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8 2偏导数 一 偏导数的定义及其计算法 二 高阶偏导数 一 偏导数的定义及其计算法 类似地 可定义函数z f x y 在点 x0 y0 处对y的偏导数 偏导数的定义 设函数z f x y 在点 x0 y0 的某一邻域内有定义 若极限 存在 则称此极限为函数z f x y 在点 x0 y0 处对x的偏导数 记作 一 偏导数的定义及其计算法 偏导数的定义 偏导数的符号 如果函数z f x y 在区域D内每一点 x y 处对x的偏导数都存在 那么f x y 对x的偏导数是x y的函数 这个函数称为函数z f x y 对x的偏导函数 简称偏导数 记作 偏导函数 一 偏导数的定义及其计算法 偏导数的定义 偏导数的符号 偏导函数 偏导函数的符号 偏导函数 偏导数的概念还可推广到二元以上的函数 例如 三元函数u f x y z 在点 x y z 处对x的偏导数定义为 其中 x y z 是函数u f x y z 的定义域的内点 偏导数的求法求函数对一个自变量的偏导数时 只要把其它自变量看作常数 然后按一元函数求导法求导即可 偏导函数 讨论 下列求偏导数的方法是否正确 例1求z x2 3xy y2在点 1 2 处的偏导数 解 例2求z x2sin2y的偏导数 解 解 证 例3 例4 证 本例说明一个问题 偏导数的记号是一个整体记号 不能看作分子分母之商 例5已知理想气体的状态方程为pV RT R为常数 求证 偏导数的几何意义 fx x0 y0 f x y0 x fy x0 y0 f x0 y y z f x y0 z f x0 y 是截线z f x y0 在点 x0 y0 处的切线Tx对x轴的斜率 是截线z f x0 y 在点 x0 y0 处的切线Ty对y轴的斜率 偏导数的几何意义 偏导数与连续性对于多元函数来说 即使各偏导数在某点都存在 也不能保证函数在该点连续 例如 但函数在点 0 0 并不连续 在点 0 0 有fx 0 0 0 fy 0 0 0 提示 提示 当点P x y 沿直线y kx趋于点 0 0 时 有 因此 函数f x y 在 0 0 的极限不存在 当然也不连续 二 高阶偏导数 二阶偏导数 如果函数z f x y 的偏导数fx x y fy x y 也具有偏导数 则它们的偏导数称为函数z f x y 的二阶偏导数 函数z f x y 的二阶偏导数有四个 其中fxy x y fyx x y 称为混合偏导数 类似地可定义三阶 四阶以及n阶偏导数 解 此例中两个混合偏导数是相
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