列举法求古典概型的概率问题 是基础题 18 12 分 在四棱锥 P ABCD 中 PC 底面 ABCD M N 分别是 PD PA 的中点 AC AD ACD ACB 60 PC AC 1 求证 PA 平面 CMN 2 求证 AM 平面 PBC 分析 1 推导出 MN AD PC AD AD AC 从而 AD 平面 PAC 进而 AD PA MN PA 再由 CN PA 能证明 PA 平面 CMN 2 取 CD 的中点为 Q 连结 MQ AQ 推导出 MQ PC 从而 MQ 平面 PBC 再求出 AQ 平面 从而平面 AMQ 平面 PCB 由此能证明 AM 平面 PBC 解答 证明 1 M N 分别为 PD PA 的中点 MN 为 PAD 的中位线 MN AD PC 底面 ABCD AD 平面 ABCD PC AD 又 AD AC PC AC C AD 平面 PAC AD PA MN PA 又 PC AC N 为 PA 的中点 CN PA MN CN N MN 平面 CMN CM 平面 CMN 第 17 页 共 21 页 PA 平面 CMN 解 2 取 CD 的中点为 Q 连结 MQ AQ MQ 是 PCD 的中位线 MQ PC 又 PC 平面 PBC MQ 平面 PBC MQ 平面 PBC AD AC ACD 60 ADC 30 DAQ ADC 30 QAC ACQ 60 ACB 60 AQ BC AQ 平面 PBC BC 平面 PBC AQ 平面 PBC MQ AQ Q 平面 AMQ 平面 PCB AM 平面 AMQ AM 平面 PBC 点评 本题考查线面垂直 线面平行的证明 考查空间中线线 线面 面面间的位置关系 考查推理论证能力 运算求解能力 空间想象能力 考查化归与转化思想 数形结合思想 函数与方程思想 是中档题 19 12 分 已知等差数列 an 的首项 a1 2 前 n 项和为 Sn 等比数列 bn 的首项 b1 1 且 a2 b3 S3 6b2 n N 1 求数列 an 和 bn 的通项公式 2 数列 cn 满足 cn bn 1 nan 记数列 cn 的前 n 项和为 Tn 求 Tn 分析 1 设等差数列 an 的公差为 d 等比数列 bn 的公比为 q 根据 a1 2 b1 1 且 a2 b3 S3 6b2 n N 可得 2 d q2 3 2 6q 联立解得 d q 即可得出 3 2 2 第 18 页 共 21 页 2 cn bn 1 nan 2n 1 1 n 2n 可得数列 cn 的前 n 项和为 Tn 1 2 22 2n 1 2 4 6 8 1 n 2n 2n 1 2 4 6 8 1 n 2n 对 n 分类讨论即 可得出 解答 解 1 设等差数列 an 的公差为 d 等比数列 bn 的公比为 q a1 2 b1 1 且 a2 b3 S3 6b2 n N 2 d q2 3 2 6q 3 2 2 联立解得 d q 2 an 2 2 n 1 2n bn 2n 1 2 cn bn 1 nan 2n 1 1 n 2n 数列 cn 的前 n 项和为 Tn 1 2 22 2n 1 2 4 6 8 1 n 2n 2 4 6 8 1 n 2n 2n 1 2 4 6 8 1 n 2n 2 1 2 1 n 为偶数时 Tn 2n 1 2 4 6 8 2n 2 2n 2n 1 n n 为奇数时 Tn 2n 1 2n 2 1 2 2n 2 n Tn 2 1 为偶数 2 2 为奇数 点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式 分类讨论方法 考查了推 理能力与计算能力 属于中档题 20 13 分 已知函数 f x ex 1 a R 1 1 若函数 g x x 1 f x 在 0 1 上有且只有一个极值点 求 a 的范围 2 当 a 1 时 证明 f x 0 对任意 x 0 1 成立 第 19 页 共 21 页 分析 1 求出导函数 由题意可知 f x 在 0 1 上有且只有一个极值点 相当于导 函数有一个零点 2 问题可转换为 x 1 ex 1 ax 0 恒成立 构造函数 G x x 1 ex 1 ax 通过 二次求导 得出结论 解答 解 1 g x x 1 ex 1 ax g x xex a 1 g x ex x 1 0 f x 在 0 1 上有且只有一个极值点 g 0 a 1 0 g 1 e a 1 0 a a e 1 2 当 a 1 时 f x 0 x 1 ex 1 ax 0 恒成立 令 G x x 1 ex 1 ax G x xex a 1 G x ex x 1 0 G x 在 0 1 单调递增 G x G 0 a 1 0 G x 在 0 1 单调递增 G x G 0 0 x 1 ex 1 ax 0 当 a 1 时 f x 0 对任意 x 0 1 成立 点评 本题考查了极值点的概念和导函数的应用 难点是对导函数的二次求导 21 14 分 已知椭圆 E 1 a b 0 的离心率是 点 P 1 在椭圆 E 上 2 2 2 2 3 2 3 2 1 求椭圆 E 的方程 2 过点 P 且斜率为 k 的直线 l 交椭圆 E 于点 Q xQ yQ 点 Q 异于点 P