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文档简介

第三节三重积分 一 三重积分的概念与性质 二 三重积分的计算 1 直角坐标 投影法 截面法 2 柱面坐标 3 球面坐标 一 三重积分的概念与性质 讨论密度分布不均匀的物体的质量 1 一根细棒 密度为 2 平面薄片 密度为 3 空间立体 密度为 3 空间立体 密度为 定义 设函数f x y z 在有界闭区域 上有界 作乘积 若对 的任意分法 及点的任意取法 和总趋于确定的极限I 1 分割 2 近似 3 求和 4 取极限 将 为n个区域 记为 积分区域 被积函数 体积元素 注 1 被积函数f x y z 在有界闭区域 上连续 则f x y z 在 上三重积分存在 2 三重积分与二重积分有类似的性质 2 对称性 解 例1 二 三重积分的计算 一 直角坐标 用平行坐标平面的平面来划分区域 1 投影法 1 平行于z轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个 步骤 1 求 在xoy面的投影区域 3 2 过做平行与z轴的射线 确定 4 2 平行于x轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个 3 平行于y轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个 例2 解 在xoy面的投影区域 例3将三重积分化为三次积分 2 截面法 其中Dz是垂直z轴的平面截 所得到的一个平面闭区域 则 例4 解 例5 解 二 柱面坐标 则 z称为点M的柱面坐标 M在xOy面上的投影点P的极坐标为 设M x y z 为空间内一点 规定 z的变化范围为 柱面坐标与直角坐标的关系 柱面坐标系下 以z轴为轴的圆柱面 过z轴的半平面 垂直z轴的平面 用以上三组曲面分割 得 体积元素为 柱面坐标系下三重积分为 如何化为三次积分 投影法 1 求 在xoy面的投影区域 3 过做平行与z轴的射线 确定 2 将化为极坐标 4 例6 解 在xoy面的投影区域 化为极坐标 例6将三重积分化为柱面坐标下三次积分 解 二 球面坐标 设M x y z 为空间内一点 其中 球面坐标与直角坐标的关系 则点M可以用一组数确定 M在xOy面上的投影点为P 显然 球面坐标系下 以原点为球心的球面 以原点为顶点以z轴 过z轴的半平面 用以上三组曲面分割 得 体积元素为 为轴的圆锥面 球面坐标系下三重积分为 如何化为三次积分 一般的 先确定 的 再 最后 积分时 先积 再积 最后积 例7将三重积分
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