23平面向量的基本定理及坐标表示

2 32 3 平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理及坐标表示 教学目标教学目标 一 知识与能力 1 掌握平面向量基本定理 理解平面向量的正交分解及坐标表示 2 掌握平面向量和 差 数乘的坐标运算 3 理解平面向量共线的充要条件的坐标表示 二 过程与方法 体会数形结合的数学思想方法 培养学生转化问题的能力 三 情感 态度与价值观 培养对现实世界中的数学现象的好奇心 学习从数学角度发现和提出问题 教学重点教学重点 平面向量基本定理 向量的坐标表示 平面向量坐标运算 教学难点教学难点 平面向量基本定理 教学时数教学时数 2课时 第一课时 教学过程教学过程 一 新课导入一 新课导入 思考 思考 给定平面内任意两个向量e1 e2 请作出向量3e1 2e2 e1 2e2 平面内的任一向量是否都可以用形如 1e1 2e2的向量表示呢 在平面内任取一点O 作e1 e2 a 过点C作平行于直线OB的直线 与直线OA交于OA OB OC 点M 过点C作平行于直线OA的直线 与直线OB交于点N 由向量的线性运算性质可知 存在实数 1 2 使得 1e1 2e2 OM ON 由于 所以a 1e1 2e2 也就是说任一向量a都可以表示成 1e1 2e2的形式 OCOMON 师生活动设计 师生活动设计 由学生作图 并积极思考 教师引导学生发现结论 二 新课讲授二 新课讲授 1 1 平面向量基本定理平面向量基本定理 1 定理 如果e1 e2是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任意向量a 有且只有 一对实数 1 2 使得 a 1e1 2e2 把不共线的向量e1 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 2 向量的夹角 已知两个非零向量a和b 作 a b 则 AOB 0 180 叫做向量a与b的夹角 OA OB 当 0 时 a与b同向 当 180 时 a与b反向 如果a与b的夹角是90 则称a与b垂直 记作a b 例例1 1 已知向量e1 e2 求作向量 2 5e1 3e2 解 解 例例2 2 如图在基底e1 e2下分解下列向量 解 解 12 22AB ee 12 33CD ee 12 32EF ee 12 63GH ee 2 2 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示 1 正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量 叫做把向量正交分解 2 向量的坐标表示 思考 思考 我们知道 在平面直角坐标系中 每一个点都可以用一对有序实数 即它的坐标 表示 对平 面直角坐标系内的每一个向量 如何表示呢 在直角坐标系中 分别取与x轴 y轴方向相同的两个单位向量i j作为基底 则对于平面内的一个向量 a 有且只有一对实数x y使得 a xi yj 把有序数对 x y 叫做向量a的坐标 记作 a x y 其中x叫做a在x轴上的坐标 y叫做a在y轴上的坐标 显然 i 1 0 j 0 1 0 0 0 3 向量与坐标的关系 思考 思考 与a相等的向量坐标是什么 向量与向量坐标间建立的对应关系是什么对应 多对一的对应 因为相等向量对应的坐标相同 当向量起点被限制在原点时 作 a 这时向量的坐标就是点A的坐标 OA OA 点A的坐标也就是向量的坐标 二者之间建立的一一对应关系 OA 三 概念巩固三 概念巩固 例2 如图 分别用基底i j表示向量a b c d 并求出它们的坐标 解 a 2i 3j 2 3 b 2i 3j 2 3 c 2i 3j 2 3 d 2i 3j 2 3 例3 在直角坐标系xOy中 向量a b c的方向和长度如图所示 分别求他们的坐标 解 设a a1 a2 b b1 b2 c c1 c2 则 a1 a cos45 a2 a sin45 2 22 2 2 22 2 b1 b cos120 b2 b sin120 13 3 22 33 3 3 22 c1 c cos 30 c2 c sin 30 3 42 3 2 1 42 2 因此 3 3 3 2 2 2 3 2 22 abc 练习1 如图 e1 e2为正交基底 分别写出图中向量a b c d的分解式 并分别求出它们的直角坐标 解 a 2e1 3e2 2 3 b 2e1 3e2 2 3 c 2e1 3e2 2 3 d 2e1 3e2 2 3 练习2已知是坐标原点 点在第一象限 求向量的坐标 OA 4 3OA 60 xOA OA 解 设点 则 A x y4 3cos602 3 4 3sin606xy 即 所以 2 3 6A 2 3 6OA 四 小结与作业四 小结与作业 1 平面向量基本定理 2 平面向量的正交分解 3 平面向量的坐标表示 布置作业 习题2 3 A组 1 B组3 第二课时 一 复习回顾一 复习回顾 1 平面向量基本定理 2 平面向量的正交分解 3 平面向量的坐标表示 二 讲授新课二 讲授新课 1 思考 思考 已知a x1 y1 b x2 y2 你能得出a b a b a的坐标吗 a b x1i y1j x2i y2j x1 x2 i y1 y2 j x1 x2 y1 y2 同理可得a b x1 x2 y1 y2 a x1i y1j x1i y1j x1 y1 已知A x1 y1 B x2 y2 则 x2 y2 x1 y1 x2 x2 y2 y1 ABOBOA 2 平面向量的坐标运算法则平面向量的坐标运算法则 1 两个向量和 差 的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 差 2 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 3 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标 例例1 已知a 2 1 b 3 4 求a b a b 3a 4b的坐标 解 解 a b 2 1 3 4 1 5 a b 2 1 3 4 5 3 3a 4b 3 2 1 4 3 4 6 3 12 16 6 19 例例2 已知平行四边形ABCD的三个顶点A B C的坐标分别是 2 1 1 3 3 4 试求顶点D的坐标 解 解 设顶点D的坐标为 x y 因为 1 2 3 1 1 2 3 x 4 y AB DC 由 得 1 2 3 x 4 y ABDC 所以 132 242 xx yy 故顶点D的坐标为 2 2 3 思考 如何用坐标表示两个共线向量 设a x1 y1 b x2 y2 其中b 0 a b共线 当且仅当存在实数 使a b 即 x1 y1 x2 y2 x1 x2 y1 y2 消去 后得 x1y2 x2y1 0 4 平面向量共线的坐标表示 当且仅当x1y2 x2y1 0时 向量a b b 0 共线 例例3 已知a 4 2 b 6 y 且a b 求y 解 解 a b 4y 2 6 0 y 3 例例4 已知A 1 1 B 1 3 C 2 5 试判断A B C三点之间的关系 解 解 11 312 4AB 21 513 6AC 又 故 263 40 ABAC 直线 直线有公共点 ABACA 所以A B C三点共线 例例5 设点P是线段P1 P2的坐标分别是 x1 y1 x2 y2 1 当点P是线段P1P2的中点时 求点P的坐标 2 当点P是线段P1P2的一个三等分点时 求点P的坐标 解 解 1 1212 12 1 222 xxyy OPOPOP 所以点P的坐标为 1212 22 xxyy 2 如果 那么 12 1 2 PPPP 2 11112 111 122 2 1 1 2 121 333 22 33 OPOPPPOPPP OPOPOPOPOP xxyy 所以点P的坐标是 1212 22 33 xxyy 同理 如果说 那么点P的坐标是 三 强化与巩固三 强化与巩固 练习1 已知a 3 2 b 0 1 求 2a 4b 4a 3b的坐标 6 8 12 5 练习2 已知 A 2 3 B 1 5 且 求点C D E的坐标 11 3 34 ACAB ADAB AEAB 1111 5 1 7 9 24 2 CDE 练习3 已知三点A 1 1 B 1 0 C 0 1 求另一点D x y 使 ABCD 2 0D 练习4 若三点A 1 1 B 2 4 C