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数学物理方法 勒让德多项式 Legendrepolynomials 第六章 阿德利昂 玛利 埃 勒让德 公元1752 公元1833 为法国数学家 生于巴黎 卒于巴黎 约1770年毕业于马扎兰学院 1775年任巴黎军事学院数学教授 1782年以 关於阻尼介质中的弹道研究 获柏林科学院奖金 次年当选为巴黎科学院院士 1787年成为伦敦皇家学会会员 勒让德 Legendre 曾与拉格朗日 Lagrange 拉普拉斯 Laplace 并列为法国数学界的 三L 为18世纪末19世纪初法国数学的复兴 做出了卓越的贡献 勒让德 1752 1833 Legendre Adrien Marie 勒让德的主要研究领域是分析学 尤其是椭圆积分理论 数论 初等几何与天体力学 取得了许多成果 导致了一系列重要理论的诞生 勒让德是椭圆积分理论奠基人之一 在L 欧拉提出椭圆积分加法定理后的40年中 他是仅有的在这一领域提供重大新结果的数学家 但他未能像N H 阿贝尔和C G J 雅可比那样洞察到关键在于考察椭圆积分的反函数 即椭圆函数 在关于天文学的研究中 勒让德引进了著名的 勒让德多项式 发现了它的许多性质 他还研究了B函数和 函数 得到了 函数的倍量公式 他陈述了最小二乘法 提出了关于二次变分的 勒让德条件 勒让德对数论的主要贡献是二次互反律 这是同余式论中的一条基本定理 他还是解析数论的先驱者之一 归纳出了素数分布律 促使许多数学家研究这个问题 6 1勒让德方程的引出 球函数 球函数 与贝塞尔方程比较 6 2勒让德方程的求解 为什么k仍然从零开始求和 表面上没有变化 但实质上已经变化 注意 先作分子的多项式乘法 然后取C 0 最后提取公因式即得 C 昙花一现 推导另附 令c 0 附 推导 本小节结束语 6 3勒让德多项式 解决了收敛的问题 无穷级数被截断 变成了多项式 解决了收敛的问题 无穷级数被截断 变成了多项式 提出问题 处理矛盾 转机 数学归纳法 数学上证明命题的一种方法 为了证明与自然数n有关的一个命题 一般先对n 1时 检验命题成立 然后证明当n k 1时 命题仍然成立 那么就可以断定这个命题对于任何自然数都成立 解决了展开系数的问题 合二而一 简洁 明快 幂次由低到高排列 幂次由高到低排列 幂次由低到高排列 幂次由高到低排列 犹如天作之合也 问题 如何具体写出勒氏多项式 问题 如何具体写出勒氏多项式 点电荷的电势 电偶极子的电势 问题 Pn x 的最高幂次是 请同学们务必记住这两个结论 证 问题 如何具体写出勒氏多项式 小结 6 3 增加 勒让德多项式的母函数 生成函数 及递推公式 6 3 1勒让德多项式的母函数 又名为 生成函数 函数 AllRoadsLeadtoRome 勒让德多项式的母函数 又名为 生成函数 的证明方法之二 证 AllRoadsLeadtoRome 参阅 排列 组合 二项式定理 AllRiversLeadtoOcean 6 3 2勒让德多项式的递推公式 证 例 例 原本定义 n 0 1 2 为何要对n提出限制 唯有n 0特殊 将函数展开成无穷级数 旨在 计算函数的近似值 解常微分方程 6 4函数展成勒让德多项式的级数 6 4 1勒让德多项式的正交性 下列结果是基本的 第一式说明了任何两个不同的勒让德多项式在区间 1 x 1 上的正交性 第二式说明了任何两个相同的勒让德多项式在区间 1 x 1 上的归一性 1 正交性 证明 2 归一性 证明 6 4 2函数展成勒让德多项式的级数 又称 傅立叶 勒让德级数 广义傅立叶级数 证明 证 勒让德级数应用举例 例1 解 例2 解 例3 解 例4 证 例5 证 例6 证 方法之一 依据定义 证 方法之二 待定系数法 展开式的唯一性 展开式的唯一性 平面场的复势 利用解析函数的方法处理平面向量场问题 平面场 以静电场为例 它总是三维的 电场 传递电荷相互作用的物理区域 电荷周围总有电场存在 同时电场对场中其它电荷产生力的作用 静电场 观察者相对于电荷为静止状态时 所观察到的场作用 如果它只在xy平面上变化 而在垂直于xy平面的方向上没有变化 我们只要在xy平面中来研究它就够了 这样的静电场称为 平面 静电 静电场 复习 所谓平面静电场 其实它是一种三维静电场的横剖面 研究平面静电场 电势 电位 分布 电力线 电荷密度 标量 最为方便 无电荷的区域 电势满足二维拉普拉斯方程 具有二阶连续偏导数的函数u x y 称为 调和函数 这个慨念可以推广至高维空间 解析函数称为复势 表示平面场的电势 复习 例6 球函数 解 勒让德